對稱平面天線振子陣列技術研究

張長青

（中國移動通信集團湖南有限公司岳陽分公司，湖南 岳陽 414000）

0 引言

大規模相控陣天線是由幾十或幾百，甚至上千天線陣元組成的天線陣列，每個天線陣元上設置一個移相器和一個功率放大器，從而使得波束寬度極小的賦形波束的傳輸距離，可以從幾米、幾十米，延長到幾千米，甚至幾萬米或更遠，使之能用于移動通信及更遠距離的衛星移動通信等，成為6G的關鍵技術之一。

對稱平面天線將微帶貼片平面用在對稱天線上，將微帶貼片平面易于集成和輻射波束寬度相對較小的優點，與對稱線天線優秀的方向性相結合，若是作為大規模天線陣列的基本振子，由此形成的集成天線陣列，技術上不僅方便大規模輻射振子的集成，產生的波束賦形效果也會更加優秀，特別適應毫米波段范圍以內的應用。

傳統的集成天線陣列技術采用的是微帶貼片天線振子，雖然微帶貼片振子可以做得較小，也便于集成，但微帶貼片振子天線是閉合式天線，貼片的兩面一片在前，一片在后，電磁波只能從微帶貼片振子的前后貼片之間的四周側面向外泄漏，這種泄漏輻射生產的波束賦形效果有限，由此形成的集成天線陣列所產生的波束賦形效果并不理想。另外，微帶貼片天線的結構實際上是一種電容模式，因而是一種容抗式天線，天線振子的容抗使其可以產生較為嚴重的容抗式虛功輸出，甚至還會產生較為嚴重的寄身振蕩，極大地影響了天線的輻射效果。

傳統的對稱線天線是一種開放式的阻抗式天線，輻射功率全部為實功，沒有任何虛功。而且還是一種典型的偶極子天線，天線輻射產生的方向圖，是所有線天線中最理想的模式之一。但因天線振子長為半波長的倍數，當輻射波長較大時，天線架構也比較大，一定程度上限制了它成為集成天線陣列的設計。但當輻射波長是毫米波段時，這種情況就得到了根本解決。因此，將對稱貼片天線與集成天線陣列結合起來后，可以發揮微帶貼片天線、對稱天線和集成天線陣列的共有優點。

1 對稱線天線的方向圖公式

根據電磁場理論[1]，當最大幅值為Im的信號電流I，在z≥0范圍內的值為I(z)=Imsin[k(l-z)]，在z<0范圍內的值為I(z)=Imsin[k(l+z)]，即在整個線天線中的信號電流是：Imsin[k(l-|z|)]時，線天線對稱臂上沿z軸分布的輻射電流可以用駐波表述。若線天線上的輻射信號是角頻率的ω諧波，則對稱線天線振子上從中間向輻射臂兩端流動的饋電激勵源信號電流可以簡單地表示為：I(z,t)=Imsin[k(l-|z|)]sin(ωt)。

根據圖1所示，當線天線中位于Q點處的電流元Idz，距離觀察點P(r,θ,φ)的距離r遠大于線天線長2lz時。線天線信號中電流元Idz在觀察點P處的電場元可以表示為[2]：

圖1 對稱線天線電流元的輻射示意圖

式中η為比例常數，k=2π/λ是波數，λ為信號波長，θ是線天線俯仰角，exp(-jkr)是電流元Idz輻射的電磁波從Q點到P點的波程差引起的相位差。

由于r>>lz，根據泰勒展開，若取1/r最低項，可取分母中r為天線中點0到觀察點P的距離r0；但因指數中的r與相位相關，可取r=PS+SQ=r0+zcosθ。則式(1)為：

再對上式積分。顯然，虛部是奇函數，積分為零，實部是偶函數，可以對稱處理，則上式積分簡化為：

再根據三角函數恒等式sinθcosφ=[sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]/2和三角函數積分公式∫sinxdx=-cosx+c展開整體得：

再根據三角函數積分公式∫sinxdx=-cosx+c整體得：

最后得對稱線天線在P處的輻射電場：

式(2)中對應的線天線的方向圖函數為：

因為線天線長為2lz，當lz=λ/4時，線天線叫半波天線，其中klz=(2π/λ)(λ/4)=π/2，得半波天線方向圖函數：

2 對稱平面天線的方向圖公式

（1）用線天線電流元方式求解

如圖2所示，設對稱平面天線平面的寬為2lx、高為2lz，平面中間絕緣，將平面分成上下兩個平面振子，饋電激勵電流產生的信號，從中間向上下平面的兩端流動，然后再從兩個平面振子輻射到空間。

圖2 對稱平面天線電流元輻射示意圖

若將圖2所示的對稱平面天線橫向分成無窮個對稱線天線，其中每個線天線上的輻射信號電流仍定義為I(z,t)=Imsin[k(l-|z|)]sin(ωt)，根據公式(1)，在Q處第i個對稱線天線上的饋電激勵信號電流元I(z)dzdx，則在遠處P(r,θ,φ)產生的電磁場，可以表示為：

顯然，式(11)無法用初等函數完成二重積分的。

（2）用線天線元方式求解

若仍然將圖2所示的對稱平面天線橫向分成無窮個對稱線天線，但其中的每個線天線僅當作一個線天線元，這樣求解問題就可以簡化了。

2.1 定義沿x軸上的信號電流不變

設式(2)為對稱面天線的線天線元dEθ，即：

其中Ix=Im定義為常量，分母中的r同樣用r0取代，指數中的r用r=r0+xcosφ取代，則式(12)可表示為：

式為：

最后得在對稱面天線在P(r,θ,φ)處的輻射電場為：

其中的方向圖函數如下：

圖3所示分別為線形對稱天線（振子）式(3)和平面對稱天線（振子）式(18)計算得到的歸一化三維方向圖和二維極坐標歸一化方向圖。在方向圖函數的解析中，對稱線天線振子和對稱平面天線振子的高都為λ/2，對稱平面天線振子的寬為λ2/5。

從圖3可以看出，對稱平面天線與對稱線形天線的高一樣，都是半波長，但對稱平面天線的寬為是五分之二波長，因而只影響了水平方向圖，使對稱線形天線的圓形水平方向圖，變成了對稱平面天線的橢圓水平方向圖，而且非常明顯，即對稱平面天線水平方向圖的短半軸，與長半軸相比，至少小了10%以上。所以，雖然對稱平面天線和對稱線天線的水平方向圖都是全向的，但前者明顯優于后者。

圖3 對稱線天線和對稱平面天線方向圖比較

2.2 用FDTD檢驗式(18)的正確性

FDTD（Finite Difference Time Domain，時域有限差分）是一種基于時間和空間、對Maxwell旋度方程進行有限差分離散、具有兩階精度、用中心有限差分格式近似代替微分形式的迭代數值計算法。FDTD將Maxwell微分方程在時空兩域同時差分，在空域對電場和磁場用蛙跳方式交替計算，在時域通過更新方式模擬場強變化。FDTD分析電磁場因需考慮研究對象的幾何參數、材料參數，計算精度、復雜度和穩定性，模擬精度較高。FDTD模擬空間電磁性質的參數按空間網格給出，只需給定相應空間點的媒質參數，就可以模擬復雜的電磁結構。FDTD在適當的邊界和初始條件下解有限差分方程，用清晰的圖像描述復雜的物理過程，可直接反映電磁波的時域特性，可表現非常豐富的電磁場的時域信息，是現代電磁場研究的重要方法。

FDTD網格剖分采用Yee提出的在空間和時間都差半個步長的結構方式，通過蛙跳步驟用前一時刻的磁、電場值得到當前時刻的電、磁場值，并在每一時刻將過程算遍整個空間，從而得到整個空間中隨時間變化的電、磁場的時域解。若對時域解用Fourier變換，可得到相應的頻域解。雖然電磁場的作用區域無限，但FDTD的計算空間有限，即由Yee元胞組成的Yee網格數量有限，必須在FDTD總場區的邊界設置電磁場吸收區域，如近似吸收邊界MUR和完全匹配吸收邊界PML，其中PML吸收邊界的完全匹配性，使得傳播到總場邊界處的電磁場幾乎全部吸收殆盡，仿真無限空間中的電磁波傳播效果非常真實。采用FDTD和PML邊界來分析適應5G需求的同時頻收發天線間的電磁場傳播，完全可以獲得理想的效果。

圖4所示用FDTD仿真得到的輻射波形，與圖3所示的對稱平面天線振子的建模條件一件，也是高為λ/2，寬為λ2/5。可以看出，圖4D對應的水平和垂直方向圖，與圖3中平面對稱振子方向圖幾乎一樣，只是波形稍微窄了一些。由于FDTD建模與實際情況一樣，因此理論上FDTD仿真更接近實際情況，由此可以證明，平面對稱天線的解析式(18)是正確的，可以作為后期研究陣的參考。

圖4 FDTD仿真對稱平面天線輻射的波形圖

2.3 定義沿x軸上的信號電流與z軸一樣

由于定義沿x軸上的信號電流與z軸一樣，所以上下兩個平面振子，需要分成左右兩個小平面振子，如圖5所示，從而在平面天線上的輻射信號電流，不僅在z方向是一個駐波，在x方向也是一個駐波，但求解方式仍然采用線天線元方法。

圖5 對稱平面天線輻射示意圖

根據式(1)，在Q處第i個對稱線天線上的饋電激勵信號電流元I(z)dzdx，在遠處P(r,θ,φ)產生的電磁場，可以表示為：

其中I定義與線天線一樣，即I(x,t)=Imsin[k(lx-|x|)]sin(ωt)，分母中的r同樣用r0取代，指數中的r用r=r0+xcosφ取代，則式(19)可表示為：

若對上式在區間[-lx,lx]中積分，虛部是奇函數，積分為零，實部是偶函數，可以對稱處理，上式簡化為：

又根據三角函數恒等式sinθcosφ=[sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]/2和三角函數積分公式∫sinxdx=-cosx+c展開整體得：

式(18)和式(25)都會使水平方位方向圖的由原來的圓形，變成橢圓形，而且橢圓的長軸位y軸，短軸位于x軸，但式(18)的短軸更短。也就是說，如果使平面振子上的輻射信號電流，僅按z方向呈駐波分布，在x方向盡量相同，則對稱平面天線的方向圖的水平方向性更好，見圖6所示，而且振子上的輻射信號電流也更易實現。所以，在設計對稱平面天線面時，應該采用式(18)對應的沿x軸上的信號電流不變，沿z軸上的信號電流為駐波分布方式，這也好理解，因為沿x軸的信號電流為駐波，則x軸向邊緣處的信號電流為零，從而影響輻射效果。

圖6 當z軸上信號電流為駐波時，x軸上信號電流不變和為駐波時的方向圖

3 對稱平面天線面陣的方向圖公式

3.1 對稱平面天線振子線陣輻射電場

對稱平面天線振子線陣可以分為平行振子線陣和共軸振子線陣[2]，如圖7所示：

圖7 4對稱平面平行振子和3對稱平面共軸振子線陣示意圖

根據陣列乘積定理，在由N個線天線組成的平行振子線陣中，第n個線天線振子在觀察點P處的電場為：

若取In=I0，則上為可簡化為：

與此類推，設有M個線天線組成的共軸振子線陣，共軸振子線陣在觀察點P處的電場：

若取Im=I0，則上為可簡化為：

3.2 對稱平面天線振子面陣輻射電場

同理，根據陣列乘積定理，由N平行平面振子和M共軸平面振子組成的面陣（圖8）在觀察點P處的電場為：

圖8 8′4對稱平面振子面陣示意圖

式中f1(θ,φ)為公式(18)，In,m是面陣中第（n、m）個振子激勵電流的強度；ψx=k·dxsinθcosφ是相鄰平行振子間的相位差，dx是振子水平方向間的間距；ψx0=-ax=kdxsinθ0cosφ0是觀察點相對面陣的方位角；ψz=k·dzcosθ是相鄰共軸振子間的相位差，dz是振子垂直方向間的間距；ψz0=-az=kdzcosθ0是觀察點相對面陣的俯仰角。

若取In,m=I0，則上式可簡化為：

其中對應的面陣方向圖公式為：

顯然，從式(34)可知，調整ax和az或ψx0和ψz0，就等于調整了觀察點的觀察俯仰角和方位角，就可以確定面陣波束最大值輻射角的位置。若能使每個振子激勵電流相位差ax和az連續變化，使其覆蓋全部空域，就可以完成面陣波束最大值掃描全空間，這就是相近陣雷達的掃描原理。

4 對稱平面天線面陣分析

對稱線天線屬于開放式天線，是一種全阻抗式輻射天線，其中半波長對稱線天線又叫半波天線，天線振子輻射的方向圖是偶極型，雖然水平方向圖是全向形，但垂直方向圖的方向性較強，標準方向角為74°，是一種廣泛應用的線天線。由對稱線天線陣元組成的二維面陣陣列的輻射方向圖，是一種基于偶極輻射的方向性極強的定向輻射方向圖，用較少的陣元可以獲得品質較高的賦形波束。

對稱平面天線屬于貼片天線，也屬于開放式天線，與傳統的對稱線天線一樣，同樣是全阻抗式輻射天線，振子輻射的方向圖同為偶極形。但因平面振子的輻射特征，使得全向水平方向圖的兩邊壓縮，在對稱線天線的基地上進一步增強了水平傳輸的方向性和輻射強度。另外，由于屬于貼片天線，在小波長輻射領域，用對稱平面天線振子組成陣列，還具有天線架構方面的集成性和小型化等優點。

為了分析對稱平面天線面陣，鑒于計算機仿真時的性能限制，也為了方便直觀賦形波束，設計了一款最簡單的陣列，它由四個對稱平面振子陣元組成，為了方便比較，還設計了一款由四個對稱線天線陣元組成的陣列，通過對兩者的計算和仿真分析，可以了解對稱平面天線面陣的優點，見圖9所示：

圖9 2′2平面陣列

設線天線陣元的長2l z=λ/2，相鄰陣元間的間距d x=d z=λ/2；平面振子陣元的長2l z=λ/2，陣元的寬2lx=λ2/5，相鄰陣元間的間距dx-dz=λ/2。顯然，兩個陣列的設計完全同樣，其中線天線陣元沒有寬度設計。

如果選擇5G典型頻度28 GHz，對應的標準波長為108 mm，顯然，這是基于毫米波應用的陣列，就是加上陣列底板邊緣的寬度，這兩款最簡2′2平面陣列的大小結構均為120 mm′120 mm，面積大約只有拇指甲大。

根據式(36)，可以得到求得解析式對稱平面天線陣列的方向圖。若設lx=0，則式(36)可以簡化為對稱線天線陣列的解析式方向圖函數。

圖10所示便是根據式(36)分別得到的2′2線天線陣元陣列（見圖10-A）和2′2平面天線陣元陣列（見圖10-B）的方向圖。可以看出，線天線陣元和平面天線陣元組成的陣列，兩者的垂直方向角完全一樣，但水平方向圖的方向角前者是48°，后者是44°，前者比者降低了約10%。

圖10 用解析式計算的2′2對稱線形振子和對稱平面振子面陣方向圖

如圖11所示是用FDTD仿真的2′2對稱平面振子面陣后來到的波形圖和方向圖，仿真中的建模與圖中一樣。

可以看出，圖11-D中的垂直方向角與圖9-B中一樣都是36°，雖然水平方向角是46°，但這應該是仿真計算中的誤差所至。由此可以證明，解析式(36)，在分析對稱平面振子面陣時，準確性很高，具有很高的參考意義。

圖11 用FDTD仿真的2′2對稱平面振子面陣方向圖

如圖12所示，是利用式(36)計算的3′3和4′4對稱平面振子面陣方向圖。在面陣中，開放式平面貼片振子增加一點，方向圖主辯的角度就會減少一些，僅僅分析面陣的水平方向圖的夾角。當陣元是2′2時，水平角為44°；當陣元是3′3時，水平角為28°；當陣元是4′4時，水平角為20°。

圖12 用解析式計算的3′3和4′4對稱平面振子面陣方向圖

5 結論

在面陣方向圖函數式(36)中，對稱平面天線振子面陣和對稱線天線振子平面的唯一區別，是平面天線振子方向圖函數式(8)中的f1(θ,φ)，和線天線振子的方向圖函數式(8)中的f1(θ)不同，式(18)中的f1(θ,φ)比式(8)中的f1(θ)多了一項與水平方位角φ有關的因子函數：

顯然，式(37)是對稱平面天線振子面陣方向圖函數的重點，也是研究基于開放式對稱平面振子面陣中的關鍵研究點，因為它直接決定了水平方向圖。

圖13-A所示圖中，給出了三個貼片寬度，既lx=λ/6、λ/5和λ/4時，式(37)畫出的方向圖。圖13-B所示曲線，表述的是lx在λ/30～λ/4之間連續變化時，圖13-A所示橢圓短軸連續改變的關系。圖13-B所示表述的是，對稱平面天線振子貼片的寬度越大，方向圖橢圓的短軸就越小，原則上講方向圖方向性越佳，對應的對稱平面天線振子陣列的賦形波，也將越好。

圖13 式(37)表述的基本關系

因此，在設計對稱平面天線振子陣列時，可以先參考圖12，然后通過式(37)，得到平面天線振子貼片寬度的具體參數。

對稱平面天線振子陣列的優點是，貼片振子方便集成化設計，開放式貼片沒有虛功損耗，輻射中的水平方向角更小，并可以根據對稱貼片寬的大小來調節水平方向角。這種集成化設計的陣列，非常適合毫米波輻射領域，在5G終端小型化設計中具有良好的選擇優勢。

最后補充一點，解析式中方向圖基本上是對稱分布，尤其是垂直方向圖還是一個圓（如圖3-B），而不是像FDTD仿真中是一個橢圓（如圖4-D）。原因在于解析式簡化時，將式(7)中分母中的r直接用r0代替了。而FDTD是直接對天線建模，所以仿真的方向圖能夠真實地反映出來。