變·辨·編：小學數學空間思維培養路徑的設計與實施
——以人教版五年級下冊“長方體和正方體”單元教學為例

呂 梅

（浙江省杭州市下沙第一小學）

空間思維即空間思維能力。理解是一種快速、高效、復合式的高階思維，對學生學習數學幾何空間意義有著極其重要的作用。它能幫助學生利用所學知識，尋找有關空間問題，呈現完美的解決方案；對空間事物做出高效、迅速的判斷，呈現完整的思維過程，從而讓學生對幾何圖形的認知更為深刻，助力其空間思維能力得到更好的發展。

一、小學數學空間思維的問題解析

空間觀念作為《義務教育數學課程標準》中的核心概念之一，是學生學習數學必備的基本技能。數學中空間觀念與空間思維是多方面的整體思維，要求學生在點、線、面、體的基礎上，通過多角度觀察信息、思考探究、合作交流等，建立起空間觀念。

然而我們的教學并不能完全達到這一目標。這是五年級期末評價卷中的一道試題：

全校240 名學生的得分率在50%左右，對學生的錯誤追本溯源，可以歸結為學生對二維與三維、平面與立體之間轉化缺失必要的能力。筆者認為造成這一現象的原因主要是教師在進行單元教學設計時，存在著如下問題：

（一）缺乏單元與課時設計的整體架構

當前很多教師嘗試大單元設計，這有利于教師對教學單元知識的整體建構與整合，但部分教師在單元設計時，過多追求大單元的宏觀目標，忽視對課時教學目標的細節敲打；缺少對課時內容的深度整合，大單元教學更多停留在表象上，導致學生對大單元學習內容淺化，學生對課時重難點把握不準。

（二）缺乏問題與特征轉化的變式

在長方體、正方體教學中，教師在教學時未能及時將前期學習的平面幾何知識與立體知識進行比較、整合、遷移；對于生活情境中的幾何問題，只是圍繞問題分析問題，沒有將其與圖形本質特征相聯結，導致學生做一題只會一題。

因此，培養學生的空間思維，既要重視單元主題教學，又要變革教學方式。為此，筆者從長方體和正方體的單元大概念出發，整體規劃各課時任務，借助凸顯二維與三維的轉換、厘清平面與立體的關系、溝通生活問題與圖形特征的關系，合理利用新舊知識的關聯，提出一條培養學生空間觀念的路徑。

二、小學數學空間思維培養路徑的設計與實施

小學數學空間思維培養路徑的設計與實施，既要著眼于大單元設計，優化各教學主題之間的聯系，形成比較完整的邏輯思維，又要精心設計教學方式，通過“變·辨·編”等多種手段，激活學生的思維和探究熱情，在深度學習與開闊視野中培養空間思維。

（一）“大單元設計”，主題融合，統整教學

所謂“大單元設計”，就是依據教材結構和單元特點，整合單元學習內容，形成序列、簡約、高效的學習邏輯的一種方式。教師要根據課標要求、數學空間思維培養特點，深入解讀學情，提煉單元的具體概念，凸顯平面與立體的轉換，整體規劃單元學習任務。

1.基于學情，整體規劃單元內容

精準了解學情和教材特點，合理、科學整合單元主題，是開展大單元教學的重要前提。在常規的“長方體和正方體”教學中，學生對于二維與三維的轉換掌握得較弱。大單元設計可以通過主題整合、視圖情境、切割與疊加等方法，幫助學生實現長方體、正方體與二維關系的轉化；探究表面積和體積，通過猜想、驗證等活動，發展學生的推理能力。為此，我們設計了“長方體和正方體”大單元整體教學設計。教師根據班級情況與教材結構，合理、科學地設計了大單元教學內容、目標和活動。如下表所示：

內容課時 學習目標 設計理念長方體的認識（第1 課時）1.認識長方體點、線、面的特征；2.理解點、線、面之間的關系通過制作長方體紙盒，在折疊想象中創設二維與三維的轉化途徑長方體視圖與還原、切割與疊加（第2 課時）1.通過長方體的視圖與還原、切割與疊加，加深對長方體棱、面匹配關系的再認識；2.初步感受面動成體，猜想長方體空間大小有關因素新增視圖還原、切割疊加活動，創設二維與三維的轉換途徑長方體表面積（第3 課時）1.會利用長方體與長方形的關系解釋并計算表面積；2.能依據長方體特征，靈活解決實際問題凸顯猜想、驗證、調整、再猜想的過程，強調操作與推理的融合正方體的展開圖（第4 課時） 在展開與還原的想象中發展空間觀念 新增正方體展開圖，在想象、驗證中創設二維與三維的轉換途徑長（正）方體的表面積（第5 課時）1.通過猜測、驗證理解正方體表面積計算方法，并訓練掌握計算公式；2.通過比較分析、動態演示，理解長方體表面積與正方體表面積計算方法的區別與聯系分類比較長方體表面積與正方體表面積的異同，引導學生進行二維與三維的轉換，并理解長方體各要素進行變化時轉化成正方體的過程生活中的表面積問題（第6 課時）1.通過猜測、驗證、動態課件演示，溝通長方體各類表面積與長方形平面之間的轉化關系；2.通過自編、討論、反思生活中的表面積問題，培養學生解決實際問題的能力學生在自編表面積問題中主動思考生活與圖形之間的關系

本單元的學習內容是學生系統學習立體圖形知識的起點，也是學生從二維空間向三維空間學習的開始。讓學生充分理解表面積、體積、容積的概念，參與公式的推導過程，培養主動探究能力，能為他們后續學習其他立體圖形的相關知識打下良好的基礎。

2.圍繞概念，增加兩者轉換途徑

小學數學中很多概念及知識點之間存在著緊密的關聯性與互通性。概念教學是小學數學的重點和難點，需要教師巧妙的設計、多元的思維來解決。正如長方體和正方體的教學，可以嘗試通過“展開圖”理解表面積概念，重點解決兩者之間的轉換關系。這既可以讓學生了解“立體圖”與“展開圖”的關聯性，又能讓學生掌握“二維圖形”與“三維圖形”的變通性；既孕育了“空間思維”，又突破了難點，解決了重點。

（二）“變”式設計，深入推理，實現轉換

在小學，空間觀念以空間表象為主要表征形態，也包括一定的命題表征，并涉及空間知覺與初步的空間想象。因而，教師需要切入“變式設計”，引導學生進行探索，這樣不僅有利于豐富他們的空間表象，提升其空間知覺，還能通過觀察、比較等方式來提升空間想象能力。

1.切—割—疊，融合設計，實現多樣轉換

五年級學生學習主體思維仍然是以具體形象思維為主。因此，在教學中，教師要通過系列操作活動，使圖形由“靜態”向“動態”轉換，由“平體”向“立面”轉換。通過學具運用和“切—割—疊”實踐活動，體會長方體、正方體與其六個面變與不變的關系，揭示圖形之間的內在規律。幫助學生在頭腦中建立“體切成面、面動成體”的模型，有助于學生對空間的理解和應用。

活動中，學生通過觀察、操作、合作交流，進一步架構起面與體的橋梁，自然聯想到面與體具有互相轉換的關系，建立了空間觀念，體會了平面圖形與立體圖形的轉換。

2. 想—畫—驗，操作推理，實現精準轉換

空間觀念的建立就是要使學生在頭腦中具有清晰的幾何形體表象和與之相對應的實物形象，實現二維與三維之間的精準轉換。教師嘗試“想—畫—驗”等方式，通過學習體驗和動手操作，增進數學理解，達成空間思維的轉化。如“正方體展開圖”一課中的“想—畫—驗教學主線”的設計，教師提供正方體紙盒、正方體展開圖等材料，學生通過觀察正方體模型和展開圖，思考、猜想，形成初步的表象；經歷驗證、分析、反思，總結出正方體展開圖與正方體之間的聯系，理解立體與平面、二維與三維之間的轉化。

通過想、畫、驗有機融合，動手操作與推理想象互相促進發展，特別是借助操作進行反思、調整的過程，學生對平面與立體進行了精準的轉化。

（三）“辨”式設計，深入探究，厘清關系

有比較就有思考，有比較就有思維的碰撞。課堂教學中比較、辨析可以起到畫龍點睛的作用，要幫助學生在比較中明晰數學本質，在比較中深化認知相關圖形。

1.在辨析中把握本質

辨析是數學思維的重要內容，也是空間思維的能力指向。學生對立體圖形的體積和面積存在認知誤區，容易把體積和面積混淆，其根源在于學生對面積與體積的認識不足。輔助辨析方法，結合生活情境，引導學生探討面積與體積的本質差異，能夠有效加強學生對數學本質的認知，強化學生的空間思維，使其正確掌握面積和體積的用法。

設計長（正）方體體積與表面積的關系的探究問題：一個體積為64 立方厘米的長方體會是怎么樣的？一個神秘的長方體禮物的體積是 64立方厘米，那么包裝這個神秘禮物至少要多大的紙呢？目的是讓學生深入探究，對數據進行有條理的記錄、分析、整理，最后得出正確的結論。

學生根據探究問題的要求，進行猜想、驗證，他們逐漸發現事實與猜想存在著差別。通過問題的探究、正反對比、辨析，有效地化解了學生對長方體、正方體體積與面積的認識誤區，同時也使其掌握了圖形面積與體積上的本質差異。

2.在貫通中體會實質

學會觸類旁通、融合貫通，是數學思維培養的重要指向。如長方體、正方體的表面積計算方法不是孤立的，兩者本質上是一致的，都是求六個面的面積之和，但學生僅僅認識到此還是不夠的，還須通過探尋兩種圖形的通用方法，解題時需要長方體、正方體側面積這一概念。借助展開圖推導并理解：長方體、正方體表面積=側面積+兩個底面積。借助展開圖引導學生思考：長方體表面積計算方法與正方體表面積計算方法有什么不同？能否用一個計算公式計算長（正）方體的表面積？借助長方體、正方體與其展開圖的對比，學生會發現：“底面周長×高+兩個底面積”就是計算表面積通用公式。

通過驗證、反思，在計算長方體、正方體的表面積時，不只停留在六個面面積的相加上，在解決問題時能根據實際情況靈活運用所學知識。

（四）“編”式設計，深探差異，達成轉換

教師通過引導學生結合生活情境，進行由淺入深、由單一圖形計算到綜合性問題的編題訓練，讓學生靈活地運用課堂上所學知識，仿編、創編，形成舉一反三、觸類旁通的創新能力，在編題中發展空間思維。

1.我選我做，進階練習，在挑戰中明確本質

進階思維是數學思維培養的重要方法。設計有梯度的練習，能夠讓學生在不斷深入思考中獲得進階式學習。如設計“魚缸中的數學問題”活動，教師提供數學信息、設計情境和進階學習任務：一長方體魚缸，長8 分米、寬4 分米、高5 分米，魚缸內水面距離缸口1 分米。課前請學生自編關于魚缸的數學問題，教師把自編題分類整理成表，學生自己選擇難度挑戰解決。學生通過編題、解題、比較一系列進階式練習，體會到復雜的圖形問題背后都能剝離出長方體的基礎知識。

2.緊扣錯因，創編學單，在“反思”中達成轉化

尋找錯因、學會反思，是空間思維培養的重要舉措。在階段學習或單元學習后，通過設計自我反思單、反思錯誤點、自編糾錯題等，引導學生在分析錯因、梳理正確思路、自編新問題的過程中，不斷強化圖形與生活的聯系，在反思中提升數學思維能力。

如本單元結束階段設計活動“我是復習小老師”，目的是讓學生通過對長（正）方體單元復習探究、反思，進一步對單元知識進行提煉、反思、總結。學生通過小組合作，呈現了單元思維導圖、回顧分析單元典型題例、單元錯題分析以及創編的習題等。

進行單元學習的反思，在梳理單元知識樹的同時，反思自己在單元學習中有關生活問題的典型錯題，把問題與圖形進行多次的聯系。學生可以根據自己或同學錯誤率高的題進行創編，對于自己設計的題印象就深刻了。

三、結語

通過研究，筆者在提煉單元具體概念、整體規劃單元學習內容中提高了教材解讀的能力。在多維變形中豐富實踐與推理的體驗，在多樣辨析中厘清二維與三維的聯系與區別，在花樣編題中加強圖形特征與生活實際的聯系的教學中，滿足不同層次學生的不同需求，讓不同層次的學生獲得相應的發展，幫助學生建立起正確的空間思維觀念，提高學生解決實際問題的能力。