巴特沃斯低通濾波器的設計與仿真分析

楊輝

摘要：巴特沃斯濾波器具有通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦、沒有紋波、而在阻頻帶則逐漸下降為零的優點。本文從巴特沃斯濾波器的傳遞函數著手，針對特定設計參數通過雙線性變換完成了數字濾波器的設計，最后通過仿真分析，展示了巴特沃斯濾波器在幅值衰減與相位滯后的特點，為工程技術人員在濾波器的選擇與設計上提供參考。

關鍵詞：巴特沃斯濾波器；傳遞函數；雙線性變換

0引言

巴特沃斯濾波器（Butterworth Filter）也被稱作最大平坦濾波器。其特點是在通頻帶內，其頻率響應曲線最大限度平坦、單調遞減無波紋產生；而在阻頻帶內，其頻率響應曲線逐漸下降為零。這些優點使其在信號處理領域有著廣泛的應用。對于濾波器的性能一般考慮其幅頻特性，但對于更深層次的信號處理應用方面，濾波器的相頻特性也是其重要特性之一。尤其是在多點激勵、載荷建立以及傳遞路徑識別等方面問題的研究中具有重要作用。

1巴特沃斯濾波器傳遞函數分析

連續時間巴特沃斯低通濾波器可用式（1）表示。

式中：B（jω）為連續時間巴特沃斯傳遞函數，ω為頻率，ωC 為濾波器截止頻率，N 為階數，該濾波器 Bode 圖如圖1所示。

將式（1）轉換為 Laplace 域分析，即令 s=jω，可得到式（2）。

圖1巴特沃斯濾波器Bode圖

求解式（2）的極點，可得式（3）。

對極點作歸一化處理，即令：

作歸一化巴特沃斯濾波器的拉普拉斯域平面，可以得到2N個以虛軸Im對稱的極點，以 N=3為例其極點分布如圖2所示，所有極點都均分在以原點為中心的單位圓上。

為形成因果穩定系統，取左半平面極點構建式（5）的傳遞函數。

其中多項式系數 bi 可構為建歸一化 N 階巴特沃斯濾波器的傳遞函數系數，不同階數系數如表1所示。

對應不同階數 N，繪制歸一化巴特沃斯濾波器Bode 圖如圖3所示。

2數字濾波器設計實例

現以表2所述濾波器性能參數，實例設計巴特沃斯型數字濾波器。

針對通帶截止頻率與阻帶截止頻率設計要求，建立式（6）與（7）的濾波器設計約束條件。

通過約束條件，可通過式（8）得到理論設計階數。

由于階數需為整數，將理論階數 N*向高階取整以得到 N，并代入式（9），即可得到截止頻率ωC。

經計算，N=4，ωC=5.275 kHz，通過歸一化濾波器系數，即可表得到濾波器的傳遞函數為式（10）。

采用雙線性變換法，即通過式（11）完成 s 域到 z域的映射。由此即可得到在采樣頻率下的數字濾波器傳遞函數。

3 濾波器的仿真分析

仿真過程中，通過構建兩路不同頻率正弦波信號x1 和 x2 進行疊加作為輸入，其中 x1 為 300 Hz，x2 為15 kHz。按圖 4 所示原理圖，將疊加信號通過采樣器采樣后輸入數字濾波器，通過示波器分別顯示原始疊加信號、低頻信號與濾波信號的波形。

通過圖 5 的波形分析可以看出，該濾波器可以很好的將高頻信號濾除，濾波信號的波形基本能夠還原輸入的低頻信號。只是在幅值上有 0.028% 的衰減，相位上存在 127.433 ?s 的延遲。

4 結束語

本文從巴特沃斯濾波器的設計原理著手，通過極點分析推導了巴特沃斯系數表的構建方法，并分析了設計階數對濾波器的幅頻特性與相頻特性所產生的影響。通過結合實例指標參數要求，使用雙線性變換法完成了巴特沃斯型數字濾波器的設計。最后通過仿真分析，驗證了該數字濾波器的濾波效果，結果表明在通頻段信號的幅值有微弱的降低，相位有少量滯后，但總體還原程度較高，效果理想。

參考文獻：

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