三軸數(shù)控機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)研究進(jìn)展

吳昊榮，李曉曉，孫付春，鄭華林

(1.成都大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，四川成都 610106；2.成都大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610106；3.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，四川成都 610500)

0 前言

數(shù)控機(jī)床是保證國(guó)防和尖端工業(yè)發(fā)展的戰(zhàn)略性基礎(chǔ)裝備，體現(xiàn)了一個(gè)國(guó)家的先進(jìn)制造技術(shù)水平。隨著航天航空業(yè)、國(guó)防工業(yè)和機(jī)械制造業(yè)的高速發(fā)展，數(shù)控機(jī)床加工精度的要求日益提高。而數(shù)控機(jī)床的幾何誤差嚴(yán)重影響了機(jī)床加工精度，特別是在精密和超精密加工中。鑒于精密數(shù)控機(jī)床在軍工領(lǐng)域的戰(zhàn)略地位，德國(guó)、日本等機(jī)床工業(yè)發(fā)達(dá)國(guó)家對(duì)向我國(guó)出口的高檔數(shù)控機(jī)床產(chǎn)品應(yīng)用領(lǐng)域嚴(yán)加控制，這種狀況嚴(yán)重地影響了我國(guó)機(jī)床行業(yè)整體技術(shù)水平的提升。

國(guó)內(nèi)現(xiàn)存著數(shù)量較大的、自主生產(chǎn)的、技術(shù)比較成熟的數(shù)控機(jī)床(如立式加工中心、中小規(guī)格臥式加工中心等)的主要問題體現(xiàn)在機(jī)床精度低和可靠性差，而機(jī)床精度和可靠性可通過合理的精度設(shè)計(jì)方法得以保證。機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法包括加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法和靜態(tài)幾何精度設(shè)計(jì)方法。加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法以幾何誤差元素為分析變量，可實(shí)現(xiàn)在保證加工精度可靠性的前提下優(yōu)化幾何誤差參數(shù)，以提高加工精度，但不能給出詳盡的公差設(shè)計(jì)改進(jìn)意見。而靜態(tài)幾何精度設(shè)計(jì)方法以關(guān)鍵零部件結(jié)合面公差為分析變量，可根據(jù)不同機(jī)床的精度設(shè)計(jì)要求進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而指導(dǎo)公差設(shè)計(jì)。

本文作者以量化分析機(jī)床幾何精度、提高加工精度和找到幾何誤差元素與零部件結(jié)合面公差間的映射關(guān)系為研究目的，以三軸數(shù)控機(jī)床為研究對(duì)象，在深入調(diào)研機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法研究成果的基礎(chǔ)上，針對(duì)當(dāng)前存在的一些關(guān)鍵問題和不足，分別給出了相應(yīng)的解決方法，并形成一套完整的三軸數(shù)控機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法實(shí)施方案，以實(shí)現(xiàn)不同精度設(shè)計(jì)方法的合理銜接和解決工程應(yīng)用實(shí)用性低的問題。

1 三軸數(shù)控機(jī)床幾何精度分析方法研究現(xiàn)狀

機(jī)床幾何精度分析方法包括空間誤差建模和幾何誤差元素辨識(shí)兩個(gè)方面的內(nèi)容。空間誤差建模用于研究機(jī)床誤差與幾何誤差元素之間的映射關(guān)系；幾何誤差元素辨識(shí)用于確立機(jī)床空間誤差模型，最終實(shí)現(xiàn)機(jī)床幾何精度的定量分析。

1.1 空間誤差建模

由于幾何誤差的存在會(huì)導(dǎo)致機(jī)床運(yùn)動(dòng)部件產(chǎn)生定位誤差，進(jìn)而使機(jī)床刀尖點(diǎn)實(shí)際位置偏離理想位置，從而降低了加工精度[1]。因此將機(jī)床運(yùn)動(dòng)到工作空間某一點(diǎn)時(shí)，刀尖實(shí)際位姿相對(duì)于理想位姿的偏差值定義為空間誤差，如圖1所示。建立刀尖位姿偏差與機(jī)床幾何誤差源的映射關(guān)系，即空間誤差模型[2]，是實(shí)現(xiàn)機(jī)床精度預(yù)測(cè)和精度進(jìn)化的重要前提[3]。

圖1 機(jī)床空間誤差的形成

鑒于機(jī)床空間誤差模型的重要性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞數(shù)控機(jī)床空間誤差建模做了大量的研究，提出了多種空間誤差建模方法和理論[4-5]，如幾何建模法、誤差矢量法、誤差矩陣法、機(jī)構(gòu)學(xué)建模法、解析法、多體系統(tǒng)理論、D-H理論和螺旋理論。當(dāng)前常用的建模方法有D-H理論、多體系統(tǒng)理論和螺旋理論。D-H法和多體系統(tǒng)理論[6]是當(dāng)前應(yīng)用最為成熟的建模方法，建模時(shí)需在機(jī)床各運(yùn)動(dòng)部件上建立局部坐標(biāo)系，根據(jù)相鄰體間的齊次變換矩陣和運(yùn)動(dòng)鏈傳遞順序，將齊次變換矩陣順序相乘，進(jìn)而得到機(jī)床精度預(yù)測(cè)模型。但當(dāng)運(yùn)動(dòng)鏈過長(zhǎng)時(shí)，建模過程的繁瑣性就越明顯；另外在推算相鄰運(yùn)動(dòng)體間關(guān)系和相對(duì)誤差矩陣時(shí)，不僅耗時(shí)還極易出錯(cuò)[7]。

近年來，螺旋理論被廣泛應(yīng)用于機(jī)床空間誤差建模，TIAN等[8]以旋量理論為數(shù)學(xué)工具，綜合考慮了刀尖點(diǎn)相對(duì)于工件切削成型點(diǎn)的位姿偏差的所有獨(dú)立幾何誤差源，從而構(gòu)建了有效分離可補(bǔ)償與不可補(bǔ)償位姿誤差的幾何誤差源的通用誤差模型。XIANG和YANG[9]利用螺旋理論建立了五軸機(jī)床空間誤差模型和通用模型，基于此，通過引入誤差旋量可實(shí)現(xiàn)任意正交五軸機(jī)床的空間誤差建模。楊吉祥[10]借助螺旋理論搭建了機(jī)床的通用運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型，并借助四元數(shù)工具擬合加工路徑樣條曲線，實(shí)現(xiàn)路徑的連續(xù)、平穩(wěn)跟蹤，指出采用螺旋理論建模具有以下優(yōu)勢(shì)：(1)簡(jiǎn)化了機(jī)床運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)描述過程；(2)所有的運(yùn)動(dòng)矩陣均定義在機(jī)床坐標(biāo)系下，無需建立局部坐標(biāo)系，規(guī)避了因建立局部坐標(biāo)所產(chǎn)生的奇異值問題；(3)可給出明確的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的解析解，有助于分析機(jī)床精度和實(shí)施誤差補(bǔ)償，這是其他建模方法不能實(shí)現(xiàn)的。

1.2 平動(dòng)軸幾何誤差元素測(cè)量與辨識(shí)

平動(dòng)軸幾何誤差元素測(cè)量與辨識(shí)是評(píng)價(jià)機(jī)床性能和確定精度預(yù)測(cè)模型的重要環(huán)節(jié)，誤差測(cè)量與辨識(shí)精度直接影響空間誤差模型的預(yù)測(cè)精度。目前常用的誤差測(cè)量方法[11]包括直接測(cè)量法和間接測(cè)量法，直接測(cè)量方法使用的儀器是激光干涉儀，基于激光干涉原理還衍生出了“九線法”[12]、“十二線法”[13]、“十三線法”[14]、“空間體對(duì)角線法”[15]等多種機(jī)床平動(dòng)軸幾何誤差元素辨識(shí)方法。激光干涉儀可直接測(cè)量出平動(dòng)軸的定位誤差和直線度誤差，但每一項(xiàng)幾何誤差元素的測(cè)量過程都需進(jìn)行設(shè)備的重新安裝和調(diào)試，一般一項(xiàng)幾何誤差元素的測(cè)量時(shí)間為3～4 h，誤差檢測(cè)效率很低[7]。另外，由于需要多次安裝調(diào)試設(shè)備，每一次的安裝誤差都無法估計(jì)，所以很難獲得單個(gè)幾何誤差元素的準(zhǔn)確值[16]。

間接測(cè)量方法因球桿儀具有測(cè)量精度高、操作便捷以及測(cè)試過程僅需一次安裝等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素辨識(shí)研究中。為提高平動(dòng)軸幾何誤差元素的測(cè)量和辨識(shí)效率，ABDESSALEM、LASEMI、JALALUDIN等[17-19]提出了使用球桿儀間接測(cè)量方法辨識(shí)平動(dòng)軸幾何誤差元素，并給出了相應(yīng)的幾何誤差元素辨識(shí)模型。相較于激光干涉儀，球桿儀通常僅需20 min即可完成誤差測(cè)量[5]。當(dāng)使用球桿儀測(cè)量用于辨識(shí)平動(dòng)軸幾何誤差元素時(shí)，其難點(diǎn)在于：(1)基于球桿儀測(cè)量的幾何誤差元素辨識(shí)模型一般借助空間誤差模型推導(dǎo)得到，在綜合考慮機(jī)床PDGEs((Position-Dependent Geometric Errors)[11]和PIGEs(Position-Independent Geometric Errors)[11]時(shí)，辨識(shí)模型與幾何誤差元素的映射關(guān)系復(fù)雜[20]；(2)PDGEs的非線性關(guān)系極易產(chǎn)生辨識(shí)模型不適定問題，導(dǎo)致辨識(shí)過程復(fù)雜、計(jì)算工作量冗余，難以實(shí)現(xiàn)幾何誤差元素快速辨識(shí)[21]。尤其當(dāng)測(cè)量空間不能遍歷所有空間誤差分量時(shí)，辨識(shí)模型不適定問題更嚴(yán)重，這一問題可通過優(yōu)化測(cè)量點(diǎn)或選取適當(dāng)?shù)乃惴▉砀纳疲`差測(cè)量點(diǎn)通常為隨機(jī)選取，優(yōu)化難度大。

2 三軸數(shù)控機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法研究現(xiàn)狀

三軸數(shù)控機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法主要包括基于可靠性理論的機(jī)床加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法[3]和靜態(tài)幾何精度設(shè)計(jì)(公差)方法。但這兩種機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法的研究對(duì)象不同，前者針對(duì)的是機(jī)床幾何誤差元素，而后者針對(duì)的是機(jī)床零部件結(jié)合面的公差信息。由于機(jī)床幾何誤差元素和零部件結(jié)合面公差的數(shù)量多，計(jì)算工作量大，且不同幾何誤差元素或零部件結(jié)合面公差對(duì)機(jī)床靜態(tài)精度的影響程度均不同，需進(jìn)行機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差溯源，從而精準(zhǔn)溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素和重要結(jié)合面，這對(duì)提高機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)效率和機(jī)床精度及確定機(jī)床缺陷部件具有重要意義。

2.1 關(guān)鍵幾何誤差元素溯源

機(jī)床靈敏度分析是近年來新興的一種尋找對(duì)加工精度具有重要影響的幾何誤差元素的方法，包括局部靈敏度分析方法和全局靈敏度分析方法[22]。局部靈敏度分析以機(jī)床空間誤差模型作為敏感度計(jì)算模型[18]，以幾何誤差元素作為分析變量，在機(jī)床幾何誤差元素辨識(shí)的基礎(chǔ)上，將計(jì)算模型對(duì)分析變量的一階偏導(dǎo)數(shù)作為靈敏度系數(shù)[23]，進(jìn)而溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差源。由于局部靈敏度分析方法一般選取機(jī)床工作空間的極限位置進(jìn)行分析[2]，但工作空間內(nèi)不同位置的靈敏度系數(shù)大小不僅隨運(yùn)動(dòng)軸位置發(fā)生變化，而且不同誤差方向的系數(shù)量綱也不統(tǒng)一，因此在準(zhǔn)確溯源關(guān)鍵幾何誤差元素方面還存在不足。

全局靈敏度分析方法同樣以機(jī)床空間誤差模型作為敏感度計(jì)算模型，以幾何誤差元素作為分析變量，它主要基于統(tǒng)計(jì)理論且認(rèn)為幾何誤差元素在機(jī)床工作空間內(nèi)的分布是隨機(jī)的，需選用統(tǒng)計(jì)方法予以模擬，進(jìn)而研究它對(duì)空間誤差的影響。ABDESSALEM、CHENG等[17，24]使用蒙特卡洛模擬來確定設(shè)計(jì)變量的相對(duì)重要性，并將其描述為與F分布一致的誤差參數(shù)，然而這些誤差參數(shù)不能描述真實(shí)的幾何誤差，且表現(xiàn)出極強(qiáng)的隨機(jī)性。CHENG等[25]提出了一種基于SOBOL方法的多軸機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素溯源方法，但幾何誤差元素對(duì)應(yīng)的空間域輸入因子需根據(jù)實(shí)驗(yàn)確定，且測(cè)量次數(shù)不少于100次，溯源過程過于耗時(shí)；CHENG等[26]基于螺旋理論和莫斯理論提出了一種機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素溯源方法，根據(jù)全局靈敏度系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素，但使用符合F分布的誤差參數(shù)并不能描述真實(shí)的幾何誤差元素。基于統(tǒng)計(jì)理論的全局靈敏度分析方法的主要問題體現(xiàn)在分析變量自帶隨機(jī)性，并不能真實(shí)反映幾何誤差元素的分布規(guī)律。

2.2 機(jī)床加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)

已有的研究成果中主要通過機(jī)床空間誤差模型來預(yù)測(cè)加工精度[27-32]。由于機(jī)床各裝配部件的幾何誤差都是隨機(jī)變化的，由幾何誤差引起的加工誤差也是隨機(jī)變化的，因此可通過指定標(biāo)準(zhǔn)差來決定誤差源的最優(yōu)水平[19]。機(jī)床加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法以幾何誤差元素作為控制變量，將幾何精度分配問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與隨機(jī)誤差相關(guān)的優(yōu)化問題，可通過可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)(RBDO)和魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)(RDO)方法得以解決。余治民[33]以大型數(shù)控龍門導(dǎo)軌磨床為研究對(duì)象，利用空間誤差模型實(shí)現(xiàn)了精度預(yù)測(cè)，在此基礎(chǔ)上提出了一種基于可靠性理論的機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法，但未考慮機(jī)床成本。CHENG等[24]提出了一種多軸機(jī)床的精度分配方法，建立了五軸數(shù)控機(jī)床的精度預(yù)測(cè)模型，以關(guān)鍵幾何誤差源為控制變量，以機(jī)床成本為優(yōu)化目標(biāo)，以加工性能為約束條件，實(shí)現(xiàn)了機(jī)床的最優(yōu)精度分配。ZHANG等[34]基于傳統(tǒng)成本模型和可靠性分析模型，引入加權(quán)函數(shù)，提出一種用于機(jī)床成本和可靠性的幾何誤差優(yōu)化分配方法，該方法中的加工精度可靠性是由相鄰零部件的理想工作時(shí)間和實(shí)際工作時(shí)間決定的，需要大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。上述研究中，若只注重減小機(jī)床幾何誤差元素的標(biāo)準(zhǔn)差而不考慮機(jī)床成本極易造成裝備性能和成本的嚴(yán)重浪費(fèi)，因此考慮制造成本與部件幾何誤差相關(guān)的制造成本，確定總成本與精度之間的最優(yōu)平衡點(diǎn)，成為機(jī)床精度優(yōu)化分配面臨的一個(gè)亟待解決的關(guān)鍵問題。并且只有同時(shí)考慮機(jī)床成本和加工精度可靠性，才能實(shí)現(xiàn)機(jī)床幾何精度的穩(wěn)健性設(shè)計(jì)。

機(jī)床加工精度可靠性的計(jì)算方法[35]包括均一階可靠性方法(FORM)、點(diǎn)估計(jì)法、二階可靠性方法(SORM)、蒙特卡洛模擬、逼近方法和經(jīng)驗(yàn)方法。由于蒙特卡洛模擬方法的計(jì)算量很大，而近似方法的準(zhǔn)確性不高，且其他方法存在必須明確的精度極限狀態(tài)函數(shù)表達(dá)式才能求解可靠性的局限性，同時(shí)計(jì)算過程冗余繁瑣，故導(dǎo)致強(qiáng)非線性及隱式類型的狀態(tài)函數(shù)問題的求解較為復(fù)雜。

當(dāng)前的基于可靠性理論的機(jī)床加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)存在以下兩個(gè)方面的不足：(1)機(jī)床精度預(yù)測(cè)模型主要用作幾何誤差優(yōu)化過程中的約束條件，以獲取合理的優(yōu)化參數(shù)。但是，應(yīng)該將機(jī)床精度預(yù)測(cè)模型與機(jī)床的最大加工誤差相結(jié)合，以獲得用于評(píng)估機(jī)床是否能夠滿足加工精度要求并達(dá)到適當(dāng)?shù)募庸ぞ瓤煽啃缘臋C(jī)床加工精度可靠性狀態(tài)函數(shù)；(2)由于機(jī)床加工精度可靠性計(jì)算模型的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且高度非線性，很難運(yùn)用常規(guī)可靠性計(jì)算方法進(jìn)行求解，如何得到準(zhǔn)確的機(jī)床加工精度可靠性是實(shí)現(xiàn)基于可靠性理論的機(jī)床加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。

2.3 機(jī)床靜態(tài)幾何精度(公差)設(shè)計(jì)

機(jī)床靜態(tài)幾何精度[36]是指外界無任何負(fù)載情況下的機(jī)床幾何精度和位置精度，包括機(jī)床各部件的平面度誤差、回轉(zhuǎn)零部件的圓周跳動(dòng)誤差和移動(dòng)部件的直線度誤差及定位誤差等。靜態(tài)幾何精度是機(jī)床精度設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，因此機(jī)床精度設(shè)計(jì)時(shí)有必要優(yōu)先考慮靜態(tài)幾何精度。由于機(jī)床靜態(tài)幾何精度與機(jī)床零部件公差之間存在著映射關(guān)系，因此可通過零部件公差設(shè)計(jì)來保證機(jī)床靜態(tài)幾何精度。公差設(shè)計(jì)主要包括公差建模、公差分析和公差分配三部分內(nèi)容[37]。

(1)公差建模

公差建模是基于數(shù)學(xué)模型對(duì)公差信息進(jìn)行描述，主要包括滿足公差要求的變動(dòng)要素的描述和公差域邊界的描述兩個(gè)方面的內(nèi)容[38]。公差表示法主要包括兩種：一種是對(duì)于理論或名義幾何實(shí)體周圍允許變動(dòng)的空間進(jìn)行建模；另一種是對(duì)理論幾何實(shí)體間的偏差進(jìn)行參數(shù)化建模。同時(shí)提出了多種公差模型[33]，如漂移模型、參數(shù)模型、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、公差映射模型和SDT模型。DESROCHERS、CLéMENT[39]給出了所有標(biāo)準(zhǔn)公差帶以及剛體間標(biāo)準(zhǔn)化連接的SDT形式，并提出了基于TTRS的公差信息表示方法，已在當(dāng)前的CAT軟件中得到普遍應(yīng)用；MAO等[40]在其他學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，提出了一種基于數(shù)學(xué)定義的公差建模研究方法；CORRADO、POLINI[41]借助參數(shù)化模型描述零部件尺寸公差，即零件信息由零件表面特征點(diǎn)位置矢量描述，從而將其表面幾何約束轉(zhuǎn)變?yōu)樘卣鼽c(diǎn)位置矢量的非線性方程，允許尺寸的微小變動(dòng)即為公差，最終實(shí)現(xiàn)用特征點(diǎn)位置矢量來描述公差。

(2)公差分析

公差分析是己知尺寸鏈中各組成環(huán)公差，保證裝配后封閉環(huán)公差滿足要求的分析過程，主要用于公差的優(yōu)化與檢驗(yàn)，是保證機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)與制造精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。主流公差分析方法主要有：統(tǒng)計(jì)公差法、極值法和蒙特卡洛法。極值法認(rèn)為由于尺寸鏈封閉環(huán)的公差由各環(huán)公差綜合影響，導(dǎo)致各組成環(huán)的公差過于緊湊，進(jìn)而導(dǎo)致制造成本偏高。雖然極值法原理簡(jiǎn)單且不用考慮零件尺寸誤差就能保證零件互換性和裝配成功率達(dá)到100%，但由于公差設(shè)計(jì)過于保守，會(huì)造成機(jī)床制造成本顯著增加。統(tǒng)計(jì)公差分析法[42-43]是從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，以統(tǒng)計(jì)分布和概率的形式來描述零件尺寸的變化，進(jìn)而計(jì)算出零部件公差和裝配函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布，這是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的公差分析方法。該方法假設(shè)零件公差服從正態(tài)分布，所以零件公差與裝配誤差之間呈線性關(guān)系，但實(shí)際與理論結(jié)果一般并不完全一致。蒙特卡羅方法[44-45]將尺寸鏈中的閉環(huán)方法和公差設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為求解隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)問題。根據(jù)每個(gè)尺寸公差帶的實(shí)際分布情況，采用一定的算法對(duì)采樣進(jìn)行仿真，并根據(jù)約束函數(shù)使用生成的隨機(jī)數(shù)計(jì)算公差和閉環(huán)尺寸。由于蒙特卡羅方法基于統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)原理，通過隨機(jī)模擬獲得了閉環(huán)公差的統(tǒng)計(jì)特征，可以更真實(shí)地反映實(shí)際情況，因此得到了廣泛應(yīng)用。

(3)公差分配

公差分配是在保證產(chǎn)品裝配要求的前提下，對(duì)尺寸鏈中各組成環(huán)尺寸公差實(shí)施經(jīng)濟(jì)合理分配的過程。杜雪松等[46]提出了一種基于模糊層次分析法(FAHP)的RV減速器公差設(shè)計(jì)方法，利用靈敏度分析得到了公差參數(shù)對(duì)傳動(dòng)精度的加權(quán)系數(shù)，建立了RV減速器零件公差參數(shù)的權(quán)重表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)了零件的公差分配。李敬雨等[47]通過分析五軸數(shù)控機(jī)床的綜合誤差及其誤差的隨機(jī)性，將機(jī)床誤差特性與三維公差關(guān)聯(lián)起來，實(shí)現(xiàn)了公差值的合理分配，達(dá)到了降低機(jī)床誤差、提升加工精度的目的。彭和平等[48]利用Jacobian-Torsor模型和蒙特卡洛模擬方法提出了一種三維公差再設(shè)計(jì)的方法，利用蒙特卡羅模擬將雅克比-旋量模型轉(zhuǎn)換為隨機(jī)值輸入的統(tǒng)計(jì)模型，利用每個(gè)FE對(duì)總FR的貢獻(xiàn)率作為尺寸鏈中公差值的優(yōu)化依據(jù)，最終獲得更經(jīng)濟(jì)的公差和更低的制造成本。黃美發(fā)等[49]根據(jù)尺寸鏈中各設(shè)計(jì)尺寸功能和重要程度預(yù)先給定了不同零件特征表面的加工合格率，再結(jié)合加工成本-公差模型，以公差為優(yōu)化變量，以加工成本最小為優(yōu)化目標(biāo)，以加工合格率和裝配函數(shù)為約束條件，從而實(shí)現(xiàn)公差的優(yōu)化分配。

已有的基于可靠性理論的機(jī)床加工精度穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法的研究對(duì)象是幾何誤差元素，但幾何誤差元素與零部件公差間的關(guān)系并不明確，無法直接指導(dǎo)公差設(shè)計(jì)。因此，需從零部件公差與自由度誤差的映射關(guān)系著手，搭建具備嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義的映射模型。另外，基于數(shù)學(xué)定義的公差建模方法利用約束不等式和變分不等式來描述公差帶寬與公差變動(dòng)元素之間的關(guān)系，其對(duì)公差解釋是唯一的。然而，由于約束不等式中變化序列的不確定性，很難得到實(shí)際變化區(qū)間帶寬與容差之間的響應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而影響機(jī)床公差-成本模型的準(zhǔn)確性，導(dǎo)致難以獲得準(zhǔn)確的公差優(yōu)化分配結(jié)果。

3 關(guān)鍵技術(shù)問題的解決方案

3.1 解決方法

(1)基于螺旋理論的機(jī)床空間誤差建模方法

針對(duì)傳統(tǒng)機(jī)床空間誤差模型建模過程繁瑣且在推算相鄰運(yùn)動(dòng)體間誤差矩陣時(shí)耗時(shí)易出錯(cuò)的問題，可以螺旋理論為數(shù)學(xué)工具，建立基于全局坐標(biāo)系的機(jī)床空間誤差模型，以簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)分析過程，有效規(guī)避因建立局部坐標(biāo)系導(dǎo)致的繁瑣建模過程。

(2)基于球桿儀測(cè)量的機(jī)床平動(dòng)軸幾何誤差元素辨識(shí)方法

針對(duì)基于激光干涉原理的辨識(shí)方法普遍存在檢測(cè)效率低、安裝調(diào)試復(fù)雜的問題，提出一種基于球桿儀測(cè)量的平動(dòng)軸幾何誤差元素辨識(shí)方法。利用螺旋理論建立了三軸數(shù)控機(jī)床刀尖點(diǎn)相對(duì)于工件坐標(biāo)系原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而推導(dǎo)出與球桿儀桿長(zhǎng)變化量相關(guān)的幾何誤差元素辨識(shí)模型。考慮到機(jī)床PDGEs的非線性關(guān)系和球桿儀測(cè)量數(shù)據(jù)量過大會(huì)導(dǎo)致求解不穩(wěn)定的問題，將辨識(shí)模型轉(zhuǎn)化為優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，采用模擬退火遺傳算法進(jìn)行求解。通過設(shè)計(jì)球桿儀實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提方法的有效性，最終得到能夠評(píng)價(jià)機(jī)床幾何精度和預(yù)測(cè)機(jī)床加工精度的空間誤差模型。

(3)基于全局靈敏度分析的機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素溯源方法

針對(duì)局部靈敏度分析方法試驗(yàn)點(diǎn)單一和基于統(tǒng)計(jì)理論的全局靈敏度分析方法自帶隨機(jī)性的問題，提出一種基于全局靈敏度分析的機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)方法。根據(jù)幾何誤差元素隨坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)位置變化的特性，利用正交法設(shè)計(jì)多種不同的測(cè)試點(diǎn)選取方案，分別選取多組試驗(yàn)點(diǎn)用于設(shè)計(jì)靈敏度分析試驗(yàn)。將多組試驗(yàn)點(diǎn)的幾何誤差元素的辨識(shí)結(jié)果應(yīng)用到全局靈敏度分析中，有效規(guī)避了基于統(tǒng)計(jì)理論的全局靈敏度分析方法的分析變量自帶隨機(jī)性的問題。最后，將機(jī)床空間誤差模型中的位置誤差作為敏感度計(jì)算模型，分別設(shè)計(jì)多因素正交試驗(yàn)和單因素參數(shù)試驗(yàn)，以多組試驗(yàn)點(diǎn)的正交試驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)結(jié)果和參數(shù)試驗(yàn)結(jié)果作為全局靈敏度系數(shù)，溯源出機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素。

(4)基于可靠性理論的機(jī)床加工精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

針對(duì)機(jī)床加工精度可靠性計(jì)算模型的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且高度非線性，很難運(yùn)用常規(guī)可靠性計(jì)算方法進(jìn)行求解，提出一種基于可靠性理論和響應(yīng)面法的機(jī)床加工精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，工作流程如圖2所示。

圖2 三軸數(shù)控機(jī)床加工精度優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

將空間誤差模型中的位置誤差作為加工精度預(yù)測(cè)模型，利用可靠性理論推導(dǎo)出了加工精度可靠性計(jì)算模型，并運(yùn)用響應(yīng)面法求得準(zhǔn)確的加工精度可靠性。考慮到機(jī)床工作空間過大，利用正交試驗(yàn)法選取多個(gè)工作位置進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)各試驗(yàn)點(diǎn)的加工精度可靠性，鎖定可靠性最差的工作位置；進(jìn)而利用可靠性靈敏度分析結(jié)果調(diào)整幾何誤差參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)在滿足機(jī)床加工精度可靠性設(shè)計(jì)要求的前提下，得到與機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵零部件精度的優(yōu)化設(shè)計(jì)值。

(5)基于蒙特卡洛模擬的公差建模與機(jī)床靜態(tài)幾何精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

針對(duì)機(jī)床幾何誤差元素與零部件結(jié)合面公差間的關(guān)系并不明確的問題，提出一種基于蒙特卡洛模擬的公差建模方法和機(jī)床靜態(tài)幾何精度設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

圖3 機(jī)床零部件公差建模和靜態(tài)精度設(shè)計(jì)流程

通過深入研究基于數(shù)學(xué)定義的公差分析方法，采用SDT表示公差信息，綜合考慮公差原則和約束條件找到了SDT旋量參數(shù)與公差之間的約束關(guān)系，并采用蒙特卡洛模擬建立了SDT旋量參數(shù)和實(shí)際公差變化帶寬的響應(yīng)面模型。然后，根據(jù)裝配體結(jié)合面誤差的形成機(jī)制建立了裝配體結(jié)合面誤差模型，在建立結(jié)合面誤差模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立了裝配體的裝配精度模型，從而將零部件結(jié)合面的公差信息融入到結(jié)合面誤差模型和裝配體精度模型中，最終形成了以零部件結(jié)合面公差為設(shè)計(jì)變量、以最小公差制造成本為目標(biāo)函數(shù)、以裝配精度可靠性和公差設(shè)計(jì)原則為約束條件的公差優(yōu)化模型。通過求解該優(yōu)化模型，可得到公差制造成本最低時(shí)，滿足裝配精度可靠性和公差設(shè)計(jì)原則條件的零部件結(jié)合面公差的最優(yōu)解，可將其用于指導(dǎo)實(shí)際的三軸立式加工中心的零部件結(jié)合面的公差設(shè)計(jì)。

3.2 系統(tǒng)實(shí)施方案

針對(duì)已有三軸數(shù)控機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)的部分關(guān)鍵性問題有待解決，難以實(shí)現(xiàn)不同精度設(shè)計(jì)方法的合理銜接和工程應(yīng)用實(shí)用性較低的問題，以三軸數(shù)控機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)為研究重點(diǎn)，結(jié)合機(jī)床幾何精度分析和公差設(shè)計(jì)等關(guān)鍵技術(shù)的實(shí)際工程需求，在深入研究現(xiàn)有機(jī)床精度設(shè)計(jì)理論的基礎(chǔ)上，給出了機(jī)床幾何精度分析與靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法的實(shí)施方案，工作流程如圖4所示。

圖4 機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法流程

首先對(duì)三軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行幾何精度分析，包括基于螺旋理論的機(jī)床空間誤差建模和基于球桿儀測(cè)量的平動(dòng)軸幾何誤差元素辨識(shí)。對(duì)于任意結(jié)構(gòu)的三軸數(shù)控機(jī)床，只有在完成機(jī)床空間誤差建模和平動(dòng)軸幾何誤差元素辨識(shí)的基礎(chǔ)上，才能得到能評(píng)價(jià)機(jī)床幾何精度和預(yù)測(cè)機(jī)床加工精度的空間誤差模型，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)機(jī)床幾何精度的定量分析。在此研究基礎(chǔ)上，提出了第二部分研究?jī)?nèi)容——機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法。機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法包括以幾何誤差元素為分析變量的基于可靠性理論的機(jī)床加工精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和以零部件結(jié)合面公差為分析變量的靜態(tài)幾何精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法兩部分。

以幾何誤差元素為分析變量的基于可靠性理論的機(jī)床加工精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是在機(jī)床幾何精度法分析的基礎(chǔ)上，利用基于全局靈敏度的機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素溯源方法找到對(duì)加工精度具有顯著影響的關(guān)鍵幾何誤差源；以關(guān)鍵幾何誤差源作為分析變量，將可靠性理論引入到數(shù)控機(jī)床精度設(shè)計(jì)領(lǐng)域，將加工精度可靠性視作判斷機(jī)床加工精度能否滿足性能要求的判定標(biāo)準(zhǔn)，借助響應(yīng)面法求解不同工作位置處的加工精度可靠性；同時(shí)結(jié)合可靠性靈敏度分析，實(shí)現(xiàn)與機(jī)床幾何誤差元素相對(duì)應(yīng)的零部件精度合理優(yōu)化，以達(dá)到提高機(jī)床加工精度的目的。

以零部件結(jié)合面公差為分析變量的基于蒙特卡洛模擬的公差建模與機(jī)床靜態(tài)幾何精度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是基于幾何精度研究和機(jī)床精度鏈分析，利用機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和結(jié)合面誤差的形成機(jī)制，建立起反映機(jī)床輸出精度的裝配精度模型。通過SDT旋量參數(shù)描述公差實(shí)際表面在公差域中的變化以及蒙特卡洛模擬方法建立公差與SDT旋量參數(shù)的映射關(guān)系，從而將公差設(shè)計(jì)與機(jī)床輸出精度關(guān)聯(lián)起來。最后以公差最小加工成本為目標(biāo)函數(shù)，以裝配精度可靠性和公差原則為約束條件，建立了機(jī)床靜態(tài)幾何精度優(yōu)化模型。通過使用模擬退火遺傳算法求解機(jī)床靜態(tài)幾何精度優(yōu)化模型，可在滿足裝配精度可靠性和公差設(shè)計(jì)原則條件的前提下，得到對(duì)應(yīng)最低制造成本的最佳公差設(shè)計(jì)值，實(shí)現(xiàn)公差優(yōu)化分配的同時(shí)控制制造成本。

4 結(jié)論

以三軸數(shù)控機(jī)床為研究對(duì)象，針對(duì)當(dāng)前機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法存在的關(guān)鍵問題，分別以影響機(jī)床幾何精度的關(guān)鍵幾何誤差元素和重要零部件結(jié)合面公差為切入點(diǎn)，以量化分析機(jī)床幾何精度、提高機(jī)床加工精度和找到幾何誤差元素與零部件結(jié)合面公差間的映射關(guān)系為研究目的，提出了一套完整的機(jī)床幾何精度分析與靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法的實(shí)施方案，以實(shí)現(xiàn)兩種機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法的合理銜接和解決工程應(yīng)用實(shí)用性低的問題。

但要開發(fā)一套完整實(shí)用的機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)系統(tǒng)還有很多工作要做，一些關(guān)鍵問題還需進(jìn)一步地探討和研究，如機(jī)床精度預(yù)測(cè)模型中需綜合考慮幾何誤差、熱誤差、切削力引起的誤差以及安裝誤差；若要將本文作者提出的機(jī)床靜態(tài)精度設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到四軸機(jī)床或五軸數(shù)控機(jī)床，需考慮旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差元素的辨識(shí)。