基于單自由度參數激勵模型的車輛隨機振動分析

朱大鵬， 薛如壯， 曹興瀟

(1. 蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070； 2. 蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

包裝件在運輸過程中會受到各種沖擊、振動、靜壓力等載荷的作用，在這些載荷作用下，產品可能發生各種形式的損壞。為保護包裝件中的產品，需進行合理的包裝設計。在各種載荷中，跌落沖擊載荷強度大，很容易造成產品的損壞，因此，國內外研究者在跌落沖擊條件下針對包裝件的動態響應、確定破損邊界等領域開展了一系列研究[1-5]。除了跌落沖擊載荷外，包裝件在運輸過程中，長時間受到運輸車輛中隨機振動載荷的作用，在隨機振動載荷條件下，包裝件中產品可能出現首次穿越損壞、疲勞破壞等。為提高包裝件在隨機振動載荷條件下的振動可靠性，減少因振動造成的包裝件中產品的損壞，需研究包裝件流通過程中隨機振動的特點，分析包裝件在隨機振動載荷條件下的響應，并進行包裝件優化設計。其中，運輸過程車輛中產生的隨機振動的分析和模擬是分析包裝件振動響應和包裝件設計優化的重要基礎，是運輸包裝領域的一個研究熱點。

為準確模擬包裝件流通過程中的隨機振動，國內外研究者對各國車輛中的隨機振動進行了采集和分析，建立了能反映這些隨機振動基本特征的實驗室測試方法[6-9]，為包裝測試和包裝設計提供了依據。由于采集到的隨機振動具有明顯的非高斯、非平穩特性，而傳統的基于功率譜密度(或自相關函數)和二階矩的隨機振動模擬方法不足以準確表征隨機振動的非高斯、非平穩特性。車輛在行駛過程中，由于載荷具有隨機性，車輛自身特性具有隨機性，這些隨機因素在一定條件下可能會觸發車輛的振動響應離開平穩狀態，短時間地進入不平穩狀態，形成較大的瞬態振動幅值。這些大幅值的瞬態振動和平穩隨機振動疊加，總體上在車輛中形成了非高斯、非平穩隨機振動。這些大幅值的瞬態振動出現的概率雖然比較低，但它們對包裝件的安全影響很大，不能忽略它們的影響。近年來，隨機振動的非高斯、非平穩特性的分析和模擬引起了國內外研究者的關注。

Lepine等[10-12]分析了包裝件流通過程中隨機振動的非高斯、非平穩特性，構建了該隨機振動的模擬方法。蔣瑜等[13-14]建立了非高斯隨機振動模擬方法，旨在分析和優化產品運輸過程中的可靠性。朱大鵬等[15-16]采用多項式混沌擴展法建立了平穩非高斯隨機振動的數值模擬方法，利用該方法可生成給定的高階矩條件下的非高斯隨機振動。Geroulas等[17-18]基于模擬法分別研究了在非高斯平穩隨機振動條件下振動系統的時變可靠性和疲勞壽命。非線性變換法是生成非高斯隨機振動的一種重要方法，該方法對高斯隨機過程進行非線性變換，生成符合要求的非高斯隨機過程[19]。該方法的核心在于求解非線性變換，通常根據隨機過程的譜密度函數[20]或自相關函數[21]，采用迭代法求出符合約束條件的非線性變換。以上的模擬和分析方法考慮了真實環境中隨機振動的非高斯、非平穩特性，為系統的響應分析和優化奠定了基礎。但這些非高斯、非平穩隨機振動的模擬方法是基于數值模擬的，對隨機振動的非平穩非高斯特性出現的機理的分析較少，利用這些數值方法生成隨機振動，并對包裝件等振動系統進行響應分析和系統優化時，分析時間長，計算效率低，尤其是分析包裝件振動可靠性時，由于失效概率是一個低概率事件，基于數值模擬的系統優化很不現實。

本文考慮了鐵路車輛中的隨機振動的非平穩、非高斯特性，采用參數激勵系統模擬車輛在平穩運行時的加速度響應。用Mathieu方程分析車輛運行時在外界激勵條件下的加速度響應，分析車輛響應的失穩條件，分別研究車輛在穩態條件、失穩條件和衰減條件下的加速度響應，構建根據采集的振動數據識別參數激勵系統中參數的方法。論文給出了一個實例介紹了系統振動響應分析方法和模型參數識別方法。應用本文構建的車輛模型可高效準確地再現出車輛中非平穩、非高斯隨機振動數據，為包裝件振動響應分析和包裝件優化奠定基礎。

1 鐵路車輛參數激勵振動方程

鐵路車輛在線路上平穩運行時，雖然外界隨機振動激勵屬于低幅值平穩激勵，但車內也會時常產生大幅值的振動響應?？紤]到參數激勵系統有類似的特性，即當系統發生參數共振時，即使參數激勵的幅值很小，系統也會產生很大的響應?？刹捎肕athieu方程描述單自由度參數激勵系統特性

(1)

圖1 Mathieu方程的穩定和不穩定區域Fig.1 Stability and instability region of Mathieu equation

基于以上的分析，本文采用一個參數激勵振動系統分析和模擬鐵路車輛的振動響應。當鐵路車輛運行在線路上時，由于路面不平度的影響，車輛運行受到外界隨機振動激勵的作用，當車輛上部的車體產生點頭運動或發生左右側向隨機振動時，車體和轉向架之間的彈性連接會產生局部脫離，造成車輛振動過程中的彈性力產生隨機變化，不考慮車輛非線性彈性力，車輛垂向彈性力可用式(2)表示

(2)

式中：z為車輛的車體垂向變形量；ω0為車輛模型的固有頻率；α(t)為一個表征車輛垂向彈性力隨機變化的窄帶隨機過程。假定車輛垂向阻尼是一個常數，則車輛垂向運動方程可用一個參數激勵方程表示

(3)

圖2 用于車輛響應分析的單自由度參數激勵系統Fig.2 SDOF parametric excitation system for vehicle response analysis

(4)

本文圍繞式(4)展開分析，研究該參數激勵系統在平穩隨機激勵下的失穩條件、系統響應，采用該分析模型模擬鐵路車輛的垂向加速度振動響應。

2 系統穩定性分析

令z(t)=λ(t)cos[ω0t+φ(t)]，為便于計算，對式(4)所表示系統的響應z(t)進行變換[25]

z(t)=λ1(t)cos(ω0t)+λ2(t)sin(ω0t)

(5)

求導可得

(6)

(7)

由于

(8)

將式(5)、式(7)和式(8)代入式(4)，分析可得

應用隨機平均法，保留式中慢隨機變量，以上兩式可簡化為

(9)

(10)

根據式(10)可知：當|β(t)|<4ζ時，系統處于穩定狀態；當|β(t)|>4ζ時，系統失穩。在平穩隨機激勵條件下，車輛會出現大幅值振動響應，如圖3所示。

圖3 典型的和β(t)的模擬結果Fig.3 Typical simulation of and β(t)

3 系統特性分析

式(10)可統一表達為

(11)

γ(t)=ζω0-σβω0ξ(t)/4

(12)

式中，ξ(t)為標準正態隨機過程。

3.1 穩態條件下系統特性分析

根據式(11)、式(4)所示的車輛系統處于穩態的基本條件為

γ(t)>0

(13)

根據式(12)，系統處于穩態的概率為Φ(η)，其中：Φ為標準正態變量的累積概率分布函數；η=4ζ/σβ。

在穩態條件下，可用下式近似代替車輛垂向振動方程

(14)

其中，

(15)

式中，函數φ為標準正態變量的概率密度函數。根據式(15)計算κ的條件數學期望，可得

(16)

(17)

(18)

3.2 系統失穩響應分析

根據式(11)，當γ(t)<0時，系統失穩。在失穩條件下，由于外界隨機激勵對系統響應影響很小，在式(11)中，可不考慮激勵的影響[30]，分析可得

z(t)≈|z|cos[ω0t+φ(t)]=
z0exp(-γt)cos[ω0t+φ(t)], 0≤t≤Tγ<0

式中：z0為系統穩態響應z的輪廓線幅值；Tγ<0為系統處于失穩狀態所持續的時間。由于在失穩條件下忽略激勵的影響，相似地，車輛失穩時的加速度響應為

(19)

根據式(12)的定義，分析可得在系統失穩時-γ(t)的條件概率密度函數為

(20)

根據該條件概率密度函數可得-γ(t)的條件均值

根據式(11)，在單位時間(1 s)內，系統響應出現失穩的次數N即為隨機過程γ(t)穿越0的次數，根據Rice公式，N可由式(21)確定[31-32]

(21)

式中，R″β為β的自相關函數的二階微分。因此，系統失穩狀態持續的平均時間為

式中，P[·]為事件的發生概率。

由于車輛發生失穩的概率較低，應用漸進估計法，系統失穩事件中，失穩所持續時間的概率分布函數可用下式近似表達

(22)

在式(19)中，令系統加速度響應的外包線為U，即

(23)

式中，Λ=-γ，并令Y=Λ，則有

fUY(u,y)=fΛT(λ,t)|det[?(λ,t)/?(u,y)]|

假定隨機變量Λ和T互相獨立，則式(23)所示的系統加速度響應的外包線U的概率密度函數為

(24)

將式(20)和式(22)代入式(24)中，可得

在式(19)中，用一個均勻分布近似估計cos[ω0t+φ(t)]的概率分布，系統加速度響應的概率分布可用式(25)表達

(25)

3.3 系統衰減響應階段分析

(26)

(27)

(28)

式中，Tdc為系統由響應峰值衰減至穩態所經歷的時間。由于γ(t)呈正態分布，分析可得γ(t)>0時的均值為

根據式(24)及式(25)，可得

(29)

在衰減階段，系統的加速度響應為

(30)

從圖3中可以看出，由于在系統的失穩階段和衰減階段，加速度響應的外包線的值具有一一對應關系，故可認為衰減階段的響應和失穩階段的響應具有相同的概率密度函數。

3.4 參數激勵系統響應分析總結

車輛在運行時，即使受到平穩小幅值激勵，車輛也經常出現大幅值的振動響應，雖然出現大幅值響應的概率較小，但這些大幅值振動響應對于包裝件的安全影響很大，此時可用式(4)所示的參數激勵系統分析和模擬車輛的振動響應。記錄車輛運行過程中的加速度振動響應，響應數據中包含平穩隨機振動響應部分和大幅值響應部分。分析在鐵路車輛中采集到的非平穩非高斯隨機振動數據，采用式(4)構建車輛動態特性模型，則該模型的參數可通過以下步驟進行識別：

步驟3根據η的定義和識別出的ζ，求得σβ，根據式(16)，可求得參數ω0；

步驟4對記錄的加速度數據進行分析，分析系統失穩次數，根據式(20)及對自相關函數Rβ函數的假定，可得參數l。

步驟1根據識別的σβ和參數l，建立隨機過程β(t)的自相關函數，根據自相關函數構建隨機過程β(t)[33]；

步驟2分析隨機過程β(t)，當β(t)>4ζ或β(t)<-4ζ[γ(t)<0]時，系統失穩并產生大幅值的加速度響應，這也是車輛產生非平穩非高斯隨機振動的內在根本原因，大幅值加速度響應所持續的時間為Tγ+Tdc，當0≤t≤Tγ時，系統加速度響應用式(19)模擬，當Tγ≤t≤Tγ+Tdc時，系統加速度響應用式(30)模擬；

(31)

根據式(31)計算所得的自相關函數模擬車輛在穩態條件下的加速度響應。

4 實例分析

本文采集了鐵路車輛運行過程中車內加速度振動數據，車輛型號為P70，剔除車輛在編組連掛、進站停車、起動等階段的振動數據，只保留車輛平穩運行時的加速度響應數據。采集的加速度數據PSD曲線，如圖4所示。

圖4 記錄的振動數據的PSD曲線Fig.4 PSD of the recorded vibration data

從采集的時域振動數據中可以看出，車輛在平穩運行時，車輛加速度響應中存在一些大幅值的振動響應，這使車輛的加速度振動響應整體呈現出非平穩非高斯特性。本文采用式(4)所代表的參數激勵系統對車輛動態特性建模，根據采集到的的加速度響應數據以及3.4節中介紹的參數識別方法分析式(4)中的參數，識別結果如表1所示。

表1 識別出的參數激勵系統的參數Tab.1 Parameters of parametric excitation system

為驗證本文提出的車輛隨機振動模擬方法的準確性，本文截取3 h的試驗數據和模擬數據進行分析，試驗結果和模擬結果的PDF對比，如圖5所示。圖5中給出了平穩階段呈正態分布的PDF曲線，從圖5中可以看出，車輛參數激勵失穩會造成車內較大的振動加速度響應，僅考慮平穩階段的隨機振動是不準確的，本文采用的基于單自由度參數激勵振動模型的模擬方法可準確再現真實的包含有大幅值響應的隨機振動。其中，分析模擬數據的PDF時，可將模擬數據分為三部分考慮：平穩階段的數據、失穩階段的數據、衰減階段的數據，用全概率原則分析模擬數據的總體PDF。

圖5 試驗數據和模擬數據的PDF對比Fig.5 PDF comparison of the experimental data and simulation data

f(q)=Pstafsta(q)+Pinstfinst(q)+Pdecayfdecay(q)

(32)

式中：Psta，Pinst和Pdecay分別為平穩階段、失穩階段和衰減階段出現的概率；fsta，finst和fdecay分別為系統平穩階段、失穩階段和衰減階段加速度響應的概率密度函數。其中

Pinst=P[Tγ<0]=1-Φ(η)

(33)

根據式(29)可得

(34)

則平穩階段概率為

Psta=1-Pinst-Pdecay

(35)

系統穩態響應條件下的加速度響應的概率密度函數可由式(18)確定，從系統響應外包線分析，由于系統在失穩階段和衰減階段存在一一對應關系，可認為系統失穩階段和衰減階段具有相同的概率密度函數，因此finst和fdecay均可由式(25)確定。

根據以上的分析，將式(33)～式(35)以及式(18)和式(25)代入式(32)，可得模擬的系統響應的概率密度函數，如圖5中實線所示。從圖5中可以看出，采用本文的參數激勵模型模擬出的車輛加速度數據的概率密度函數和試驗記錄的加速度數據的概率密度函數具有良好的吻合度。從時域數據分析，試驗記錄的響應數據最大可達7.2g，模型模擬的數據可較好地再現出這些幅值較大的響應數據，而如果采用傳統的高斯模型模擬方法，最大響應數據為3.7g。這表明，本文采用參數激勵系統模擬真實的車輛加速度響應具有良好的準確度。

5 結 論

本文采用單自由度參數激勵系統模擬車輛運行時車內的隨機振動，基于Mathieu方程分析了系統的失穩條件，建立了系統的加速度響應的分析方法，通過對比模擬數據和試驗數據的時域特點和的概率密度函數，采用本文的模擬方法可準確模擬鐵路車輛車內的加速度信號。主要結論如下：

(1) 基于Mathieu方程的參數激勵系統的失穩條件為|β(t)|>4ζ，當隨機過程β|(t)|<4ζ時，系統響應為平穩高斯隨機過程，當隨機過程滿足失穩條件時，系統失穩，車內出現大幅加速度響應，當隨機過程恢復至β|(t)|<4ζ時，系統從大幅響應的峰值衰減至平穩狀態。

(2) 從系統失穩條件分析，為避免車輛內出現瞬態大幅值加速度響應，應提高車輛垂向阻尼ζ，或提高車輛質量，盡量減小出現參數激勵因素β(t)的波動。

(3) 在具有參數激勵因素的車輛中，即使在平穩運行條件下，車內也有可能出現較大的振動響應，盡管大幅振動響應出現的概率較小，但對包裝件的運輸安全具有較大的影響，必須予以考慮。

應用本文提出的參數激勵模型模擬車內的加速度振動，結果與試驗采集的車內加速度振動數據在時域特征、概率密度分布方面相符。該模型是包裝件振動可靠性分析和優化的基礎，提供了一種應用分析法高效研究包裝件振動安全的手段。