基于SIR的COVID-19病毒傳播動力學仿真研究＊

劉家瑞，胡彥蓉，劉洪久

（浙江農(nóng)林大學信息工程學院，浙江 杭州311300）

自2019-12-08出現(xiàn)第一例新型冠狀病毒肺炎以來，疫情發(fā)展十分迅猛。2020-01-11確診41例，到01-23武漢封城時，全國已出現(xiàn)感染病例830例，死亡25例。此后，不僅是武漢市，全國都進入疫情的快速蔓延時期。最高峰時，02-12新增病例14108例，死亡146人。雖然中國的疫情已得到良好的控制，但到2020-05-21已出現(xiàn)84516個確診病例，4645人死亡。從世界范圍看，由于各國的制度和文化習俗的不同，對疫情的重視程度也不同，2月中下旬，從意大利開始，緊接著西班牙、法國，疫情迅猛發(fā)展，席卷整個歐洲和美洲，乃至全世界。目前，疫情最嚴重的是美國，日新增20000余人，最高峰時接近50000人，截至2020-05-21，美國累計確診病例1593039例，累計死亡94941人，全世界累計確診病例5015328例，累計死亡330017人。COVID-19不僅給全世界人民的生命健康帶來嚴重的威脅，也給中國和全世界的經(jīng)濟造成了巨大損失。據(jù)專家估計，僅一季度中國經(jīng)濟的損失就高達3萬億元。而亞洲開發(fā)銀行估計，全球經(jīng)濟損失最高或達8.8萬億美元，相當于全球國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的9.7%。

因此，有必要研究COVID-19病毒的傳播規(guī)律，研究在不同的防控措施條件下病毒的變化趨勢，這對有效預防和控制病毒的二次爆發(fā)有積極的意義，同時總結(jié)COVID-19病毒的變化特點，對今后研究和預測類似傳染病的變化趨勢和防控均具有積極作用。

常見的傳染病模型有SI、SIS、SIR、SEIR模型[1-3]。最簡單的為SI模型，僅考慮易感人群（S）和染病人群（I）兩類，SI模型未考慮傳染病治愈和死亡的情況。SIS模型考慮了恢復者重新被感染的情況，但在COVID-19傳播中未見有治愈病人被重新感染的報道。SIR模型考慮了病愈和死亡的情況。SEIR模型考慮了潛伏狀態(tài)，但潛伏狀態(tài)難以發(fā)現(xiàn)和估計[4]。綜上所述，本文將以SIR模型進行系統(tǒng)動力學模型構(gòu)建和仿真。

1 數(shù)據(jù)來源與方法

1.1 數(shù)據(jù)來源和研究對象

論文的數(shù)據(jù)均來源于國家、湖北省和武漢市衛(wèi)生健康委員會的官方網(wǎng)站，由于疫情主要發(fā)生于武漢市，因此，本文的研究對象設(shè)定為武漢市，相應(yīng)的干預時間和防疫措施均以武漢市為準。

1.2 SIR系統(tǒng)動力學傳播模型

SIR模型包含3類人群：易感者（S）、感染者（I）和移除者（R）。其基本傳播動力學方程為[5]：

式（1）～（4）中：LS（t）為t時間易感人群的數(shù)量；t為時間，d；β為感染率；r為接觸人數(shù)；N為環(huán)境中的總?cè)丝跀?shù)（在一段時間里可認為是常數(shù)）；LI（t）為t時間感染人群數(shù)量；γ為移出率；LR（t）為t時間康復和死亡人群數(shù)量[6]。

SIR模型構(gòu)建的重要基礎(chǔ)假設(shè)為不考慮出生、死亡和流動因素的影響。原因在于在一個封閉的環(huán)境里，相對于人口總數(shù)而言，這部分所占的比例很小，且疫情變化的速度比死亡速度要顯著的多，故可忽略不計[7]。對于武漢市而言，2020-01-23封城，恰好滿足封閉環(huán)境的假設(shè)。

根據(jù)公式（1）～（4）可以構(gòu)建基本的SIR的系統(tǒng)動力學傳播模型，如圖1所示。

圖1 SIR系統(tǒng)動力學傳播模型

在傳染病模型中，還有一個重要的參數(shù)：基本再生系數(shù)R0，其含義為單位感染者在感染期內(nèi)平均傳染的人數(shù)。當R0＜1時COVID-19不會流行，感染者數(shù)量LI（t）將會單調(diào)下降而趨近于零。當R0＞1時，COVID-19將會流行，染病者數(shù)量LI（t）逐漸上升而最終發(fā)展成地方病。R0=1是作為COVID-19是否消失的界限，意義非常重大[6]。R0可由公式（5）確定：

式（5）中：λ為早期感染率，λ=ln（LYt）/t，（LYt）為t時刻的感染數(shù)量；Tg為生成時間；P為潛伏期占生成時間的比例。

2 模型仿真和結(jié)果討論

2.1 未采取防控措施條件下

未采取任何防控手段，則疫情處于完全自然傳播狀態(tài)，模型參數(shù)和仿真結(jié)果如下。

2.1.1 模型參數(shù)

人口總數(shù)N：根據(jù)武漢市2019年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，城鎮(zhèn)常駐人口為902.45萬。

初始感染數(shù)：初始感染數(shù)41人，來自于2020-01-15武漢衛(wèi)健委公布的數(shù)據(jù)。

感染率β：感染率β為0.0358，根據(jù)2020-01-16—2020-03-17的數(shù)據(jù)（原因在于其后新增病例基本為0），采用最小二乘法求得。

接觸人數(shù)r：接觸人數(shù)r為16人，根據(jù)新增密切接觸人數(shù)和新確診人數(shù)之比的平均值，人均密切接觸人數(shù)約為16。

移出率γ：移出率γ為0.25，根據(jù)鐘南山院士團隊的研究，COVID-19的潛伏期中位數(shù)為4d[8]，則γ=1/4。

2.1.2 模型仿真

將模型參數(shù)代入圖1的模型，可得易感數(shù)量、感染數(shù)量和移出數(shù)量隨時間變化情況，如圖2所示。

圖2 自然傳播情況下的仿真結(jié)果

從圖2（a）中可以看出，自2020-01-15起，85d后易感數(shù)量趨于穩(wěn)定，數(shù)量保持在110.6萬人，44d后感染數(shù)量達到峰值為195.745萬人；移出數(shù)量在90d后基本達到穩(wěn)定狀態(tài)791.8萬人，累計確診人數(shù)等于穩(wěn)定狀態(tài)的移出數(shù)量，同樣為791.8萬人。可見，武漢市如不采取任何防控措施，到2020-04中旬，累積感染人數(shù)將達到總?cè)丝跀?shù)量的87.74%，死亡人數(shù)可能達到49.1萬人（按統(tǒng)計死亡率6.62%計算），后果將十分嚴重。

2.2 采取防控措施條件下

發(fā)生疫情后，武漢市除封城外，嚴格限制居民出行，2020-02-10開始規(guī)定：居民每戶3d只能有1人可以外出，且出行居民均要求戴口罩，洗手、消毒措施均已變成居民常態(tài)，這些措施能夠有效地降低接觸人數(shù)，模型參數(shù)和仿真結(jié)果如下。

2.2.1 模型參數(shù)

由于限制出行等措施主要影響接觸人數(shù)r，根據(jù)公開發(fā)布的2020-02-10感染人數(shù)，將16400人作為初始感染人數(shù)，其余參數(shù)保持不變。接觸人數(shù)可以根據(jù)武漢市疫情數(shù)據(jù)采用最小二乘法倒推r=4.5。

2.2.2 模型仿真

同樣將模型參數(shù)代入圖1的模型，可得易感數(shù)量、感染數(shù)量和移出數(shù)量隨時間變化情況，如圖3所示。

從圖3（a）可以看出，自2020-02-10起，50d后易感數(shù)量趨于穩(wěn)定，數(shù)量保持在897.8萬人；55d后感染數(shù)量為94人，下降到100人以下；移出數(shù)量在50d后基本達到穩(wěn)定狀態(tài)4.544萬人，累計確診人數(shù)等于穩(wěn)定狀態(tài)的移出數(shù)量，同樣為4.544萬人。仿真結(jié)果與湖北省衛(wèi)健委公布的數(shù)據(jù)基本相同。武漢市采取強有力的防控措施，武漢市民積極配合，為疫情防護作出了巨大的貢獻，到2020-03底，累積感染人數(shù)僅占總?cè)丝跀?shù)量的0.55%，死亡人數(shù)2553人，仿真結(jié)果證實了武漢市采取防控措施的有效性，體現(xiàn)了黨和政府的英明決策。

2.3 基本再生系數(shù)的仿真

自2019-12-08—2020-01-23，疫情已發(fā)生t=47d，則LY（47）=2189（根據(jù)2020-02-12修正數(shù)據(jù)回溯而得），λ=ln（2189）/47=0.1636。根據(jù)文獻Tg的范圍區(qū)間為[8.4，10]，P=0.7[9]，代入公式（5）采用Python進行仿真，可以計算出R0=[2.804，3.246]，顯然R0＞1，新冠肺炎如不加控制會出現(xiàn)大流行，這在歐美國家的表現(xiàn)可以清晰地看到，美國感染數(shù)量已近200萬人，死亡數(shù)量已超10萬人，鼓吹群體免疫的英國、瑞典、巴西等國家的防控全部失敗。

同樣計算出2020-02-10采取嚴格防控措施后有效再生系數(shù)RT的變化。此時λ=ln（28742）/75=0.1636，Tg的范圍區(qū)間為[2，7]，其他參數(shù)保持不變，采用Python進行仿真，則RT=[1.291，2.167]。顯然，病毒的傳染強度大為降低，樂觀的情況下已經(jīng)接近于1，這也是為什么武漢市在3月中旬疫情已基本得到控制的原因。

3 研究結(jié)論

新型冠狀病毒肺炎的疫情傳播不同于一般的傳染病，也不同于2013年的SARS的傳播，具有極強的致病性和傳染性。通過建立系統(tǒng)動力學模型的仿真和基本再生系數(shù)R0的測算，可以得出以下結(jié)論：①不采取任何防控措施，即采取群體免疫的策略，武漢市疫情爆發(fā)后果將極其嚴重。根據(jù)仿真結(jié)果，基本再生系數(shù)可能超過3.2（有無證感染者存在），如不采取任何措施，2020-02底，感染數(shù)量的峰值為195.745萬人，到2020-04中旬，累積感染人數(shù)將達到791.8萬人，占總?cè)丝跀?shù)量的87.74%，死亡人數(shù)可能達到49.1萬人，武漢市人民的生命健康將受到重創(chuàng)。②嚴格的防控措施，對疫情在短期內(nèi)得到控制起到了關(guān)鍵性的作用。2020-02-10開始實施嚴格的防控措施，使感染人數(shù)快速趨于穩(wěn)定。仿真結(jié)果表明，有效再生系數(shù)下限接近于1，到2020-04初，感染數(shù)量下降到100人以下，累計確診人數(shù)穩(wěn)定在4.544萬人。仿真結(jié)果與武漢市衛(wèi)健委公布的數(shù)據(jù)基本相符，疫情得到有效控制，真正體現(xiàn)了習總書記“把人民生命安全和身體健康放在首位”的指示。③系統(tǒng)動力學模型能夠比較有效地仿真疫情的變化趨勢，可以作為疫情預測和控制的依據(jù)。SIR系統(tǒng)動力學傳播模型能夠有效地仿真易感人數(shù)、感染人數(shù)和移出人數(shù)隨時間的變化規(guī)律，使決策者能夠比較清楚地了解不同防控措施下疫情的變化情況，有利于科學決策。