基于教材習題設計問題 提升作業的思維含量

劉顯鵬

（葫蘆島市建昌縣頭道營子鄉小學中心校）

數學作業是課堂教學的延續，是教學過程中不可缺少的環節，是促進學生自主學習、鞏固所學知識、內化思想方法、發展創新思維、提高問題解決能力、培養高階思維的重要載體?！半p減”背景下，校內減輕學生作業負擔，應首抓作業設計質量。反思以往的教學，很多教師普遍重視作業對知識技能的鞏固與強化的功能，小學數學作業設計多采用“拿來主義”，從教材中選擇幾道與例題聯系緊密的習題作為作業內容，且這些題多屬于“知道”級別的認知類型。這樣的作業設計缺少對學習水平較低或較高層面學生的關注，很容易讓學生陷入一種疲于應付且毫無成就感的作業完成狀態，會導致作業興趣的逐漸喪失。事實上，教師可以基于教材習題開發設計作業，挖掘習題中有價值的因素，科學設計難度適中的問題，最大限度地拓展學生的減負空間，讓深度學習真正發生，進而實現作業的“減負增效”。

一、剖析習題的數學本質，培養思維的深刻性

作業的本質是學生學習內化的過程，教師應該明確，讓學生完成作業并不是為了完成任務，而是理解知識，掌握知識的本質特征。通過剖析問題的本質，調動學生積極思考，引發學生的認知沖突，培養思維的深刻性。

如人教版《義務教育教科書·數學》六年級下冊“練習八”中的第14 題：把下面的等式改寫成比例3×40=8×15。

通常情況下，教師會讓學生先獨立完成，全班匯報寫出比例式，匯總后得到8 個比例式“15∶3=40∶8，8∶3=40∶15，8∶40=3∶15，15∶40=3∶8，3∶8=15∶40，40∶8=15∶3，40∶15=8∶3，3∶15=8∶40”。這樣處理，教學過程雖然很流暢，但訓練目標過于單一，學生對等積式與比例式之間的聯系感受不深。怎樣解決這個問題呢？深入思考后，我做了這樣的設計：在習題后面添加適當的思考追問，訓練學生分析問題的全面性和推理的嚴密性。先把等式3×40=8×15 改寫成比例，再完成后面的習題：

（1）改寫的依據是（ ）；

（2）改寫的方法是先確定兩個（ ），得到（ ）個比例式，再確定兩個（ ），又得到（ ）個比例式；

（3）任何一個等積式都可以改寫為（ ）個比例式。

把等積式改寫為比例式，是比例基本性質的逆向應用。事實證明，添加3 個問題后，原來很簡單的一道習題呈現了其獨特的思考價值和魅力，激發思考，啟迪思維，發展潛能。

問題（1）要求學生對改寫依據進行陳述，鞏固了比例的基本性質“在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積”。

問題（2）對改寫方法的強調，有效溝通了等積式與比例式之間的聯系，學生可以把等式兩邊的兩個乘數分別看成比例的內項和外項。如果用3和40做內項，得到四個比例，再用8 和15 做內項，又得到4個比例；也可以先用3 和40 做外項寫4 個比例，再用8和15做外項寫4個比例。通過這樣的訓練，培養學生初步養成樂于思考、言必有據的良好品質。

問題（3）總結發現“任何一個等積式都可以改寫為8 個比例式”這一具有普遍性的結論，拓展并完善了學生的認知結構。

這樣的問題設計既培養了學生的問題意識，又發展了思維能力，還使“知識本質”得到了充分揭示。追本溯源實現了新舊知識點的勾連，達到了“整體理解、長遠發展”的目標。

二、理解習題中的算理，培養思維的條理性

學生是學習的主人，作業的設計要充分體現學生的主體地位，為他們提供分析和應用知識的機會。小學數學關于計算的內容很多，如多位數加減法、多位數乘除法、小數乘除法、分數乘除法等。在實際教學中，很多教師對計算非常重視，通過訓練強化計算技能，但學生計算的正確率依然不如人意。究其原因，在于很多學生只會死記硬背算法，而不理解算理，只知其然不知其所以然，即教學缺少數學思維訓練和思想方法的指導。這就要求數學作業的設計一定要基于學科素養進行，在理解算理、掌握算法、形成類比與轉化的思想中，培養學生思維的條理性。

如人教版《義務教育教科書·數學》三年級下冊“練習十一”中的第3題：

下面的計算正確嗎？把錯誤的改正過來。

學生通過觀察、實際演算，都會發現前兩題中的錯誤并順利改正。如果此題進行到這里算完成任務，這道習題的價值就大打折扣了。教師應該乘勝追擊，設問析理，引發學生深度思考：

下面的計算正確嗎？把錯誤的改正過來，并完成后面的填空題。

（1）我發現導致計算錯誤的原因有（ ）；

（2）通過計算，我發現：兩位數乘兩位數，積可能是（ ）位數，還可能是（ ）位數；如（ ）×（ ）=（ ），它的積就是（ ）位數；而（ ）×（ ）=（ ），它的積是（ ）位數。

判斷正誤并改正是學情診斷常用的題型，基于這類習題強化對算理和算法的訓練及思維能力的培養，一線教師一定要加以重視并付諸于實踐。

問題（1）引導學生分析計算錯誤的原因，思維的閘門隨即打開。他們發現第一個算式是口訣運用有誤，2×4 應該等于8，題中卻等于6，明顯是口算不熟練、不認真所致。平時要加強口算，以口算促筆算；第二個算式錯在第二部分積的末位沒有寫在十位上。表面上看，是積的對位出現問題，實質上是算理不清，缺乏對學科本質的理解：十位上的2 表示2 個十，59與2個十相乘，得到了118個十，乘得的積的末尾應該和十位對齊。這樣的問題剖析過程會給學生思維打上難以磨滅的烙印，他們慢慢就會學著用抽象和推理的方法理解算理，學會說理，慢慢就學會思考。這樣的問題設計，有效培養了思維的嚴密性。

問題（2）意在讓學生發現并掌握“兩位數乘兩位數，積可能是三位數，還可能是四位數”這一規律。留白式問題給學生明確的思考方向，他們得出結論后，通過舉例加以說明驗證，體會規律的普遍性，形成嚴謹求實的科學態度。

三、掌握習題的知識結構，培養思維的敏捷性

作業設計要突出對學生數學核心素養的培養。通過設問，使學生掌握學科知識的基本結構，在大腦中形成合理的“知識組塊”，培養思維的敏捷性。

如人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“練習十八”中的第2題：

這是“簡易方程”單元復習中的典型習題。習慣上，我們都是通過此類習題鞏固解簡易方程的方法和步驟。其實，因其處于單元復習的關鍵位置，我們在設計作業時，完全可以把它作為培養學生模型思想的訓練題：

觀察下面的方程，嘗試完成后面的問題。

（1）選擇上面方程中的一個，如____________，看到這個算式，你能想到什么？寫出你的想法；

（2）請畫出一個與你所選擇的算式相匹配的線段圖；

（3）你能試著創編一個與你所選擇的算式相契合的數學故事嗎？試一試。

按照課程標準要求，本單元中，學生要能用等式的基本性質解簡易方程，初步學會列方程解決一些簡單的實際問題，獲得數學建模的初步體驗。作為單元復習課的作業設計，其出發點應把知識、技能、思想的提升有機融為一體，適應不同層次學生的需要，讓學生成為學習的主動者和問題的探索者。

問題（1）讓學生自主選擇其中一個算式并寫出自己的想法，他們第一反應就是“解方程”，這正是教材設計的基本要求，體現了作業設計的基礎性，這里不再贅述。

問題（2）請學生畫出與所選算式相匹配的線段圖，這是數形結合的具體應用；根據所選方程的異同，他們的思維被充分調動起來，有用一條線段表示總量與部分量關系的，有用兩條線段或三條線段表示不同數量之間關系的，還有的采用了畫示意圖的方法。

從學生作業完成情況看，所有的學生都選擇了適合自己的切入點進行思考，學困生所選方程基本集中在本訓練題中的前面4 個小題，而學力較強的學生，則挑戰后面4 小題的比較多。他們所畫的線段圖不一定很規范，但他們的思維活躍且在完成的過程中不斷修正自己的想法，努力使結果完美呈現的過程是可圈可點的。

問題（3）讓學生試著創編一個與所選擇的算式相契合的數學故事，就是將數學模型回歸到生活模型，使學生感受數學的應用價值。

如42x+25x=134 這個方程，學生利用“路程=速度×時間”這一關系式，創編了“相遇問題”：

爸爸騎電動自行車每小時行駛42 千米，叔叔騎山地自行車每小時行駛25 千米。兩人同時從相距134千米的甲乙兩地相對而行，經過多長時間相遇？

還是這個方程，有學生利用“總價=單價×數量”，創編了“購物問題”：

一個少兒籃球的價格是42 元，一個少兒排球的價格是25 元。學校社團準備購進同樣數量的籃球和排球，134元可以買幾個籃球和幾個排球？

方程13（x+5）=169，學生創編了如下數學故事：

學校社團有體操隊、合唱隊和武術隊，已知武術隊有隊員169 人，是合唱隊人數的13 倍，合唱隊比體操隊多5人。體操隊有多少人？

精而優的作業設計，不僅有助于加深對所學知識的理解，而且有助于激發學生思考問題的興趣，較好地培養了學生探索、發現的創造意識。

四、變換習題的設計方式，培養思維的靈活性

設計內容豐富、形式新穎的作業，能為學生提供廣闊的思考空間。選擇典型習題，進行變式作業設計，以問題引發學生的發散式思維和立體思考，可以有效培養思維的靈活性。

如人教版《義務教育教科書·數學》六年級上冊“練習九”中的第1題：

某電視機廠去年全年生產電視機108 萬臺，其中上半年產量是下半年這個電視機廠去年上半年和下半年的產量分別是多少萬臺？

練后的批改中我發現，學生的正確率較高。但通過該練習，學生對所學新知是否達到了真正意義上的理解呢？作業對啟迪學生思維、帶給學生“數學思考”方面的作用是否得到了較好發揮呢？答案是否定的。于是，我把這道題進行了改編，意在激發他們的學習潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐。

（2）根據你修改后的條件，這個問題有幾種解決方法？試著寫一寫；

（3）解決問題遵循的基本數量關系是（ ）。

求兩個未知數的問題，教材提供的基本解決方法是列方程解答。而在實際教學中，很多學生更喜歡用算數方法解。那怎么溝通新知與學生已有知識間的聯系呢？在學生已經掌握基本的方程解法基礎上，我設計了這三個問題。

問題（2）關注學生的個體差異，有效實施有差異的教學，使每個學生都能得到充分的發展。學生根據自己修改后的條件，自己動腦解決問題。這正是對學生個性的充分尊重。

問題（3）由學生自行歸納解決問題的基本數量關系。應用題的各種解法都離不開基本的數量關系和正確的思維方法。如果沒有“一題一解”的知識基礎，“一題多解”則成了無源之水。不管采取哪種解題方法，都要正確判定誰是標準量，圍繞“標準量×分率=比較量”這一基本關系式展開。這樣，就幫助學生很好地做到了“理解學習”，切實避免了機械學習。

基于教材習題，積極探索并實施多樣化的作業設計，提升作業的思維含量，能給學生創造廣闊的思維空間，促使他們在知識的汲取、方法的獲得、技能的提升、情感的體驗等諸方面積極主動、生動活潑地發展，實現數學核心素養的全面提升。