飛輪微振動的準零剛度多向隔振方法

余 松， 黃可凡， 蔣建平

(中山大學 航空航天學院，廣東 深圳 518107)

隨著航天技術高速發(fā)展，航天工程對于航天器的姿態(tài)穩(wěn)定度和指向精度要求不斷提升。在軌航天器上的主要擾動源來自機械轉(zhuǎn)動裝置，比如反作用輪和動量輪組。為了降低微振動對航天器高精度載荷的影響，需要對飛輪等擾動源設計隔振裝置。

被動隔振裝置具有高可靠性和不需要能量輸入等優(yōu)點，適用于太空復雜環(huán)境。Pendergast等[1]為Chandra望遠鏡的飛輪設計了Stewart隔振平臺，每根桿單元由3個機械彈簧串并聯(lián)組成，并利用黏彈性材料提供阻尼，擾動力在13 Hz處開始有效隔振，在100 Hz處的振動衰減能達到近40 dB。Kamesh等[2]設計了由4個正交折臂梁構成的隔振裝置，并針對飛輪進行了隔振試驗，證明隔振平臺能有效降低擾動，然而飛輪轉(zhuǎn)速需要被限制在600～3 500 r/min。Zhou等[3]測試和分析了一種基于折臂梁的被動隔振裝置，證明了該隔振平臺能有效隔離100～300 Hz的高頻擾動，然而在2 600 r/min的時候出現(xiàn)了擾動放大現(xiàn)象。Luo等[4]利用拉格朗日方程建立了飛輪群組和Stewart線性隔振平臺的耦合動力學模型，并通過有限元驗證了該解析模型的正確性，分析表明飛輪群組的陀螺效應會對耦合系統(tǒng)結構動力學特性產(chǎn)生復雜影響，且隔振系統(tǒng)能有效隔離高頻擾動，但低頻隔振性能不理想。

由于線性隔振理論不能滿足良好的低頻隔振效果，非線性隔振理論開始被廣泛研究。Tuo等[5]利用諧波平衡法分析了基于準零剛度支桿的Stewart隔振平臺在位移激勵下的動力學特性和隔振性能。Zhou等[6]利用諧波平衡法分析了基于準零剛度支桿的立方體構型Stewart隔振平臺在力激勵下的隔振性能。Zhang等[7]采用負剛度技術以實現(xiàn)較低的動態(tài)剛度，在一定位移范圍內(nèi)將非線性剛度線性化，通過傳遞函數(shù)矩陣分析了Stewart平臺對于飛輪擾動的隔振性能。由于準零剛度隔振器具有高靜態(tài)剛度、低動態(tài)剛度的優(yōu)勢，具有十分良好的低頻隔振性能。本文針對飛輪微振動的低頻隔振難題，提出基于準零剛度機理的Stewart平臺隔振方法，通過理論建模和分析，研究該隔振平臺對于飛輪擾動的隔振性能。

1 非線性六自由度隔振平臺設計

1.1 隔振平臺結構和動力學模型

為解決飛輪微振動的低頻隔振難題，采用準零剛度支撐桿設計了六自由度立方體構型的Stewart隔振平臺，如圖1(a)所示。其中，六根準零剛度桿支撐桿與上下平臺通過球鉸連接，每兩根桿共用一個交點，上平臺的圓半徑為r，下平臺的圓半徑為R，上下平臺的高度差為H。

圖1 Stewart平臺示意圖Fig.1 Schematic diagram of the Stewart platform

(1)

假設飛輪的中心對稱軸與上平臺的對稱軸zp一致，見圖1(a)；上平臺為一半徑10 cm的勻質(zhì)薄圓板，m′p為上平臺的質(zhì)量，I′pr和I′pz為上平臺的主慣性量，mf為飛輪的質(zhì)量，Ifr和Ifz為飛輪的主慣性量。飛輪的質(zhì)心距上平臺質(zhì)心的距離為zc，則飛輪和上平臺在坐標系Opxpypzp中的質(zhì)量和主慣性量為

(2)

定義qp=[qptqpr]T，qpt和qpr為隔振平臺的平動和轉(zhuǎn)動自由度，且qpt=[xyz]T，qpr=[θxθyθz]T。定義ω為簡諧激勵的角頻率，f=ω/2π為簡諧激勵的頻率，考慮支桿作用于上平臺的合力與合力矩以及簡諧激勵，基于準零剛度支桿的Stewart隔振平臺的動力學方程為

(3)

其中，

(4)

1.2 增量諧波平衡法求解

令τ=ωt，則式(3)可重寫為

(5)

設qp0和ω0為式(5)的解，則其鄰近狀態(tài)可用增量形式表示為

qp=qp0+Δqp,ω=ω0+Δω

(6)

將式(6)代入式(5)可得

(7)

假設響應具有一階和三階諧波項，則上平臺的位移響應qp0和增量Δqp可表示為[9]

qp0=SA, Δqp=SΔA

(8)

其中，

S=diag(CS,CS,CS,CS,CS,CS),
A=[A1A2A3A4A5A6]T,
ΔA=[ΔA1ΔA2ΔA3ΔA4ΔA5ΔA6]T,
CS=[cosτcos 3τsinτsin 3τ],
Aj=[aj1aj3bj1bj3]T,
ΔAj=[Δaj1Δaj3Δbj1Δbj3]T

將式(8)代入式(7)并運用伽遼金平均過程可得

(9)

1.3 參數(shù)分析

下面通過增量諧波平衡法分析隔振系統(tǒng)參數(shù)及微小幅值的多向簡諧激勵對隔振系統(tǒng)運動響應以及隔振性能的影響。表1給出了設計的隔振系統(tǒng)參數(shù)，其中飛輪的參數(shù)來源于工程部門的實際型號；準零剛度支桿選擇兩種剛度系數(shù)k3(Ⅰ)和k3(Ⅱ)。

表1 隔振系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the isolation system

飛輪轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的徑向擾動力和擾動力矩主要是由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量的靜動不平衡造成的，表現(xiàn)為飛輪轉(zhuǎn)速下的基頻[10]。而軸向擾動由軸承的非線性振動引起，以倍頻形式的高頻擾動出現(xiàn)[11]。下面忽略軸向擾動，考慮徑向擾動下的三種微小簡諧激勵的幅值：①Fx=Fy=0.004 N，Mx=My=0.000 5 N·m，F(xiàn)z=Mz=0，對應下文中飛輪300 r/min時的擾動幅值；②Fx=Fy=0.06 N，Mx=My=0.008 N·m，F(xiàn)z=Mz=0，對應下文中飛輪1 200 r/min時的擾動幅值；③Fx=Fy=1 N，Mx=My=0.14 N·m，F(xiàn)z=Mz=0，對應下文中飛輪5 000 r/min時的擾動幅值。為了驗證增量諧波平衡法求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的準確性，將所求的近似解析解與數(shù)值解進行對比。圖2和圖3分別是在激勵情況②下，對于準零剛度系數(shù)Ⅱ，當簡諧激勵頻率為2 Hz時，上平臺x方向角位移和y方向位移的運動響應曲線和幅值頻譜圖。由圖2可知，IHB解與數(shù)值解吻合較好。由圖3可知，由于系統(tǒng)中只存在三次非線性項，穩(wěn)態(tài)響應中只含奇數(shù)階諧波分量，同時通過增量諧波平衡法得出的一階、三階諧波分量的幅值與快速傅里葉變換的結果較為吻合。

圖2 激勵情況②下隔振平臺的運動響應(類型Ⅱ)Fig.2 Response of the vibration isolation platform under circumstance ② (type Ⅱ)

圖3 激勵情況②下隔振平臺的幅值頻譜圖(類型Ⅱ)Fig.3 Spectrum for the vibration isolation platform under circumstance ② (type Ⅱ)

上平臺通過支腿的擾動輸出為

(10)

采用功率傳遞率評價非線性隔振系統(tǒng)的隔振性能，其定義為擾動輸出力(力矩)和激勵力(力矩)在一個周期內(nèi)平均功率的比值[12]。

應用增量諧波平衡法求解式(3)，圖4和圖5分別比較了激勵情況②下，不同準零剛度系數(shù)隔振平臺的一階諧波響應的幅頻曲線和功率傳遞率曲線，其中實線為類型Ⅰ，虛線為類型Ⅱ。由圖4可知，由于剛度耦合效應，z方向的平動和轉(zhuǎn)動自由度也會振動，但其振動幅值遠小于x和y方向自由度的振動幅值。由于立方體構型Stewart平臺的結構不對稱性，x和y方向自由度的振動幅值并不完全相同。增加準零剛度系數(shù)k3，x和y方向的平動位移和轉(zhuǎn)動位移的幅值在低頻部分會減小。

圖4 激勵情況②下不同k3的隔振平臺一階諧波的幅頻曲線Fig.4 FRCs of the first-order harmonic of the platform for different k3 under circumstance ②

由圖5可知，對于類型Ⅰ的準零剛度支桿，低頻部分的傳遞率共振峰幾乎消失，具有非常好的低頻隔振效果。增加準零剛度系數(shù)(類型Ⅱ)，會使低頻部分出現(xiàn)明顯的共振峰，顯著降低在低頻段的隔振性能，但是還未發(fā)生跳躍現(xiàn)象。兩種類型的準零剛度支桿產(chǎn)生一致的高頻隔振性能。

圖5 激勵情況②下不同k3的功率傳遞率Fig.5 Power transmissibility for different k3 under circumstance ②

圖6比較了剛度類型Ⅰ下，三種激勵情況的徑向力和力矩的功率傳遞率。點畫線、虛線和實線分別對應激勵情況①②③。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，當激勵幅值很小時(情況①和情況②)，激勵幅值對功率傳遞率幾乎沒有影響，且低頻部分幾乎沒有出現(xiàn)共振峰。當激勵幅值增大到一定程度后(情況③)，功率傳遞率在低頻部分出現(xiàn)了共振峰，這是由于低頻部分的位移幅值增加，超出了低剛度區(qū)域，從而削弱了低頻隔振性能。但是，增大激勵幅值對高頻部分的功率傳遞率幾乎沒有影響。對于高頻隔振，在100 Hz處，擾動力和力矩輸出能降低90%。

圖6 不同激勵幅值下的功率傳遞率(類型Ⅰ)Fig.6 Power transmissibility for different excitation amplitude (type Ⅰ)

通過分析發(fā)現(xiàn)，表1所給的參數(shù)對于微小幅值的多向簡諧激勵具有十分良好的低頻隔振性能。

2 飛輪與隔振平臺的耦合動力學建模

圖7(a)是飛輪與隔振平臺安裝的三維示意圖，飛輪放置在上平臺的正中央，轉(zhuǎn)子的中心對稱軸與上平臺的對稱軸zp一致。

建立如圖7(b)所示的坐標系，定義如下：

圖7 飛輪與隔振平臺示意圖Fig.7 Schematic diagram of the Stewart platform and flywheel

(1) 隔振平臺慣性坐標系oxyz；

(2) 隔振平臺連體坐標系opxpypzp——原點位于隔振平臺的質(zhì)心，ox，oy，oz軸對應平臺的慣量主軸。初始時刻隔振平臺連體坐標系和隔振平臺慣性坐標系重合；

(3) 轉(zhuǎn)子慣性坐標系o′x′y′z′——隨隔振平臺連體坐標系一起平移和轉(zhuǎn)動；

根據(jù)圖4所示的不同圍壓下的應力應變關系曲線，可以得到不同砂粒含量下的砂質(zhì)黃土的摩爾-庫侖抗剪強度包線如圖5所示。由不同砂粒含量下砂質(zhì)黃土的摩爾-庫侖抗剪強度包線可以得到其抗剪強度強度參數(shù)如表2所示。

(4) 轉(zhuǎn)子連體坐標系orxryrzr——原點位于轉(zhuǎn)子的質(zhì)心，ox，oy，oz軸對應轉(zhuǎn)子的慣量主軸。初始時刻轉(zhuǎn)子連體坐標系與轉(zhuǎn)子慣性坐標系重合。

令qr=[qrtqrr]T，qrt=[uv]T，qrr=[φψ]T，u和v代表轉(zhuǎn)子相對于轉(zhuǎn)子慣性坐標系o′x′y′z′的平動自由度，φ和ψ代表轉(zhuǎn)子相對于轉(zhuǎn)子慣性坐標系o′x′y′z′的轉(zhuǎn)動自由度。rr為上平臺質(zhì)心到初始時刻轉(zhuǎn)子質(zhì)心的矢徑，設rr=[0 0h]T,h為轉(zhuǎn)子到隔振平臺的安裝高度。令mr為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，Irr和Irz為轉(zhuǎn)子的主慣性量，cu和cφ分別為軸承的徑向阻尼和搖擺阻尼，ku和kφ分別為軸承的徑向剛度和搖擺剛度，Us和Ud分別為轉(zhuǎn)子的靜不平衡量和動不平衡量，Ω為轉(zhuǎn)子的角速度。在隔振平臺慣性坐標系中，轉(zhuǎn)子的四自由度動力學模型為

(11)

其中，

(12)

qra代表轉(zhuǎn)子在隔振平臺慣性坐標系中的絕對平動位移和絕對歐拉角。由圖5(b)可知

qrta|3×1=qpt+rr+qrt|3×1

(13)

對式(13)求二階導可得

(14)

(15)

由于初始時刻，4個坐標系各軸均對應平行，故

qrra|3×1=qpr+qrr|3×1

(16)

考慮式(15)和式(16)，則式(11)可改寫為

mr0mr2×3-mrr～r2×30Ir0Ir2×3q··rtq··rrq··ptq··pr+Cu0000C?+G0G2×3q·rtq·rrq·ptq·pr+Ku00K?0qrtqrrqptqpr=FuTu

(17)

式中，Π|m×n(m≠n)為將矩陣或向量Π縮減或擴展為m行n列，擴展部分以0補充。

在隔振平臺慣性坐標系中，隔振平臺的動力學模型為

(18)

(19)

結合式(15)和式(19)，式(18)可改寫為

00mp0mrr～r3×20mrr～rIp+mrr～rr～Trq··rtq··rrq··ptq··pr+-Cu3×200-C?3×2Cpq·rtq·rrq·ptq·pr+

-Ku3×200-K?3×2K3qrtqrrqptqpr=0r～r3×2Fu

(20)

式中：mp=diag(mp,mp,mp)；Ip=diag(Ipr,Ipr,Ipz)。值得注意的是，此時的mp，Ipr和Ipz為上平臺、飛輪定子及外殼附屬件在坐標系opxpypzp中的質(zhì)量和主慣性量。

結合式(17)和式(20)，飛輪隔振平臺耦合動力學模型可寫為

(21)

其中，

(22)

根據(jù)耦合動力學模型式(21)可知，飛輪轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、主慣性量和陀螺項與隔振平臺發(fā)生了耦合。當不考慮耦合時，假設飛輪與上平臺為一個整體，并在轉(zhuǎn)子的質(zhì)心處施加隨轉(zhuǎn)速變化的擾動力和力矩，該擾動力和力矩根據(jù)轉(zhuǎn)子的四自由度動力學模型得出，并記此模型為簡化模型。

3 飛輪隔振分析

表2給出了飛輪轉(zhuǎn)子的參數(shù)，其中轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和慣量來源于工程部門的實際型號參數(shù)；轉(zhuǎn)子的軸承剛度及靜動不平衡量是結合工程部門的飛輪擾動測試數(shù)據(jù)，根據(jù)飛輪的擾動模型，參考羅青研究中表5.1得到的。由于軸承的阻尼很小，可近似為零。

表2 轉(zhuǎn)子參數(shù)Tab.2 Parameters of the rotor

3.1 隔振性能分析

根據(jù)表1和表2的參數(shù)，用龍格庫塔法求解式(21)，可得隔振裝置的擾動輸出如圖8所示，其中虛線為隔振前飛輪輸出的擾動力和擾動力矩的幅值，實線和點畫線分別為對耦合模型和簡化模型隔振后，上平臺通過支腿輸出的擾動力和擾動力矩的最大值，類型Ⅰ和類型Ⅱ的曲線幾乎完全重合，且耦合模型和簡化模型的結果差別不大。由于y方向和x方向一致，為簡便起見，這里只給出了x方向的擾動輸出。由圖8可以看出：①隔振裝置具有良好的低頻隔振效果，且不存在共振放大現(xiàn)象，可以實現(xiàn)飛輪徑向擾動力和擾動力矩的全轉(zhuǎn)速隔振；②在轉(zhuǎn)速1 000 r/min處，擾動力輸出降低了31.26%，擾動力矩輸出降低了46.16%；③在轉(zhuǎn)速3 000 r/min處，擾動力輸出降低了73.41%，擾動力矩輸出降低了83.23%；④在轉(zhuǎn)速6 000 r/min處，擾動力輸出降低了91.03%，擾動力矩輸出降低了94.10%。⑤在一定阻尼大小下，準零剛度系數(shù)對飛輪微振動隔振性能的影響不大，這是因為飛輪轉(zhuǎn)子輸出擾動力和力矩的大小與其轉(zhuǎn)速有關。根據(jù)圖5，情況②的簡諧激勵幅值對應飛輪1 200 r/min時的擾動幅值，飛輪1 200 r/min時輸出的擾動為頻率20 Hz的簡諧激勵。在圖5中，兩種準零剛度系數(shù)在頻率20 Hz的簡諧激勵下對應的功率傳遞率一致，所以其對飛輪1 200 r/min時的隔振效果并無影響。

圖8 隔振前后飛輪的擾動輸出Fig.8 The output disturbance of flywheel before and after isolation

3.2 隔振平臺角位移響應分析

航天任務中對飛輪系統(tǒng)動量矩矢量的指向精度控制在6×10-4rad(≈0.033°)以內(nèi)。由于多自由度線性隔振平臺的共振頻率是固定的，在發(fā)生共振處最有可能使徑向角位移不能滿足精度要求，因此需要增加支腿剛度，從而削弱了低頻隔振效果。而準零剛度隔振平臺發(fā)生共振的頻率和激勵幅值有關，對于較小飛輪轉(zhuǎn)速的激勵幅值，不會出現(xiàn)共振；對于較大飛輪轉(zhuǎn)速的激勵幅值，即便出現(xiàn)了共振，但共振頻率遠低于飛輪轉(zhuǎn)速下的基頻，因此不會放大飛輪的角位移。

圖9對比分析了耦合模型和簡化模型下，隔振平臺最大徑向角位移隨轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律。由圖9可見，簡化模型的結果與耦合模型的結果有一定的差別。在一定阻尼大小下，準零剛度系數(shù)對最大徑向角位移的影響很小，同時徑向角位移滿足指向精度要求。

圖9 隔振平臺的最大徑向角位移Fig.9 The maximum radial angular displacement of the platform

4 結 論

本文研究了基于準零剛度機理的飛輪微振動非線性隔振方法。通過準零剛度支桿搭建立方體構型的Stewart隔振平臺，分析了在微小振幅的簡諧外激勵下，激勵幅值和準零剛度系數(shù)對隔振性能的影響。然后在四自由度飛輪線性擾動模型的基礎上，建立了飛輪和隔振平臺的耦合動力學模型。結果表明，基于準零剛度支桿的Stewart隔振平臺能消除飛輪的擾動放大現(xiàn)象，提高低頻隔振性能，實現(xiàn)飛輪的全轉(zhuǎn)速隔振，并且徑向角位移響應幅值能滿足飛輪動量矩矢量的指向精度要求。