以2021年浙江高考數學試卷為例，論其對學生數學運算素養的考查

◎王崢添 （浙江省安吉縣高級中學，浙江 安吉 313300）

數學運算素養是高中數學核心素養的主要內容之一，也是近年來高考重點考查的部分．在2021年的浙江省高考數學試卷當中，這一部分的內容占比較高，足以說明命題組對學生此部分能力的關注和重視．

一、以2021年浙江省高考數學試卷為例，分析其對學生運算素養的考查

運算素養是高中數學核心素養的重要組成部分，其與數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象以及數據分析一同構成了高中數學的重要導向．在2021年數學高考中，我們發現浙江省數學試卷上出現了大量需要運算來尋求答案的題目，而過往那種可以通過答題技巧“看”出答案的題目“明顯少了”．

（一）以問題轉換為基礎，對學生的運算能力進行考查

以選擇題部分的第5 題為例：若實數x，y滿足約束條件，則的最小值為________．

（二）對學生估算能力的考查

再以選擇題部分的第8 道題目為例：已知α，β，γ是大小并不相同的銳角，那么在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個值當中，大于的個數的最大值為________．

這道題目以選擇題的形式出現，強調對學生估算能力的培養．因為題目當中未知信息比較多，抽象信息較為明顯，所以學生需要嘗試如何通過估算從四個選項當中挑選出正確的答案．我們假設α＝β＝γ＝，那么sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個值顯然都等于，所以最大值不可能是3．倘若α＝，β和γ的角度都大于，就會有sinαcosβ＜，sinγcosα＞，此時如果讓β的取值逐漸趨近于直角，γ的取值逐漸趨近于，那么就會有sinβcosγ的值大于，那么就可以估算出題目所求解的答案是2．

（三）對學生邏輯思維能力、數據處理能力以及數學運算能力的考查

數學高考中最后一道選擇題一向對于學生的邏輯思維能力要求較高，2021年浙江數學高考試卷也不例外．第10題：已知數列｛an｝滿足，記數列｛an｝的前n項和為Sn，則（ ）

C．4＜S100＜D．＜S100＜5

該題為數列與不等式的綜合題型，充分體現浙江高考試題的特點：敘述簡潔、概念清晰、思維深刻、內涵豐富．本題考查的核心知識為數列遞推關系、數列與不等式、數列與函數的關系、放縮法證明不等式．本題證明數列不等式思維跨度大、構造性強，需要較高的放縮技巧，一方面充滿思考性和挑戰性，另一方面考查學生的邏輯推理和數學運算的核心素養．

對數列與不等式、不動點等方面的考查是近些年的重點．自2006年開始，2008、2015、2016、2017、2018、2019年均有涉及，這類問題的解決策略往往是深入剖析其特征，抓住其規律恰當地進行放縮，難點在于如何把握放縮的度．

在本題中主要是針對S100的上下界估計，對于S100的上下界估計有不同的處理方法：

1．對下界的估計：

解法一由題意可知｛an｝為正項數列，可知S100＝a1＋a2＋…＋a100＞a1＋a2＝

解法二首先易得0＜an＋1＜an≤1．（針對數列單調性的證明在后面說明）

補充證明：針對｛an｝的單調性的證明：

因此0＜an＋1＜an≤1．

2．對上界的估計：

裂項放縮：

其次，加強政法隊伍建設。全國政法機關一定要堅定不移的堅持黨和國家的基本方針，增強政治責任感和憂患意識，把握大局，始終把維護國家安全和社會穩定放在工作的首位。政法部門和廣大干警嚴格依法辦事，做到有法必依、執法必嚴、違法必究，堅持法律面前人人平等。依法嚴厲打擊危害國家安全、社會穩定和經濟發展的各種犯罪活動，鞏固人民民主專政和國家的長治久安。

首先易得0＜an＋1＜an≤1，

2021年浙江高考數學試卷的選擇題最后一題是通過函數關系構造遞推關系，這和2015年的最后一題有相似之處，都是利用初始值構造一個有界的單調數列，利用函數和數列的相伴關系來生成問題讓我們求解，這其中體現了函數思想、數列的放縮、不等式的運用．從這個角度而言，考題的確體現了對高中數學知識綜合運用能力的全面考查．

（四）對學生公式推導運算能力的考查

除了選擇題部分，2021年高考的解答題部分也增加了對學生運算能力的考查，如第18 題：

設函數f（x）＝sinx＋cosx（x∈R）．

那么根據這一轉變后的函數形式，就可知求解的y＝，如此就可以較為輕松地求解出這個函數的最小正周期．

總結這一問的求解過程會發現，學生需要將主要時間用于公式的簡化計算和推導方面，這也是間接對學生運算能力進行考查的過程．至于第二問，需要學生將函數解析式代入后，進行大量的計算．因為，本質上是一個復合函數，在定義域求極值過程中，應盡可能將其化簡到比較容易感知的三角函數形式當中．

如此，根據化簡以后的公式，可以直接判斷出函數在求解區間內的單調性以及極值情況．

（五）根據基礎公式所展開的逆向運算能力以及分類討論思想所附著的大量計算

高考當中的這類題目主要是以學生在教材當中所能直接接觸到的公式、定理為基礎，考驗學生的逆向思維和反向運算能力，比如2021年浙江數學試卷的第20 題：

已知數列的｛an｝前n項和為Sn，a1＝且4Sn＋1＝3Sn-9．

（1）求數列｛an｝的通項．

（2）設數列｛bn｝滿足3bn＋（n-4）an＝0，記｛bn｝的前n項和為Tn，若Tn≤λbn對任意n∈N＋恒成立，求λ的取值范圍．

第一問是教師在高中階段教學過程中，在數列部分必然會提及的一類解題思想——分類討論．學生分別從n＝1以及兩個角度來進行考慮，能夠判斷出｛an｝是完全滿足等比數列求和公式的．

關于第二問，在｛an｝的通項已經得出的情況下，會有

通過錯位相減，則有：

因為（n-4）為系數，所以學生在實際進行變量分離時，需要分別考慮系數為正、負以及零的情況．

當n＝4 時，，等式恒成立；

當n＜4 時，（n-4）為負數，則有化簡得：λ≤，有λ≤1；

當n＞4 時，（n-4）為正數，有

因此λ的最終取值范圍為［-3，1］．

總結這道題的解題思路不難發現，大量的運算出現在公式推導以及整理過程中，學生需要在保持思路清醒的情況下進行嚴格的分類討論．在高考進行的過程中，這是非常考驗學生耐心的過程．

二、高中階段，如何培養學生的運算素養

通過對2021年浙江省高考數學試卷的分析我們不難發現，其對學生運算素養的考查是非常多維度的，這就要求教師在日常教學過程中多角度地培養學生此方面的能力以及技巧．

（一）加強概念教學，夯實運算基礎

出現在高考試卷上的很多題目是以出現在教材上的基礎概念、公式作為切入點的，而這些切入點往往也是高考試卷上的得分點．因此，教師在實際教學的過程中必須強化學生的概念記憶，并將概念的由來以及公式的推導過程全部分解、講述到位，讓學生能夠推此及彼、舉一反三，夯實運算基礎．

（二）強化計算，提升運算速度

運算是素養，更是學生的基本功．尤其是在高考分秒必爭的階段，學生的運算速度很大程度上決定了他們的答題狀態．所以在條件允許的情況下，教師在日常授課的過程中要培養學生的限時計算能力，同時加強對一些推導結論的記憶，這樣在答題的時候能夠幫助學生節約更多的時間．

（三）一題多解，豐富運算路徑

這是能夠培養和提升學生運算能力的重要手段．一題多解可以讓學生從不同的角度切入問題、分析問題，發掘“題眼”，同時讓學生累積足夠的解題方法，對于增強個體的知識記憶具有一定的指導意義．事實上，每一年高考結束之后，教師都可以引導學生分析本年度的高考試卷，嘗試將大量的題目進行多解，理性分析考卷當中的考點．

（四）合理應對，積極備考

通過對2021年高考選擇題最后一題的分析和研究，我們的確可以感受到一些方法和方向，對于壓軸題不要太過受制于往年的影響，否則會限制自己的思維模式，可以汲取其中的命題思想和方法，把這種方法付諸我們的教學實踐，興許能夠少走彎路．

（五）拓寬知識面，適當學習高等數學的相關知識

高等數學有些結論對于我們問題的編制和課堂教學具有啟發和指導作用，因此關注一些高等數學的結論可以幫助我們在教學過程中增強對問題本質的把握，至少有些問題結論可以生成得更好．無論是選擇題的最后一道還是解答題的最后一道，如果有些高等數學的相關的知識，那么我相信對于這種所謂的“壓軸題”，我們一定能有更加豐富的“武器”去迎接它．