研讀數學教科書的三個妙招

◎王永軍 （重慶市廣益中學校，重慶 南岸 400065）

人民教育出版社2019年版普通高中教科書數學必修分為2 冊，共10 章，經國家教材委員會專家委員會審核通過，已在全國范圍內使用．新教材亮點多、課本厚實，教材提供了豐富的數學實際應用背景，為積極踐行數學學科的核心素養落地與發展提供了優質的第一手素材．研讀數學教科書是學習數學的第一步．本文主要探討研讀教材的三個妙招．

一、莫道小處不主角，應用解題更風流

教科書第1 冊第五章“三角函數”中，從單位圓的角度給出了三角函數的定義．

如圖1，設角α的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y），則正弦函數sinα＝y、余弦函數cosα＝x、正切函數 tanα＝

圖1

該定義具有極強的理論價值，在后續的三角函數誘導公式的證明中將大顯身手，但它絕不是求解三角函數值的最好方法，最好方法其實是教科書的例2．

如圖2，在角α的終邊上取點P（x，y）（不與O重合），記r＝OP＝＞0，則

圖2

若我們把教科書例2 看成三角函數的另一種定義的話，其顯然與前述定義是等價的（用相似形，如圖3）．但在三角函數具體求值的過程中，例2 在應用上更加得心應手、方便自如．

圖3

圖4

圖5

在形式上，點B的坐標比點P的坐標復雜些．求角的終邊與單位圓的交點的過程運算常常比較復雜、煩瑣，而在角的終邊上任意取點則靈活、隨性．

我們利用例2 的方法，在角的終邊上可以任意取點，這樣便于計算、降低了解題的思維層次，是求解角的三角函數值最直接、最好用的方法．

課程標準解讀三角函數是普通高中數學課程函數主題的核心內容之一，三角函數的應用貫穿整個高中數學教學，是學好其他相關內容的重要支撐．教科書中借助單位圓來理解三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，要求學生借助單位圓作出相應的三角函數的圖像其實是“粗糙”的．借用單位圓作出三角函數的圖像可能僅僅在第一次用過之后就不再使用，其作圖過程是很煩瑣的，學生在以后的三角函數的應用中更多的是運用三角函數的示意圖來處理問題．

在理解三角函數的周期性、單調性、最值性等時，“終邊取點”（例2）的方法更加直觀，學生學習更易上手，在教學中是值得揣摩的三角函數的“好定義”．

我們利用單位圓的對稱性可以推導出三角函數相應的誘導公式：α±、α±π 的正弦、余弦、正切公式等，所有這些在“終邊取點”（例2）的定義中利用點的對稱性同樣可以輕松得到．教科書三角函數的定義中單位圓上取點是“終邊取點”（定義）的一種特例，它們是等價的．但是從后來的教學實踐、學生學習實踐來看，三角函數的“終邊取點”（定義）更勝一籌、更好一點．

中學數學教學中教師要有大的“單元觀”，要努力幫助學生形成良好的數學核心素養，使學生養成良好的數學思維習慣．既要“仰望星空”，也勿忘“來時路”．數學的興趣由此形成．例如，初中（七年級）教科書中實數加法的法則：

（1）同號2 個數相加，取相同的符號，并把絕對值相加．

（2）異號2 個數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．

（3）一個數同0 相加，仍得這個數．

由這個法則我們可以進一步得到一個“想當然”的結論：2 個數相加，和為0，則這2 個數為互為相反數，它們的絕對值相等；否則，和的符號與這2 個數中絕對值較大的數（可能相等）的符號相同．這個結論常常可以使解題過程變得簡單．

例題若0 ＜x＜1，a＞0，a≠1，比較｜loga（1-x）｜與｜loga（1＋x）｜的大小（寫出比較過程）．

解析用實數的加法法則對問題進行處理．

“想當然”解法：實數加法法則（精妙絕倫）

由題，易見0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由對數函數的單調性知，loga（1-x）與loga（1-x2）同號，而且loga（1-x2）≠0，loga（1-x）與loga（1＋x）異號．

loga（1-x）＋loga（1＋x）＝loga（1-x2），由實數加法的意義，立即可得｜loga（1-x）｜＞｜loga（1＋x）｜．

這里的“想當然”得到了精致運用．本題的常規解法主要有作差法、作商法．作差法為了去掉絕對值符號，需要對a進行討論；作商法為了判定算式與1 的大小關系，需要對對數式進行創造性的構造．傳統的常規的解題方法是重要的方法，但也常常是復雜的、煩瑣的解題方法．

基本解法1：作差法

當0＜a＜1，易見0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由對數函數的單調性判斷，得｜loga（1-x）｜＝loga（1-x），｜loga（1＋x）｜＝-loga（1＋x），從而｜loga（1-x） ｜-｜loga（1＋x） ｜＝loga（1-x）＋loga（1＋x）＝loga［（1-x）（1＋x）］＝loga（1-x2）＞0，于是｜loga（1-x）｜＞｜loga（1＋x）｜．

類似的，當a＞1 時，同理可得｜loga（1-x） ｜＞｜loga（1＋x）｜．

基本解法2：作商法

0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由對數函數的單調性考慮：

這里僅用此例說明研讀數學教科書時我們要注重對數學主體知識的全方位把控，認真解讀課程標準，不偏不倚．教科書是為課程標準服務的，用好教科書的“小知識”“想當然”也是為了完成課程標準的要求，是為學生的發展服務的．我們要靈活使用數學教科書這個載體，不盲從，不本末倒置．

二、莫言課本無瑕疵，事實勝辯更完美

在教科書第2 冊第九章“統計”中，用樣本估計總體是統計的基本思想．繪制頻率分布直方圖是統計中最基本的技能，是研究樣本數據的最基本、最常用的手段．

例題居民用戶月均用水量的樣本數據分析．經過一系列的統計數據處理，繪制出頻率分布直方圖（如圖6）：

圖6

在這個頻率分布直方圖中我們看不到橫軸的坐標原點，這為后續的概率的密度曲線的引入設置了障礙．

我們可以對橫軸進行類似圖7的處理：

圖7

現在仿照圖7，改進如下（如圖8）：

圖8

用頻率分布直方圖可以估計總體的一些數字特征，比如眾數、平均數、中位數、第p百分位數等（如圖9）．

圖9

在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積是相等的，都是0．5．為減小計算量，我們先估計中位數x1可能的取值范圍：

0．077×3＝0．231＜0．5，（0．077＋0．107）×3＝0．552＞0．5．

于是x1∈（4．2，7．2），

故0．077×3＋0．107×（x1-4．2）＝0．5，

解得x1≈6．71．

其實，中位數就是第50 百分位數．（注：第p百分位數即p%分位數，是指它使得樣本數據中至少有p%的數據小于或等于第p百分位數．）

教科書在求80%分位數x2時，也是先估計x2可能的區間范圍：

x2∈（13．2，16．2），則x2＝13．2＋3×

在上述計算中，計算關系是不明顯的．

現在回到問題的原點，我們考慮頻率分布直方圖中相應矩形的面積的和，問題就淺顯易懂了，而且解題的過程可以簡單很多：

由（0．077＋0．107＋0．043＋0．030） ×3＋0．030×（x2-13．2）＝80%，

解得x2≈14．17．

這樣把“晦澀”的知識點串在一起，可以尋求其共同的本質，以不變應萬變．學生在學習中要敢于質疑、勇于質疑，尋求最佳的解題辦法，事實勝于雄辯．

課程標準解讀統計內容是數學課程標準中“概率與統計”的兩大板塊之一．統計既是概率內容的延續，也是事件概率運算的內在要素．概率與統計是密不可分的統一的整體．通過統計內容的學習，學生進一步學習數據收集和整理的科學方法，學會用直觀圖表來整理數據．頻率分布直方圖是直觀圖表的核心表現形式，我們借此可以進一步分析采樣數據的統計特征，讓學生感悟在實際生活中進行科學決策的必要性與可行性，深刻體會統計思維與函數（確定性）思維的異同，積累數學建模、數據分析、數據決策等的經驗．

頻率分布直方圖是統計板塊中考查學生運用統計知識解決現實生活問題的重點．在高考數學試題中頻率分布直方圖是規范的、精準的．

例題為了了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查．將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下的頻率分布直方圖（如圖10）：

圖10

根據此頻率分布直方圖可以得到：該地農戶家庭年收入低于4．5 萬元的農戶比率為（0．02＋0．04）×1＝0．06；家庭年收入不低于10．5 萬元的農戶比率為（0．04＋0．02＋0．02＋0．02）×1＝0．10；家庭年收入介于4．5 萬元至8．5 萬元的農戶比率為（0．10＋0．14＋0．20＋0．20）×1＝0．64．還可以估計該地家庭年收入的平均值．

例題從某網絡平臺推薦的影視作品中隨機抽取400部作品，統計其評分數據．將所得的400 個評分數據分為8 組：［66，70），［70，74），…，［94，98），并整理得到如下的頻率分布直方圖（如圖11）：

圖11

根據此頻率分布直方圖得到評分在區間［82，86）內的影視作品數量為400×（0．050×4）＝80．

三、莫讓浮云遮望眼，去粗取精更固本

案例3教科書第2 冊第十章“概率”把“事件”與第1冊第一章“集合與常用邏輯用語”中“集合”建立關聯，使得整個普通高中數學必修課程前后呼應，數學知識結構體系形成了一個漂亮的閉環．“事件”與“集合”幾乎對等，實際上事件的關系和運算就是集合的關系和運算．比如“不可能事件”記為空集Φ、“必然事件”記為全集Ω；事件A與事件B依據發生與否有包含關系、相等關系；互為對立事件對應著集合中的補集運算．

集合的并集、交集是清晰的，符號的用法是固定的、唯一的．并集：A∪B，交集：A∩B；并集不能用A＋B，交集不能用AB．但是在事件的運算中，并事件也叫和事件，可以記為A∪B，也可以記為A＋B；交事件也叫積事件，可以記為A∩B，也可以記為AB．

我們建議事件的并、交運算只記為A＋B、AB．畢竟“事件”與“集合”是不同的概念，具有不同的實際應用背景，在寫法上進行區分有利于學生對基本概念進行深入的理解，這是很好的學習習慣．比如事件A與事件B互斥，則P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；事件A與事件B獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）．這里事件的概率的數學表達式形式直觀、簡潔好記．

課程標準解讀“事件”是“概率”中的基本元素，教師要結合具體實例幫助學生理解隨機事件，要求學生會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，以期使學生加深對隨機現象的認識和理解．學生了解隨機事件的并、交、互斥的含義，結合實例進行隨機事件的并、交運算．注意課程標準的表述為“了解”隨機事件的并、交，因此本部分教學內容對中學生來講可以輕松一點，各種記號、符號等的應用沒有必要面面俱到，學生只需抓住教學內容的核心問題即可．

高中數學教科書是數學教材專家組成員的集體智慧的結晶，其正確性、權威性常常是不可置疑的．教科書是為學生的學習發展服務的，我們要真正發揮教科書的優勢，合理恰當地借鑒專家教授的專業成果、專業經驗，為教育教學服務，同時要尊重數學科學、尊重數學生成發展的學科規律，注重高中學生學習數學的特殊學習規律、階段心理特征，合理、高效地安排數學學科的教學與學習，真正發揮數學作為基礎學科的作用，全面實踐數學學科核心素養．