分形理論及修正鉆速方程預測石膏夾層巖石可鉆性

李嵬巖

（大慶鉆探工程公司地質錄井一公司，黑龍江大慶163411）

伊拉克魯邁拉油田位于伊拉克南部巴士拉省與科威特交界處，構造位置屬于中東波斯灣盆地美索不達米亞平原。油田由南北2個長軸背斜構造構成，中部以鞍狀構造相連，北魯邁拉近南北方向展布，南魯邁拉以NNW向展布[1]。其RUS地層發育厚層硬石膏，夾薄層白云巖，地層軟硬交替，易造成機械鉆速過低、PDC鉆頭崩齒、定向工具面不穩定等諸多不利情況發生。對該層巖石剖面的可鉆性研究，直接影響到鉆頭的優選和參數的優化。針對該區塊缺少鉆井取芯、室內巖石力學分析等條件的不足，引入上返巖屑分布規律可確定巖石破碎難易程度的理論，結合修正鉆速方程，為鉆井施工中選擇合理的鉆井參數及鉆頭優選提供了科學依據。

1 分形幾何理論

分形（Fractal）是由Harvard 大學Benoit B.Mondel?brot教授在1975年首次提出，其原意：“不規則的、分數的、支離破碎的”的物體，可看作大小碎片聚集的狀態，是特征長度的圖形和構造以及現象的總稱。分形幾何學在巖石力學方面得到了廣泛應用：巖體爆破破碎分形、斷裂構造分形、巖石分形強度理論、巖石斷裂、損傷分形等[2]。大量的研究發現破碎后的巖石顆粒具有自相似表面，顆粒表面積明顯非線性顆粒的平均半徑，顆粒的表面積與顆粒尺度的關系在統計意義下表現為分形[3]。

1.1 上返巖屑顆粒分布函數

在眾多顆粒分布規律函數中，Rosin-Rammler 和Gaudin-schuhmann 分布函數為最具代表性。通常認為Rosin-Rammler 分布趨向粗粒端，Gaudin-schuh?mann分布趨向細粒端[2]。井筒上返巖屑粒度總體分布細粒端占較大比例，因此Gaudin-Schuhmann分布函數更適合鉆井現場上返巖屑塊度分布的分形描述，其函數表達式為：

式中：x——破碎產物的尺寸；

y——巖石破碎產物小于尺寸x的相對累積量；

xm——粒度特性系數，即巖屑的理論最大粒徑；

n——均勻性系數，表征粒度分布范圍。

1.2 上返巖屑塊狀粒度分形維數模型

上返巖屑塊狀粒度分布分形模型一般采用1 巖屑顆粒數量—尺寸關系、2 巖屑篩分質量—尺寸關系來確定。由于上返巖屑顆粒尺度分布趨于細粒端，因而單純從顆粒數量統計角度出發來分析上返的巖屑顆粒分布特征是及其困難的。為了方便研究，選用質量—尺寸關系確定分形維數。

使用不同孔徑r的“篩子”對上返巖屑顆粒篩選，其結果：粒徑小于r的碎屑顆粒漏下去，而粒徑大于r的碎屑顆粒則存留在篩面上。設巖屑顆粒的總數為N(r)，粒徑小于r的巖屑估計質量為M(r)，巖屑總質量為M，那么上返巖屑遵循式（1）中的G-S分布函數：

對式（2）兩邊取對數：

對式（3）兩邊求導數：

由分形的概念得：

考慮到 dM∝r3dN，有：

由式（4）、（5）、（6）可知分形維數D：

由式（3）可知，均勻性系數n可由做一元線性擬合求解斜率。

1.3 巖屑樣品采集

由于研究區在區域地質沉積變化不大，所選井基本上可以代表區域整體情況。本次實驗對象選擇R-X井，上返巖屑采集井段為：670.00～830.00m，層位：RUS，主要巖性為：厚層硬石膏夾薄層白云巖。樣品采集密度為10m/次，取樣地點為振動篩處，每個樣本重量為約300g，自然干燥后裝袋并標注井深。

將采集的巖屑樣品選用不同孔徑的篩子篩分稱重，篩孔為方形，孔徑分級為0.5mm、1.0mm、1.6mm、2.0mm、5.0mm、10.0mm，不同孔徑條件下篩分的巖屑質量累計百分比結果見表1。

表1 上返巖屑篩分百分比

對巖石可鉆性級值與分形維數擬合可得：

從表2數據中可以看出：在縱向上巖屑樣本具有較好的分形結構，相關系數均在0.80以上，分形維數集中在2.01～2.3 之間。其中，巖屑顆粒直徑越小所占的質量分數越大，分形維數越高；反之，則相反。

2 鉆速方程逆推求解巖石可鉆性

在鉆具組合、泥漿性能、地層壓力等各種條件恒定的前提下，結合巖石可鉆性因素，鉆速方程可以表達為[4-6]:

式中：ROP——機械鉆速，m/h；

RPM——鉆頭每小時總轉數，r/h；

W——鉆壓，kN；

Kd——巖石可鉆性等級。

實際上鉆壓與鉆速之間并不是呈現指數關系，使用對數關系擬合更符合實際，即：鉆壓增加，機械鉆速隨著增加；但是當鉆壓增加到某一數值后，機械鉆速的增幅逐漸減小趨于平穩。因此?？蓪ⅲ?）式修正為：

表2 各樣本粒度分形維數統計

由式（10）得到巖石可鉆性級值Kd：

式（11）中b和c可以根據不同巖性條件下各鉆井參數的錄井數據擬合回歸求得，例如純泥巖巖性條件下的可鉆性級值表達式為：

3 粒度分形維數與鉆速方程逆推法預測結果分析對比與實際使用情況

在R-Y 井于井段530～1950m 地層中對采用上述兩種預測方法進行計算處理(圖1)，兩種巖石可鉆性結果相似度極高，相關系數高達95%以上，說明預測結果符合實際，均可以用于該區域可鉆性預測。在軟硬交替石膏地層中，根據巖石可鉆性預測，在9口井中優選KM533X復合鉆頭，累計總鉆井進尺7059m，平均機械鉆速為6.67m/h,比單只PDC機械鉆速提高29.90%，比3A鉆頭機械鉆速提高31.92%。

圖1 巖屑粒度分形維數與修正鉆速逆推法預測結果對比圖