基于“用教材教”理念設計問題串的實踐

張啟鋒 童其林 李祎

摘? ? 要：“用教材教”的理念指的是用好教材、創造性地使用教材，目的是因材施教，提高教育教學質量.在教學中設計符合學生認知規律的問題串，是“用教材教”理念的體現.教師應遵循有情境、有層次、有探索的原則，必要時可對教材進行適當的調整以創設真實、自然的情境，讓課堂結構清晰順暢且符合學生認知，貼近學生的最近發展區，并由淺入深地引導學生展開思維探究，使學生逐步形成數學能力.問題串可從能力層次、函數模型的多樣性、情境化、數學實驗、課后作業等多個角度進行設計.

關鍵詞：用教材教;問題串;數學建模;三角恒等變換

在設計人教A版（2019）普通高中教科書《數學》必修第一冊（以下簡稱“教材”）第五章第五節第二目“簡單的三角恒等變換”第二課時的教學時，筆者發現教材中的“例10”具有建立函數模型、以角為自變量、多個三角公式同時使用等特點，而學生對此理解困難.因此，筆者從“用教材教”理念出發，以問題串形式對教材內容加以整合，設計新的教學方案，讓學生的思維有爬升過程并在知識上有所拓展.

“用教材教”是指教師依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“《課程標準》”），根據自身的實踐與研究，自主地領會、把握課程與教學，把教材作為一種重要的“中介”加以利用的教學行為.其核心理念就是把教材內容當作基本抓手，當成教學設計的想法庫、教學思路的靈感源泉，以此為“圓點”，科學拓展，適度豐富教學資源.也就是說，要用好教材，創造性地使用教材，根據實際情況對教材內容進行必要的取舍、調整甚至創造，從而實現對教材的“二次開發”.

一、基于問題串的設計視角

教師按照《課程標準》、教學目標和學生學情，對一節課的教學內容合理地進行取舍，設計一組或多組問題，組內問題要相互關聯，組外問題要層層遞進，并將主問題貫穿于整個教學活動中.當然，問題串的設計要貼近學生的最近發展區，遵循有情境、有層次、有探索的原則.基于問題串的課堂教學，能更好地引導學生由淺入深地展開思維探究，推進學生思維的發展，幫助學生形成良好的知識結構并深刻理解知識，從而在過程與結果、知識與能力之間架起橋梁.以下筆者從五個角度，結合實際教學談談如何設計問題串.

（一）從能力層次角度設計問題

知識的增長是以能力為媒介的，而能力的發展又以知識為基礎，二者相輔相成，一定條件下，還可相互轉化.學生能力層次有差異，問題的設計也要注意層次性，遵循先易后難的原則.設計簡單問題有兩個好處：一是問題層次低，能使每一個學生都積極參與到問題解決中來，都能在問題解決中有所收獲;二是切入點多，只要學生有想法、愿動筆，問題都能解決.

本設計首先要突破的就是自變量的選擇這一關，筆者從思維量小、切入點多方面出發，設計一道以角[α]為自變量，借助角[α]表示邊AB，BC的長度，從而求出矩形的面積的例題，為教材“例10”中以角為自變量作鋪墊.“例10”有三層作用：其一，示范作用，包括解題規范、分析方法、公式的綜合應用;其二，滲透數學思想，如函數建模思想、化歸思想;其三，發揮教材的育人作用，讓學生欣賞圖形、公式、運算符號之美，經歷思維的策略，體驗嚴苛的邏輯.

據此，筆者在設計時把“例10”與教材第228頁的“練習2”進行對調，把“練習2”作為第一個問題，把“例10”作為第二個問題，讓問題串以遞進方式呈現.這樣，不僅有利于知識、方法的自然生成，還有利于學生能力的提高、核心素養的培育.

問題1? ?（即練習2）要在半徑為R的圓形場地內建一個矩形的花壇，應怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

解析：設圓心為O，矩形[ABCD]的面積為S，[∠BAC=α（0<α<π2）]，則[AB=2Rcosα]，[BC=2Rsinα]，所以S=AB·BC[=4R2cosαsinα][=2R2sin2α].

所以，當[α]=[π4]時，花壇的面積最大，[S最大=2R2]，此時[AB=2R]，[BC=2R].

另外，此題還可假設[BC=x（0<x<2R）]，則[AB=4R2-x2]，依題意可得[S=AB·BC=]

[x4R2-x2]，[S2=x2（4R2-x2）≤][x2+4R2-x22]

[=4R4]，所以，[S最大=2R2]，此時[AB=2R]，[BC=2R].

解決此類問題有兩種思路：一是把長方形的一邊當變量，另一邊用這個變量表達出來，即可表達長方形的面積;二是引入輔助角，把長方形的兩邊都用含輔助角的三角函數表達，即可表達長方形的面積.

布魯姆的掌握學習理論認為，只要在提供恰當的材料和進行教學的同時，給每個學生提供適度的幫助和充分的時間，幾乎所有的學生都能完成學習任務或達到規定的學習目標.

問題2? ?（即例10）在扇形OPQ（圖略）中，半徑OP=1，圓心角[∠POQ=π3]，C是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記[∠POC=α]，求當角[α]取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

分析：可先建立矩形ABCD的面積S與[α]之間的函數關系[S=f（α）]，再求函數[S=f（α）]的最大值. 在此題的求解過程中，筆者把[y=asinx+bcosx]轉化為[y=a2+b2sin（x+φ）]的形式，這一過程蘊含了化歸思想（解題過程略）.

從問題1到問題2，學生經歷了解題方法由易到難的建構過程.筆者的目的是通過問題驅動和公式之間的相互轉化，滲透數學思想方法，培養學生的思維品質.數學家波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義但不太復雜的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

（二）從函數模型的多樣性角度設計問題

利用不同知識、選擇不同角度，函數模型的選擇也會有所不同，但要把握兩個基本原則：其一，內容要合適，比如有些函數模型只能在某類知識中使用，不能為了模型，生搬硬套;其二，方法的滲透要得當，最好是能用通法建立函數模型，也可以設計暫時無法求解的函數模型，后者在開拓解決問題的途徑方面很有價值，不能因為認識問題和解決問題的能力有限就因噎廢食，“雖不能至，心向往之”也是人類探索未知的一個動力，可以激發學生對后續學習的求知欲和興趣.把握這兩個原則設計的問題，既能鞏固所學知識，又能拓展學生思維，培育學生的數學核心素養.教師設計多樣性的函數模型，可以使不同層次學生的思維得到相應的激發，讓學生在潛移默化中增長知識、提升能力，感悟數學模型思想.

問題3? ?如圖1，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角[∠POQ=π3]，[C]是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形，求矩形ABCD的最大面積.

問題3即把“例10”中的“記[∠POC=α]”這一條件去掉，設問改成“求矩形ABCD的最大面積”.去掉“記[∠POC=α]”這個條件，就突破了對學生思維的限制，學生可以自由選取符合自己能力的方法，如自變量的選取、函數模型等，盡管所得函數有一部分暫時還無法求出其最大值，但能促進學生對函數模型多樣性的理解，并能使學生感受到此題求解以角為自變量的優越性.

思路1：與問題2解法相同，此處略.

思路2：在建立函數模型時，可設[AD=x（0<x<32）]，依題意可得[S=x（1-x2-33x）].如此，求矩形ABCD面積S的最大值，對高一學生來說雖然還比較困難，但至少多了一種自變量的選擇.

（三）從情境化角度設計問題

懷特海認為，將學科知識的學習嵌入廣泛的真實學習情境和真實社會發展情境，可以幫助學生在獲取相應的知識、技能和思維方式的同時，還能領會應用這些知識、技能和思維方式的情境化條件，由此為改變“呆滯”頑疾提供重要支撐[1].問題情境的選取應以學生熟悉的環境、身邊發生的事例為主，通過對背景材料的組織，構建起知識與現實生活的聯系，從而向學生表明，在學校中所學的知識有什么樣的用處，賦予學習以實際意義.

問題4? ?某學校要修建一個矩形的觀賽場地.決定在半徑為30m，圓心角為[2π3]的扇形空地O的內部修建一矩形觀賽場地ABCD（圖略），請你確定[B]點的位置，使觀賽場地的面積最大，并求出最大面積.

分析：如圖2，設CD的中點為M，連接OM交AB于N，記∠COM=θ，[θ∈（0，π3）]，問題4轉化為問題2.

問題4中的矩形ABCD與“例10”中的矩形ABCD內接于扇形的內接方式不同，這就為問題5的提出創造了條件.

（四）從數學實驗角度設計問題

問題4與問題2中的矩形是以不同方式內接于扇形中的，那么，不同的內接方式，矩形面積的最大值會發生怎樣的變化？這就為數學實驗提供了機會.所謂數學實驗，是指按照數學思想發展的脈絡，創造問題情境，設計系列問題，引導學生自主、積極、批判地思考，然后給出驗證和理論證明，從而使學生親歷數學建構，逐步把握認識事物、發展真理的方式方法，培養創造能力和科學研究意識，提高數學素養的一種數學探索活動[2].讓學生動手進行數學實驗，利用一個由靜止的狀態到按某一規律運動的動態情境，通過觀察和計算，運用直觀感知與數學運算方法，得出一般規律，明確不同量之間的內在聯系，能激發學生的問題意識、求異思維和發散思維，進而培養學生的創新能力.

課前，筆者預先安排學生4～6人為一組，每組準備1把扇子、1根橡皮筋、4個夾子，然后引導學生做如下3個實驗.

（1）把橡皮筋折成4段，構成一個矩形，把矩形內接到扇子上.內接方式一：把矩形一邊固定于扇形的母線OP上.內接方式二：把矩形相鄰的兩個頂點分別固定在扇形的兩條母線上，使得OA=OB.

（2）改變扇子夾角的大小.

（3）觀察內接矩形面積的大小變化.

讓學生動手實驗后，筆者再提出下面的問題.

問題5? ?在扇形OPQ中，設[OP=1]，圓心角∠POQ=θ（[0<θ≤π2]），[C]是扇形弧上的動點，矩形ABCD以兩種方式內接于扇形（圖略）.當角θ分別取[π6]，[π4]，[π3]，[π2]時，哪種內接方式可使矩形ABCD的面積更大？

（五）從課后作業角度設計問題

作業是課堂教學的延續，是教學過程中不可缺少的一部分，是使學生與教師在認識上達成共識、產生共鳴，并將數學知識內化為學生的個人素養、形成技能的有效方法.作業設計要能體現學生能力層次的差異性、解決問題模式的多樣性、解決方法的探索性、問題情境的熟悉性.作業可以布置3～5道題，在教師引導下供學生選擇，作業要有基本題、提高題、探索題，采用生活、生產和科技情境，緊扣教學內容，分層設計、多元呈現、開放探索，目的是鞏固所學知識、掌握主要方法、培養創新能力.比如以下設計的課后作業1是很具體的問題;課后作業2是利用兩個變量分別建立函數關系，以達到復習和鞏固之效;課后作業3通過引進變量θ，建立面積函數后，把問題轉化為求解三角函數的最值問題，通過三角恒等變換，鞏固化歸思想解決問題等.

課后作業1? ?如圖（略）所示，某交通協管員站在距L公路40米的P處測到一輛在公路L上行駛的轎車從A點到B點所用的時間為2秒，已知[∠APH=60°]，[∠BPH=30°]（[PH⊥L]），問轎車在這一段公路上是否超過80km/h的限制速度？

課后作業2? ? （改編自2008年高考江蘇卷理科第17題）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A，B，及CD的中點P處（圖略），已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm.

（1）設[∠BAO=θ（rad）]，將y表示成θ的函數關系式;

（2）設[OP=x（km）]，將y表示成θ的函數關系式.

課后作業3? ?如圖3，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在弧ST上，相鄰兩邊CQ，CR落在正方形的邊BC，CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.

二、教學設計反思

（一）體現課標新理念，彰顯教材育人價值

新教材是在《課程標準》理念指導下根據數學學科特點和需要編寫的，是具有一定范圍和深度的體現知識和技能的指導性文本.因此，教師設計教學時，可在遵循《課程標準》原有架構的基礎上，進行適當的調整，創設真實、自然的情境，讓課堂結構清晰順暢且符合學生認知，最大限度地調動學生的學習興趣，避免機械灌輸和“填鴨”.本課教學設計從學生認知特點與學情出發，把課后練習與例題進行對調，建構更加符合數學邏輯和學生心理的教學過程，利于學生理解數學知識，形成數學能力，實現數學學科的育人價值.

（二）一般觀念引領，通過問題串提煉思想方法

章建躍博士認為，一般觀念指的是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括……對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發現和提出數學問題等都具有指路明燈的作用[3].因此，在一般觀念的指導下，問題串的設計從四個角度出發，借助自變量的選取、情境的類比、函數模型的變化等，觸發繁與簡的對比，再用矩形放置位置的不同、扇形角度大小的改變、不同角的選擇等，引發學生思考，形成研究解決問題的一般思路，在變與不變中提煉出函數建模的數學思想方法.

（三）布置探索性問題，促進知識和經驗的遷移

教材只是對知識體系中的主要知識、數學思想作了介紹，不可能面面俱到，教師需要主動挖掘知識的深度與思維的廣度，不斷拓寬學生的思維通道，探索性問題就是很好的載體.比如，問題5讓學生在獨立思考、自主探究、合作交流下，經歷實質性思維參與過程，提升學生的素養，從而實現了數學實驗把“抽象問題具體化、隱性問題顯性化、靜態問題動態化”的功能.因此，依據教學內容恰當地設計探索性問題，促進知識和經驗的遷移，能激發學生的好奇心和求知欲，也是體現學科寬度、培養學生創新意識的重要途徑.

由于受到各種限制，教材不能將編寫者全部的、可能的想法與方案都呈現出來，通常展示的只是一種（或幾種）選擇（呈現方式、編排順序、內容載體等），因此，在設計教學時，教師必須考慮更多的因素與可能，從學生獲得最大發展的角度進行加工[4].“用教材教”作為一種理念，雖然沒有放之四海而皆準的模式和方法，但卻是有效教學的重要組成部分，是教師創造力的體現.貫徹“用教材教”這種理念的核心，必須充分發揮教材的示范和價值引領作用，把編寫者的智慧與希冀，實實在在地落實在對學生數學能力、意識、品質、素養的提升上.

參考文獻：

[1]懷特海.教育的目的[M].莊蓮平，王立中，譯.上海：文匯出版社，2012：2-3.

[2]邵瀟野.數學復習課教學中問題串的設計例談[J].中學數學教學參考（中旬），2011（6）：14-16.

[3]林淑晶，陳佩鳳.用數學實驗解決數學問題[J].課程教育研究（學法教法研究），2016（25）：280-282.

[4]丁福珍.整體觀指導下的初中函數單元總復習實踐研究[J].數學通報，2020（4）：47-51.