實例在“自動控制原理”教學中的應用*

于巧娜 ， 高聯學

（濱州學院電氣工程學院，山東 濱州 256600）

隨著現代科技的發展，自動控制應用的場合越來越多，尤其在工業、農業、航空航天、國防科技等領域。“自動控制原理”是自動化專業必修課，是“現代控制原理”“電機控制”以及“自動控制系統設計”課程的基礎，只有學習了“自動控制原理”，才能進一步學習相關的控制課程[1-2]。學習“自動控制原理”課程的目的是讓學生掌握經典控制理論和狀態空間方法的相關知識，主要包括自動控制系統數學模型的建立、穩定性分析和穩態誤差的計算、根軌跡的繪制和頻率分析、系統的校正設計、非線性系統的分析方法、采樣系統理論和現代控制原理基礎。學習的內容理論性較強，學生理解起來比較困難，會出現學生掌握了相關知識但不知道具體的應用場合、理論聯系實際的能力比較差的情況。因此，需在課堂上引入現代科學案例，提高學生對課程的學習興趣和應用能力，進而提高學生的學習效率。課題組以具體的案例設計將現代科技與課程相關知識相結合，融入講課過程，以讓學生了解自動控制應用的場合，如何提出問題，如何運用相關的知識解決問題，以及最終如何驗證問題是否得到真正解決。

1 案例導入

上課之前，通過視頻向同學們展示“哈勃遺產場”（HLF）照片圖組，吸引同學們的注意力。同時對圖片進行介紹：哈勃遺產場是迄今最全面、最完整的宇宙圖譜，這些照片是由哈勃望遠鏡在16年里拍攝的大約7 500張照片拼接成的，包含星系大概有65 000個，這些星系有的至少具有133億歲的高齡。然后展示現仍在服役的哈勃望遠鏡的工作視頻。再介紹哈勃望遠鏡的歷史：哈勃望遠鏡是以天文學家愛德溫·哈勃的名字命名的，是運行在地球軌道上的望遠鏡，哈勃望遠鏡接收來自地面控制中心的指令，按照指令要求拍攝照片并將照片通過無線數據的形式傳回地球，因其在地球大氣層之外，可以獲得絕佳的拍攝視角。于1990年發射之后，成為天文史上最重要的觀測儀器。哈勃望遠鏡只有2.4米的鏡頭，但是卻可以將400英里以外的視場聚集在一個硬幣上。然而，哈勃望遠鏡觀測的圖片會存在一定的偏差，于1993年12月進行了一次大規模的校正任務。現根據已知的條件分析如何實現系統的校正過程，以及分析校正后的系統是否達到校正要求。

2 教學過程

實現哈勃望遠鏡系統的校正，需要分析哈勃望遠鏡所處的環境是什么，輸入信號是什么，干擾信息是什么。此時就需要教師將現實的輸入和干擾抽象為課本所學的信號類型，并引導學生分析典型外作用力，其主要包括以下方面。

根據上述信號類型，可以認為哈勃望遠鏡接收的指令信號為單位階躍信號和斜坡信號，受到來自外太空的干擾信號有階躍信號和脈沖信號[3]，而脈沖信號對系統的影響比較小，可以認為對哈勃望遠鏡的干擾信號主要為脈沖信號。因此，上述系統校正的目標主要是選擇合適的K和K1值，使系統達到以下目標：1）當系統的輸入為單位階躍信號時，系統輸出的超調量不超過10%；2）當系統的輸入為斜坡函數時，系統的穩態誤差達到最小值；3）系統在受到階躍信號的干擾下，系統受到的影響盡可能地小[4]。哈勃望遠鏡指向系統模型如圖1所示。由圖1可知，系統有內環，還需將系統框圖簡化為最簡系統。應用動態結構圖的等效變換，可以將系統簡化為如圖2所示的系統。

圖1 哈勃望遠鏡指向系統

圖2 簡化框圖

由圖2可以得出系統在指令信號和干擾信號下系統的輸出為：

對系統超調量分析時，需要知道只有系統接收到單位階躍信號時，系統才會產生超調量。這里所涉及的相關知識為：控制系統的時間響應，可以劃分為過渡過程和穩態過程。過渡過程指的是系統從初始狀態到接近最終穩態的響應過程；穩態過程指的是時間t趨向于無窮的輸出狀態。系統的性能指標滿足：1）延遲時間，為輸出響應曲線上升到穩態值的50%時所需的時間；2）上升時間，為輸出響應曲線上從穩態值的10%上升到90%所需的時間；3）峰值時間，為輸出響應曲線中輸出值超過穩態值達到第一個峰值所需的時間[5]；4）超調量，在輸出響應曲線上超出穩態值的最大偏離值和穩態值之比時，即5）穩態誤差，當時間趨于無窮時，系統的單位階躍響應的實際值與期望值之差，即

系統的誤差分析中，首先要判斷系統是否穩定，而判斷系統穩定的定理主要有赫爾維茨判據、林納德-奇帕特判據、勞斯判據。勞斯判據又稱為代數穩定判據，勞斯于1877年提出的穩定性判據能夠判定一個多項式方程中是否存在位于復平面右半部的正根，而不必求解方程。由此勞斯獲得了亞當獎。勞斯判據是一種代數判據方法。它是根據系統特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統的穩定性。由于不必求解方程，為系統的穩定性的判斷帶來了極大便利。假若勞斯陣列表中第一列系數均為正數，則該系統是穩定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系數有負數，則第一列系數符號的改變次數等于在右半平面上根的個數。勞斯判據不僅可以判別系統穩定性，即系統的絕對穩定性，而且也可檢驗系統是否有一定的穩定裕量，即相對穩定性[6]。另外，勞斯判據還可用來分析系統參數對穩定性的影響和鑒別延滯系統的穩定性。當前系統中，可以采用勞斯判據來判斷系統的穩定性。

穩態誤差的計算只要應用的是終值定理，若e(t)的拉普拉斯變換為E(s)，且存在，則有。上述定理需要注意的問題為：在計算系統誤差的終值（穩態誤差）時，遇到的誤差的象函數一般是s的有理分式函數，這時當且僅當的極點均在左半面，就可保證成立。sE(s)的極點均在左半面的條件中，蘊涵了閉環系統穩定的條件[7]。

介紹完相關的知識后，就可以繼續對哈倫望遠鏡進一步的求解。首先選擇K和K1值滿足對單位階躍輸入信號的超調量要求。令R(s)=A/S，D(S)=0，可以求出：

為了使超調量不超過10%，系統的阻尼比應為0.6，同時可以求出在阻尼比為0.6時，系統的超調量為9.5%，滿足了系統對超調量的要求。因此，可以暫時認定系統的阻尼比就為0.6[8-9]。

接下來對系統在輸入為單位斜坡函數信號時的穩態誤差。當輸入R(s)=Bt，t＞0時，根據誤差公式可以求得：

讓同學們自行推導由單位階躍干擾引起的穩態誤差，其結果為（-1/K）。根據上述誤差結果可知，增大K可以減小系統穩態誤差ess，也就是降低了干擾信號而引起的瞬態響應[8]。因此，就需要求出一個比較大的K和較大的K/K1，以確保系統對輸入信號為單位斜坡函數時，系統的輸出具有較小的穩態誤差[10]。與此同時，還需要確保前面已經確定的阻尼比為0.6時，來減小超調量。

為了完成對哈倫望遠鏡系統的設計，需要對系統的K值進行求解。當阻尼比為0.6時，系統的特征方程為[1]：

根據上述可知，若選擇K=25，則K1=6、K/K1=4.17。若選擇K=100，則K1=12、K/K1=8.33。在實際的應用系統中，總是希望系統是線性系統，因此，必須對K值進行限制，讓系統工作在線性區域[2]。當K=100時，可得出哈勃望遠鏡指向系統的結構如圖3所示。同時可得出系統對單位階躍信號和單位階躍干擾的響應如圖4所示，由圖可知，單位階躍響應對系統的影響并不是非常明顯。

圖3 哈勃望遠鏡指向系統的結構圖

圖4 系統對單位階躍信號和單位階躍干擾的瞬態響應

最后，可得到系統對斜坡輸入的穩態誤差為：

由此可見，當選擇K=100時，得到的是一個很好的系統。

3 小結

通過對哈勃望遠鏡的校正系統設計，逐步引導學生學習時域系統的典型外作用力、控制系統的時間響應指標、系統的誤差分析方法。讓學生掌握了相關知識的同時，也知道面對一個不太熟悉的系統應該如何分析、如何計算，大幅度地提高了學生對“自動控制原理”課程學習的興趣。