軟弱巖土體中預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段剪應(yīng)力分析 *

葉 紅，李 艷

(1. 武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070； 2. 武漢交通職業(yè)學(xué)院 交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430065)

0 引 言

具有良好錨固效果的預(yù)應(yīng)力錨索已被廣泛地應(yīng)用到邊坡、基坑等的加固中[1]，而軟弱巖土體由于其不連續(xù)性和各向異性，在外荷載作用下受荷區(qū)會(huì)發(fā)生彈性變形和塑性變形，即蠕變變形[2-3]，因此在預(yù)應(yīng)力錨索長(zhǎng)期加固的軟弱巖土體中，巖土體由于預(yù)應(yīng)力作用而發(fā)生蠕變，蠕變反過(guò)來(lái)又引起錨索預(yù)應(yīng)力損失，錨索預(yù)應(yīng)力與巖土體蠕變之間存在耦合效應(yīng)關(guān)系。

由于軟弱巖土體的復(fù)雜性，關(guān)于預(yù)應(yīng)力錨索錨固機(jī)理還不清楚，業(yè)內(nèi)學(xué)者正在進(jìn)行深入的理論研究。王克忠等[4]、王國(guó)富等[5]、鄧東平等[6]從錨索預(yù)應(yīng)力與巖土體蠕變的耦合效應(yīng)方面研究了預(yù)應(yīng)力錨索的錨固機(jī)理；索玉文等[7]、于貴等[8-9]基于錨索錨固段彎曲采用半平面彈性理論研究了錨索錨固段的剪應(yīng)力分布情況。針對(duì)軟弱巖土體在外荷載作用下發(fā)生蠕變這個(gè)現(xiàn)象，筆者基于錨索預(yù)應(yīng)力與軟弱巖土體蠕變之間的耦合效應(yīng)，結(jié)合Boussinesq-Flamant問(wèn)題解和任意點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段的切向剪應(yīng)力進(jìn)行了研究，得到彎曲錨固段切向剪應(yīng)力的變化規(guī)律，研究結(jié)果補(bǔ)充完善了軟弱巖土體中預(yù)應(yīng)力錨索錨固機(jī)理。

1 耦合效應(yīng)的特征方程

筆者采用一個(gè)Hooke體模型和一個(gè)Kelvin體模型串聯(lián)而成的廣義開(kāi)爾文體(General Kelvin)模型來(lái)表征錨索的預(yù)應(yīng)力和巖土體的蠕變，如圖1。圖中：EK、η分別為錨索周邊巖土體的滯后彈性模量(單位：MPa)、黏性參數(shù)(單位：MPa·h)；EH為錨索的瞬時(shí)彈性模量(單位：MPa)；σ為錨索預(yù)應(yīng)力與軟弱巖土體蠕變耦合效應(yīng)的計(jì)算應(yīng)力(單位：MPa)[1]。

圖1 廣義開(kāi)爾文模型Fig. 1 Model of general Kelvin

1.1 本構(gòu)方程

General Kelvin模型的本構(gòu)方程如式(1)：

(1)

式中：σK為General Kelvin模型錨索周邊巖土體的應(yīng)力，MPa；εK為General Kelvin模型錨索周邊巖土體的應(yīng)變；其他符號(hào)同前。

由圖1的靜力平衡條件可得

(2)

式中：ε為錨索預(yù)應(yīng)力與軟弱巖土體蠕變耦合效應(yīng)計(jì)算模型的應(yīng)變；σH為錨索的應(yīng)力，MPa；εH為錨索的應(yīng)變；其他符號(hào)同前。

將式(2)代入式(1)得到耦合效應(yīng)計(jì)算模型的本構(gòu)方程(3)：

(3)

1.2 松弛方程

在耦合效應(yīng)計(jì)算模型的本構(gòu)方程(3)中，如果錨索預(yù)應(yīng)力變化而應(yīng)變沒(méi)有變化，此時(shí)ε為常數(shù)C，則有

(4)

已知初始條件下σt=0=EHC，由式(4)可得到耦合效應(yīng)計(jì)算模型的松弛方程(5)：

(5)

錨索預(yù)應(yīng)力荷載F(單位：kN)隨時(shí)間t而逐漸減少，如式(6)：

(6)

式中：A為預(yù)應(yīng)力錨索鋼絞線(xiàn)的截面面積，m2；其他符號(hào)同前。

2 彎曲錨固段的剪應(yīng)力

2.1 Boussinesq-Flamant問(wèn)題解

通常，預(yù)應(yīng)力錨索孔道采用潛孔鉆施工方法來(lái)鉆探，由于地質(zhì)因素、技術(shù)因素和工藝因素等的影響，在鉆進(jìn)過(guò)程中孔道往往會(huì)發(fā)生彎曲而偏離設(shè)計(jì)要求[10]，尤其是在較長(zhǎng)孔道的鉆探施工過(guò)程中，錨索孔道會(huì)呈現(xiàn)向下彎曲的狀態(tài)。一般來(lái)說(shuō)，位于軟弱巖土體中的錨索孔道越長(zhǎng)，孔道向下彎曲的幅度也就越大[11]。

預(yù)應(yīng)力錨索的鋼絞線(xiàn)所受到的拉力傳遞到注漿體上后轉(zhuǎn)化為剪應(yīng)力和壓應(yīng)力，注漿體受到的剪應(yīng)力的方向與鋼絞線(xiàn)受到的拉力的方向相反[7]，并沿錨索孔圓心對(duì)稱(chēng)[12]。錨索孔道彎曲半徑為R，預(yù)應(yīng)力錨索孔道直徑為D，若錨索錨固段彎曲處內(nèi)曲線(xiàn)和外曲線(xiàn)不對(duì)稱(chēng)，則內(nèi)曲線(xiàn)和外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力不相等[8-9]，如圖2。

圖2 錨索彎曲錨固段受力示意Fig. 2 Force diagram of bending anchorage section ofthe anchor cable

錨索預(yù)應(yīng)力荷載F作用在軟弱巖土體表面時(shí)，可由彈性力學(xué)理論Boussinesq-Flamant問(wèn)題解得到預(yù)應(yīng)力錨索錨固段應(yīng)力的表達(dá)式[7-9]：

(7)

(8)

(9)

式中：σx、σy、τxy分別為直角坐標(biāo)系下錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的應(yīng)力，MPa；其他符號(hào)同前。

預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段內(nèi)曲線(xiàn)和外曲線(xiàn)的變化規(guī)律均與錨索孔道彎曲半徑R和錨索孔道直徑D存在數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，如圖3。

圖3 錨索彎曲錨固段力學(xué)分析示意Fig. 3 Mechanical diagram of bending anchorage section ofthe anchor cable

因此，可得到在直角坐標(biāo)系下彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)的函數(shù)式fi(x,y)、fo(x,y)，分別代入式(7)～式(9)，可得到直角坐標(biāo)系下預(yù)應(yīng)力錨索錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的應(yīng)力。

2.2 預(yù)應(yīng)力錨索錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)

斜面應(yīng)力公式或應(yīng)力變換公式即柯西應(yīng)力公式，是彈性力學(xué)中常用公式之一[13-14]。三維坐標(biāo)下的柯西應(yīng)力公式如式(10)：

tN=σ·N

(10)

對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，如果已知單元體上的應(yīng)力(σx、σy、τyx)，可由柯西應(yīng)力公式(10)得到斜面上的正向應(yīng)力和切向應(yīng)力[14]。在內(nèi)曲線(xiàn)和外曲線(xiàn)確定的平面中，根據(jù)平面應(yīng)力問(wèn)題中任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(圖4)，可由柯西應(yīng)力公式(10)得到錨索錨固段內(nèi)曲線(xiàn)或外曲線(xiàn)任意點(diǎn)的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力，如式(11)：

(11)

式中：σα、τα分別為錨索錨固段彎曲孔道內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力，MPa；α為錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切線(xiàn)與y軸之間的銳角，(°)。

圖4 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析示意Fig. 4 Stress analysis diagram of plane stress state

2.3 預(yù)應(yīng)力錨索錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力

分別將內(nèi)、外曲線(xiàn)函數(shù)fi(x,y)、fo(x,y)，及式(7)～式(9)代入式(11)，可得到預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力τi、τo：

(12)

(13)

3 算例分析

借鑒陳安敏等[15]、王國(guó)富等[16]的錨索蠕變相似試驗(yàn)研究成果，某經(jīng)過(guò)預(yù)應(yīng)力錨索加固的軟弱巖土體邊坡，假設(shè)軟弱巖土體的瞬時(shí)彈性模量EH=9.362 MPa，滯后彈性模量EK=7.719 MPa，黏性參數(shù)η=607.795 MPa·h，C=9.53×10-5。預(yù)應(yīng)力初始值F0=100 kN。如果預(yù)應(yīng)力錨索錨固段長(zhǎng)S=4.5 m，錨索孔直徑D=0.14 m，經(jīng)專(zhuān)用設(shè)備測(cè)試得錨索孔道彎曲半徑R=10 m，則彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切線(xiàn)銳角α由式(14)表示：

(14)

3.1 錨索預(yù)應(yīng)力初始值F0的影響

如果錨索預(yù)應(yīng)力初始值F0=100、200、400 kN，由圖5可見(jiàn)，由于錨索預(yù)應(yīng)力變化與軟弱巖土體蠕變之間的耦合效應(yīng)，從加載后開(kāi)始計(jì)時(shí)，錨索預(yù)應(yīng)力荷載F隨著時(shí)間t的增加而按冪函數(shù)遞減。

圖5 錨索預(yù)應(yīng)力隨時(shí)間t的變化曲線(xiàn)Fig. 5 Variation curve of anchor cable prestress changing with time t

當(dāng)F0=100、200、400 kN，t=480 h[15-16]時(shí)，預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力分布如圖6；預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力峰值如表1。

圖6 F0=100, 200, 400 kN,錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)Fig. 6 Tangential shear stress distribution curve of the inner and outer curves of bending anchorage section of the anchor cable withF0=100, 200, 400 kN

表1 F0=100, 200, 400 kN，彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力峰值Table 1 The peak value of tangential shear stress of the inner andouter curves of bending anchorage section of the anchor cable withF0=100, 200, 400 kNMPa

由圖6、表1可知：

1)錨索彎曲錨固段，內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)均隨著F0的增加而逐漸陡峭，且內(nèi)、外曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力主要集中在錨頭0.5 m范圍內(nèi)。

2)錨索彎曲錨固段，內(nèi)、外曲線(xiàn)的切向剪應(yīng)力峰值τi, peak、τo，peak均隨著F0的增加而呈線(xiàn)性變化，且有τi,peak≈2.9τo,peak。

3.2 錨索孔道彎曲半徑R的影響

當(dāng)錨索彎曲錨固段孔道彎曲半徑R=5、10、20 m時(shí)，錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)的切向剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)如圖7，切向剪應(yīng)力峰值如表2。

圖7 R=5, 10, 20 m,錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)Fig. 7 Tangential shear stress distribution curve of the inner andouter curves of bending anchorage section of the anchor cable withR=5, 10, 20 m

表2 R=5, 10, 20 m錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力峰值Table 2 The peak value of tangential shear stress of the inner andouter curves of bending anchorage section of the anchor cable withR=5, 10, 20 mMPa

由圖7、表2可知：

1)錨索彎曲錨固段，內(nèi)、外曲線(xiàn)的切向剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)隨R的增加而逐漸平緩。

2)錨索彎曲錨固段，內(nèi)、外曲線(xiàn)的切向剪應(yīng)力峰值τi, peak、τo, peak均隨R的增加而逐漸減小，且τi, peak>τo, peak。

4 結(jié) 論

基于錨索預(yù)應(yīng)力變化與軟弱巖土體蠕變之間的耦合效應(yīng)，根據(jù)Boussinesq-Flamant問(wèn)題解，對(duì)預(yù)應(yīng)力錨索彎曲錨固段切向剪應(yīng)力進(jìn)行了理論推導(dǎo)；算例分析了錨索彎曲錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)的切向剪應(yīng)力，得到以下結(jié)論：

1)在預(yù)應(yīng)力變化與巖土體蠕變的耦合效應(yīng)下，錨索的預(yù)應(yīng)力隨著時(shí)間按冪函數(shù)遞減。

2)錨索彎曲錨固段任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力主要集中在錨頭0.5 m范圍內(nèi)，且切向剪應(yīng)力峰值與預(yù)應(yīng)力初始值成正相關(guān)關(guān)系。

3)錨索彎曲錨固段，內(nèi)曲線(xiàn)任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力峰值比外曲線(xiàn)任意點(diǎn)的切向剪應(yīng)力峰值大。

4)錨索彎曲錨固段，孔道彎曲半徑與錨固段內(nèi)、外曲線(xiàn)切向剪應(yīng)力峰值之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系。