借助好題提高學生數學綜合能力淺探

王培幼

借助好題提高學生數學綜合能力淺探

王培幼

（寧波市奉化居敬小學,浙江寧波315502）

《義務教育教學課程標準（2011版）》指出：數學評價既要關注學生知識與技能的理解和掌握，更要關注他們情感的形成和發展；既要關注學生數學學習的結果與成效，更要關注他們學習過程中的變化和發展。為了落實新課標的評價理念，許多好題應運而生，教師應走出讓學生重復練習的怪圈，搜集好題、讀懂好題、用透好題，讓學生在好題的練習和熏陶下，知識和能力得到提升。

過程理解；核心素養；綜合能力

數學習題是教學中的重要組成部分。好的習題，不僅可以加深學生對知識的理解，更有助于發展他們的各種能力，切實培養學生的核心素養。

一、好題，基于真實情境

好題跳出了純粹數學的思維框架，把數學知識和數學技能置于“身邊數學”的現實情境中，能培養學生的數學應用意識和解決實際問題的能力。

好題1：

圖1

一個用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，長20米，橫截面是一個半徑為2米的半圓形，如圖1所示。

（1）這個大棚的占地面積是多少平方米？

（2）搭建這個大棚至少要用塑料薄膜多少平方米？

（3）大棚內的空間有多大？

賞析：弗賴登塔爾認為，數學學習需要學生完成兩次轉換：首先要將現實問題轉化成數學問題，實現第一次轉換；再建立數學問題與數學形式系統之間的關系，實現第二次轉換。求大棚的占地面積就是求圓柱沿著底面直徑的縱剖面面積，搭建大棚至少要用的塑料薄膜就是求圓柱表面積的一半，大棚內的空間大小就是求圓柱體積的一半。雖然三小題用到的都是圓柱中的基本知識，但這樣貼近真實情境的題比起單純的幾何題對學生更具挑戰，學生只有明確了問題所指，才能完成從現實問題到數學問題的轉換，繼而收集有效信息，利用公式求解。

二、好題，重視過程理解

好題應該做到過程與結果并重，在解題過程中能夠使知識的探索發現過程再現出來，再一次經歷知識形成過程，培養學生的探究意識和探究能力。

好題2：

圖2

小明在解決“已知圓柱的底面直徑為6cm，高8cm，求這個圓柱的體積。”這一問題的時候，沒有直接用體積公式進行計算，而是根據圓柱體體積計算公式的推導過程，想出了一種別出心裁的方法，分步計算圓柱的體積（如圖2所示）。能看懂他的方法嗎？請補上小明的最后一步（第三步）算式，計算出圓柱體的體積。

第一步：3.14×6÷2=9.42cm

第二步：6÷2=3cm

第三步：_______________

請你借助右圖說說小明這樣做的理由：_______。

賞析：在教學中既要重視結果，更要重視知識的獲得過程，在考查中，同樣應重視對知識獲得過程的理解。計算圓柱體積不難，本題將學生的思路引向圓柱體體積計算公式的推導過程，學生想要補上小明的第三步必須先看懂前兩步。通過這樣的考查形式，能充分掌握學生學習新課時的狀態，檢測是否經歷過圓柱體體積計算公式推導過程，是否理解這一過程。

三、好題，關注核心素養

對學生核心素養的培養不僅體現在課堂上，也可以體現在習題中。好題可以將培養學生的推理思想、幾何直觀、化歸思想、轉化思想、數感、空間觀念等數學素養融入其中，使學生在做題過程中發展各種能力。

好題3：

用8塊相同的長方形地磚拼成一塊長方形地面，地面周長為300厘米，地磚的拼放方式如圖3所示，試求每塊地磚的寬。

圖3

賞析：此題可以培養學生的推理能力。根據給出的信息“周長300厘米”，學生需要找到長方形地面的周長是由五條長五條寬組成的，因為長寬數量相同，所以可以將周長平均分成五份得到一組長寬的和是60厘米。通過進一步觀察，學生需要推理出一條長相當于三條寬，因此可以將長寬的和用四條寬代替，從而求出每塊地磚的寬。在整個解題過程中，學生需要經歷不斷地觀察、對比、分析、推理的過程，能切實培養學生的核心素養。

好題4：

圖4

一個長6厘米，寬4厘米，高12厘米的長方體牛奶盒，裝滿牛奶。笑笑在準備喝牛奶時一不小心把盒子弄歪了，灑出一些牛奶，也就是圖中的空白部分。灑出（）毫升牛奶，如圖4所示。

賞析：空白部分是一個三棱柱，雖然教材沒有出現三棱柱體積計算方法，但是在以往的學習過程中，一部分學生已經積累了豐富的學習經驗，通過長方體、正方體、圓柱等直棱柱體積都可以用“底面積×高”計算，他們已經能夠根據三棱柱的特征推理出也可以用同樣的方法計算體積，這對學生來說是一個展示的機會。本題也可以利用“轉化”的思想，將空白部分×2，把三棱柱轉化為長方體，這樣就能利用舊知求出新知。推理能力的培養和轉化思想的滲透都是培養學生核心素養的落腳點。

四、好題，發展綜合能力

學生對于單項知識的題解決起來不難，但把會解決的幾個單項題綜合起呈現在同一題中就會感到困難，他們無法識別或調用需要用到的知識，使解題陷入一片混沌。因此，為學生設置進行綜合能力訓練的題很有必要。

好題5：

圖5

如圖5所示，一輛汽車早上8：00從A地出發，以平均每小時60千米的速度行駛，11：30到達目的地。目的地應該是（）城。

賞析：此題需要學生應用多種知識解決：求經過時間、行程問題、應用比例尺求圖上距離、化曲為直估計長度等知識。學生應先算出汽車用了3.5小時行駛了210千米，根據線段比例尺推算圖上距離約是4厘米多一些，而A地到三個城市的路線又是曲的，還應有“化曲為直”的思想進行估計，目的地應該是乙城。一道題承載眾多知識點，對學生的綜合能力是一種考驗。

好題6：

圖6

圖7

一個無水的長方體玻璃缸（圖6），長48厘米，寬25厘米，高30厘米。有一水龍頭從8:00開始向玻璃缸內注水，水的流量為每分鐘8立方分米。8:03關閉水管停止注水。8:04在玻璃缸內放入一個高為16厘米的長方體鐵塊，全部浸沒于水中。玻璃缸的水面高度（單位“厘米”）從注水到放入鐵塊的變化情況如圖7。

（1）圖7中點（）的位置表示停止注水。（從點A、B、C中選擇）

（2）8:03時玻璃缸水面高度為（）厘米。

（3）請列式計算，求出長方體鐵塊的底面積。

賞析：此題主要是等積變形思想的題型，需要學生具有“轉化”的思想，其中還需要學生具備讀圖能力、運算能力、簡算意識等，可謂綜合性強大。第（1）題哪個點表示停止注水，學生通過圖7進行分析，A、C兩點的時間點與停止注水不符，也可以從線的變化趨勢進行分析，A-B呈直線上升，時間和水面高度成正比例，說明水龍頭是開著的。B-C水的變化與前面不同，點C是放入鐵塊，水面會比點B時上升，因此點B表示停止注水。第（2）題求8：03時水面高度，可以通過“注入水的總體積÷底面積”的方法解決，這里還涉及單位轉換的問題，在計算底面積“48×25”時還能考查學生的簡算意識，能否主動將48進行拆數。第（3）題等積變形，將放入長方體鐵塊體積轉化為上升部分水的體積，在計算“48×25×（24-20）”時，考查學生能否靈活運用乘法結合律進行運算。一道題蘊含著多方面知識，不愧為考查學生綜合能力的好題。

評價關注點的轉變必定帶來命題落腳點的轉變，習題、試題的編制應基于學生、基于生活、基于課程、基于發展。除了檢查基礎知識、基本技能的掌握情況，還應著眼學生的知識獲取過程，考查活動經驗的積累情況，以及思維水平的發展狀況，多搜集好題、學習好題、編制好題，切實提高學生的知識技能，發展思維，提高核心素養。

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1002-7661(2022)01-0180-03