運用初等數學處理“彩虹圈”中的幾個物理問題

張 明

(江蘇省盱眙中學 江蘇 淮安 211700)

1 引言

在一次課外活動中，筆者所教的幾個中學生拿著“彩虹圈”向筆者問了幾個物理問題.“彩虹圈”是一種很流行的彈簧玩具，極其柔軟，通常由彈性好的彩色塑料制成，整體的橫截面有圓形、正方形、心形、五角形等等,簧絲截面為扁矩形.簧圈之間有一定的極小的預收縮力，不受外力時所有簧圈緊密排列在一起，因此不能壓縮，可以拉伸,可以彎曲.由于勁度系數很小，僅在自重的作用下就可以伸展為原長的十幾倍以上，它還可以自動翻滾、自動下樓梯等等，表現出許多奇妙的現象.若將處于水平地面的彩虹圈提起，讓它在自重的條件下完全伸展，如圖1所示，當上端釋放時，彩虹圈的下落過程與一般物體不同.令人驚奇的是，彩虹圈的收縮過程如同坍塌的高樓，它的底端在空中懸停不動，而它的上端從上至下依次做多米諾骨牌式的收縮，收縮下落尚未達到的點的平衡和靜止狀態保持不變，直至收縮到最低點，坍縮為一個緊密排列的整體后，才開始以一定的初速度整體向下做落體運動[1，2].從彩虹圈釋放開始,底端一直保持懸停，時間持續到彩虹圈完全坍縮.

圖1 分析形變量

學生問的幾個物理問題，在文獻[1，2]中能找到部分答案，但該文獻的論述中涉及波動力學方程、非齊次微分方程等，中學生既無相關物理知識基礎，也不具備相應的數學知識和運算能力，無法理解和接受，所以下面提出彩虹圈的簡化模型，嘗試運用中學生能理解的初等數學知識，對模型進行處理，解決彩虹圈中的幾個核心物理問題.

2 模型

彩虹圈是質量為m，勻質圓柱狀彈簧；緊密排列，預收縮力很小，忽略不計；遵循胡克定律；由于勁度系數κ極小，在自身重力作用下伸長量即可達原長的十幾倍以上，故原長忽略不計.

3 幾個物理問題

若將彩虹圈按質量等分為無窮多的n段，則每段質量

由于整個彈簧相當于n段小彈簧的串聯，故每小段彈簧勁度系數

κ′=nκ

將處于水平地面的彩虹圈緩慢提起，讓它在自重的條件下完全伸展，剛好離開地面.下面討論彩虹圈的伸長量、能量、坍縮和懸停時間、落地速度和能量損失.

3.1 形變量L

如圖2所示，從下至上,每段依次標記為1，2，3,…，n,第i段的伸長量記為Δxi，則有

κ′Δxi=iΔmg

故

(1)

從第1到第i段總形變量

(2)

由于n趨于無窮大，當i=n時，可得彈簧總形變量

(3)

3.2 彩虹圈中的能量E

方法一:能量之和

彩虹圈的彈性勢能和重力勢能分別用Eκ和Ep表示，以水平地面為重力勢能的零勢能面，則第i段重力勢能

ΔEpi=Δmgxi

將式(2)代入得

所以

利用數學公式

(4)

可得

當i=n時，由于n趨于無窮大，略去小量，可得整個彈簧的重力勢能

將式(3)代入，得

(5)

第i段彈性勢能

將式(1)代入得

所以

由式(4)可得

當i=n時，由于n趨于無窮大，同理略去小項，可得整個彈簧彈性勢能

將式(3)代入，得

(6)

最后將式(5)、(6)代入E=Eκ+Ep，得彈簧的總能量

方法二:功能原理

由功能原理知，從地面緩慢提起彩虹圈，拉力F做的功W轉化成了彩虹圈的彈性勢能和重力勢能.

當提起第i段時

Fi=(i-1)Δmg

在提起第i段的過程中，Fi向上移動的距離

Δx′i=xi-xi-1

利用式(2)可得

由于Δx′i極短，Fi可看作是不變的，所以提起第i段拉力做功

提起從第1段到第i段拉力做的總功

當i=n時，利用數學式(4)并略去小量，同理可得

將式(3)代入，得

(7)

3.3 質心坍縮和懸停時間

由于彈簧上端釋放后，在整體落地前受到的外力只有重力，根據質心運動規律可知，質心做自由落體運動.質心到達彈簧的底端時，剛好彈簧坍縮在一起，成為一個整體，然后以一定的速度整體向下做落體運動.所以彩虹圈底端懸停的時間即坍縮時間,就是質心做自由落體運動的時間.

設彈簧的質心距地面的高度為hc，則

將式(2)代入得

當i=n時，由于n趨于無窮大，由式(4)略去小量和式(3)，同理可得

或利用式(5)，由

也可以得出

由此可以看出，彩虹圈的重心不在中心處，因為提起的彩虹圈上疏下密，直觀上就可以看出重心在中間偏下的地方.質心自由落體時間，即底端懸停時間

若將式(3)代入上式可得

(8)

式(8)揭示了一個有趣的結論：彩虹圈坍縮時間由自身的質量和勁度系數決定，與重力加速度無關！也就是說，同樣一個彩虹圈，在地球、月球、火星等重力加速度不同的地方做如上實驗，盡管彩虹圈伸長量、質心高度不同，但懸停時間是一樣的.

3.4 落地速度及能量損失

彩虹圈釋放后，一邊收縮一邊下落，彈性勢能和重力勢能轉化為動能.由于質心做自由落體運動，彩虹圈坍縮至地面

將式(3)代入可得

落地時動能

由式(7)知，落地時的動能只有彩虹圈伸展時初始總能量的一半，即

損失的原因是彩虹圈從上至下坍縮，是完全非彈性碰撞過程，損失的另一半能量最終以熱的形式耗散掉了.

4 結束語

若考慮彩虹圈的原長，以及在下面懸掛一個重物，則上述方法依然有效，所得結果的形式不變，只是會多出含有原長和重物的項，參見文獻[1，2].忽略彩虹圈的原長是為了突出問題和方法的關鍵，使得運算和結果簡潔易懂.