求解應用題的函數方程思想及幾種常見的解題技巧

【摘要】本文以應用選擇題為例，闡述了從題干中提取有用信息的函數方程思想及幾種常見的微觀解題技巧。解題技巧分別為：直接代入法、數字特征法和差異分析法。

【關鍵詞】函數方程思想直接代入法數字特征法差異分析法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0144-02

如何將理解和技巧有效地結合起來，加快解題速度，一直是數學教學的難題。針對應用選擇題的求解，本文將常用的函數方程思想和幾種解題技巧聯合起來，教同學們怎么去理解題意，怎么去發現題干中隱藏的解題技巧。

函數方程思想是指利用題干中提供的變量之間的對應關系，把已知量與未知量之間的數量關系轉化成方程或方程組等數學模型。解題技巧就是解題時的切入點，主要有兩個方面：一個是針對具體題型的套路化解題思路；另一個是針對各類問題的通用處理技巧。所謂技巧，不是捷徑，而是熟能生巧，必須在理解的基礎上才能熟練掌握。本文將介紹三種解題技巧：直接代入法、數字特征法和差異分析法。下面，通過幾個例子來闡述上述觀點。

一、直接代入法

直接代入法就是將題目的選項直接代入題干進行判斷的方法。以下舉例說明

【例1】一個三位數的各位數字之和是16。其中十位數比個位數小3。如果把這個三位數的百位數字和個位數字對調，得到一個新的三位數，則新的三位數比原來三位數大495，則原來的三位數是（ ）。

A. 268B. 358C. 462D. 636

解：利用函數方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.首先設這個三位數為xyz；b.第一句話可知：x+y+z=16；c.第二句話可知：z-y=3；d.第三句話可知：zyx-xyz=495，因為兩個數的中間數字相同，相減后得到數的中間數字為9；可得到x＜z并且z=x+4+1=x+5。通過聯立b、c和d中關于x、y、z的方程，可解得x=3;y=5;z=8。直接代入法驗證，將四個選項直接代入題干，只有B選項符合題意。

二、數字特征法

數字特征法，指不通過具體計算，而只是考慮結果所應滿足的數字特征得出答案的方法。此方法的快速應用要求學生掌握兩點：第一，能迅速從題干中得到答案所符合的數字特征；第二，熟悉基本的數字規律，包括奇偶性規律與整除規律。以下通過兩個例子來說明：

【例2】甲、乙、丙三人共處理文件48份，已知丙比甲多處理8份，乙比甲多處理4份，則甲、乙、丙處理文件效率的比值為（ ）。

A. 2:5:4B. 3:5:4C. 4:2:5D. 3:4:5

解：利用函數方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.設甲、乙、丙分別處理了x、y、z份文件；b.由題干可得出三個信息：x+y+z=48，z-x=8，y-x=4。通過b中的三個方程，可解得x=12;y=16;z=20。數字特征法驗證，由題意可知，丙處理最多，甲處理最少，符合這個關系的只有選項D。

【例3】一個邊長為80厘米的正方形，依次連接四邊中點得到第二個正方形，這樣繼續下去可得到第三、第四、第五、第六個正方形，問第六個正方形的面積是（ ）平方厘米。

A.128B. 182C. 200D. 242

解：利用函數方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.第一個正方形的面積為：802；b.第二個正方形的面積為：(■×80)2=■×(80)2；c.依次類推：第n個正方形的面積為(■)n-1×(80)2。由c可得，第六個正方形的面積為200平方厘米。數字特征法驗證，第一個正方形邊長為80，其面積值中含因子5，而后每次面積變為原來的一半，因此而后正方形的面積均含有因子5，四個選項中僅C選項能被5整除。

三、差異分析法

差異分析法，指面對出現兩種以上的情況時，通過分析不同情形之間的差異來獲得答案。其本質就是去除相同部分的干擾，使需要分析的對象變得更加簡潔明了。以下通過兩個例子來說明：【例4】一件工作甲先做6小時，乙接著做12小時可以完成。甲先做8小時，乙接著做6小時也可以完成。如果甲先做3小時后，再由乙接著做，還需要（ ）小時完成。

A.16B. 18C. 21D.24

解：利用函數方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.假設工作總量為M，甲每小時效率為x，乙每小時效率為y；b.第一句話可知：6x+12y=M；c.第二句話可知：8x+6y=M；d.第三句話可知：3x+?y=M。通過b、c、d可解得x=M/10；y=M/30。將解得的x、y代入d中，得到乙所需時間為21小時。差異分析法驗證，由題意可知，甲多做2小時，乙少做6小時，甲與乙時間效率比為1:3，甲單做3小時后，乙接著做，所需時間為3×3+12=21（小時）。

【例5】有兩種瓶，第一種能裝水5千克，第二種能裝1千克，現有100千克水，共用了52瓶。問這兩種瓶子相差（ ）個。

A. 26B. 28C. 30D. 32

解：利用函數方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.假設第一種瓶為x個，第二種瓶為y個；b.由題意可知：5x+y=100；x+y=52由b可解得x=12;y=40。差異分析法驗證，先假設52個瓶子都是第二種瓶，則可裝水52千克，而實際裝水100千克，兩者相差48千克。這個差值是因為第一種瓶要再多裝4千克，因此共需第一種瓶12個，第二種瓶40個，兩者相差28個。

四、結語

很多同學反映，考試的時候題都會做，但就是時間不夠。一方面，說明學生掌握了知識點，理解了題意；另一方面，則說明解題速度偏慢，技巧掌握不夠。

如上述例題，用函數方程思想均可解。但由于時間問題，考試時不可取。在考場上，首先應使用直接代入法，其次再尋找適合題目特征的解題方法，最后才是運用函數方程思想進行求解。同時，應用題的題型是多種多樣的，上述幾種方法是不夠的，同學們平時應多練習、多積累。這樣同學們才能在考場上面對考題游刃有余。

參考文獻：

[1]黃家超.初中數學教學中如何滲透數學思想方法[J].教育教學論壇，2001(30).

[2]黃明信.淺談如何把握數學思想方法教學[J].數學學習與研究， 2010(08).

[3]陳曉輝.初中數學教學的幾點實踐與探索[J].當代教育論壇(教學研究)，2010(09).