有關三角形邊的n等分線的兩個發現

◎王 平 曾雪東 尹紅梅

(重慶市字水中學，重慶 400000)

三角形中的每條邊上都存在邊的n等分線，單從一條n等分線考慮沒有什么特別的性質，如果合理地選擇一些n等分線，它們交點的相對位置具有了共性的特征.本文從靠近三角形的頂點的六條n(n>2)等分線出發,通過研究這些n等分線的交點所構成的三角形的特征,從中得到了兩個交點三角形的性質.經過推理論證,筆者得到了以下幾個結論：

圖1

證明如圖2,連接D1F2,AA1交于H點,延長AA1交BC于點G.

圖2

∵CD1,BF2分別為AB,AC的n等分線,

又∵∠D1AF2=∠BAC,

∴△D1AF2∽△BAC.

∴∠AD1F2=∠ABC.∴D1F2∥BC.

又∵∠A1CB1=∠D1CD2,∴△A1CB1∽△D1CD2.

∴∠CA1B1=∠CD1D2.

下面證明△A1B1C1與△ABC的位似中心為△ABC的重心.

∴直線AA1經過△ABC的重心.同理,直線BB1,CC1也經過△ABC的重心.

∴直線AA1,BB1,CC1相交于△ABC的重心,即△A1B1C1與△ABC位似, 且位似中心為△ABC的重心.

推論1三角形邊的六條三等分線中,靠近三角形同一頂點的(不在這個頂點上)的兩條三等分線的交點構成的三角形與原三角形相似,且邊的相似比為 1∶4.

在性質1的條件下,當n=5時,有如下結論:

圖3

筆者通過考慮三角形的其他n等分線的交點,得到了下面的性質：

圖4

證明如圖5，連接E1F2.∵AE1,BF2分別為BC,AC的n等分線,

圖5

又∵∠E1CF2=∠BCA,∴△E1CF2∽△BCA.

∴∠CE1F2=∠CBA.∴E1F2∥AB.

下面證明△A2B2C2與△ABC的位似中心為△ABC的重心.

如圖6，連接AB2,D2F1相交于點N,延長AB2交BC于M點.

圖6

∵BF1,CD2分別為AC,AB的n等分線,

又∵∠F1AD2=∠BAC,∴△F1AD2∽△CAB.

∴∠AF1D2=∠ACB.∴D2F1∥BC.

∴MC=MB.∴直線AB2經過△ABC的重心.同理,直線BC2,CA2也經過△ABC的重心.

∴直線AB2,BC2,CA2相交于△ABC的重心,即△A2B2C2與△ABC位似, 且位似中心為△ABC的重心.

推論3三角形邊的六條三等分線中,相鄰的(不在同一個角上)兩條三等分線的交點構成的三角形與原三角形相似,且邊的相似比為1∶5.

在性質2的條件下,當n=5時,有：

圖7

圖8