單自由度主動磁懸浮軸承的協同控制

王文軍，竺志大，曾勵，寇海江，唐率，孫帥

(揚州大學機械工程學院,江蘇揚州 225127)

0 前言

磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing，AMB)支承轉子系統是一個非線性系統，很多控制方法都是先進行線性化等簡化處理再進行控制，其中最經典的就是PID控制[1]。它建立在精確數學模型的基礎上，具有結構簡單、穩定性能好、可靠性高等優點，還可利用DSP實現數字PID控制[2-4]。PID控制器設計的關鍵是參數的整定問題，因為AMB的工作過程復雜，在某時刻可能具有高度非線性、時變不確定性、滯后性等特點；或者在外界干擾、負載擾動等因素的影響下，其參數甚至數學模型都會發生改變。經典PID顯然不能滿足高精度控制的要求，因此出現了利用先進算法進行參數整定的PID控制方法，比如變論域模糊PID控制[5]、模型參考自適應PID控制[6]、改進不完全微分PID控制[7]、仿人智能PID控制[8]等。但這些方法歸根結底仍屬于PID控制范疇，都需要對原數學模型進行線性化處理，而且無法避免地會產生超調甚至振蕩等現象，降低加工質量。

協同控制理論[9]是利用系統的自組織性，各部分之間相互協作，使系統穩定至平衡點。它從被控系統的狀態變量出發，將狀態變量的線性集合作為宏變量，通過合理地設定，可以降低系統對一些未知參數，例如外部干擾的敏感性，提高系統的魯棒性；然后讓宏變量逐漸趨于零，整個過程就是流形的變化過程，系統先由任意初始狀態收斂并保持在流形上，最終順著流形達到被控系統的平衡位置。流形的收斂過程是連續的，因此求得的控制規律也是連續的，相應地，控制系統的動態跟隨性也會比較強，穩態性能也比較好。

協同控制適用于高階、非線性、強耦合的系統，最開始用于無人機[10]之間的耦合運動。協同控制理論最早成功地投入生產實踐是在電力控制領域[11]，用于多個并聯電路的控制，后面經過應用開發，開始用于電機的控制：用于永磁同步電機的控制[12-13]，可以在保持不變流形的同時，實現系統的線性化，并降低系統的階數；用于感應電機的轉速控制[14-15]，可以使電機在受到干擾時，仍然保持轉子的平穩旋轉。對于同一非線性系統，相比滑模控制，協同控制的抗干擾能力更強，而且系統的響應速度更快，魯棒性也更強，更易于實現控制系統的數字化[16]。綜上所述，協同控制理論的適用對象與AMB支承轉子系統相吻合，實現的控制效果也是AMB所需要的，因此提出將協同控制理論應用于單自由度AMB的控制，通過理論推導驗證該想法的可行性，通過仿真與試驗研究其控制效果。

1 單自由度AMB的數學模型

1.1 AMB的控制原理

差動式單自由度AMB的控制原理如圖1所示。轉子工作之前，必須先從停機位置(最大間隙處)起浮至平衡位置O處，待穩定懸浮之后再施加轉速進行工作。首先開啟控制器，位移傳感器檢測到轉子處于停機位置，控制器將轉子當前位置與設定平衡位置之差作為控制對象，使用控制算法求解出對應該時刻的電流，電流經過功率放大器放大，通入AMB線圈，由于AMB采用差動式結構，轉子將受到不平衡的上下磁吸力，于是產生位移。位移一段之后的位置通過傳感器反饋，控制器就會再次產生新的控制電流進行下一步的位移控制，直至轉子的位置偏差為零，即達到平衡位置，轉子實現靜態懸浮。當轉子開始工作處于穩態懸浮時，如果受到外界干擾力，轉子的位置就會偏離平衡點，影響正常的加工制造，因此需要控制系統快速響應，及時將主軸恢復到穩態平衡點，其控制原理和上面相同。

圖1 差動式單自由度AMB的控制原理

1.2 AMB的電磁力方程

設單自由度AMB的線圈匝數為N、有效磁極面積為S、線圈偏置電流為I0、工作氣隙為g0，并假設：(1)忽略磁懸浮軸承轉子的體積，將其看成一個質點，選取質量；(2)不考慮繞組漏磁通；(3)假設鐵心與轉子之間的磁阻為零；(4)不考慮磁滯和渦流對系統的影響。

根據磁懸浮軸承理論[17]，以單自由度x方向為例，可得電磁力的表達式為

(1)

從式(1)可以看出，電磁力和電流、位移均表現為明顯的非線性關系。

(2)

當位移在較小的范圍內變化時，可以將電磁力簡化為位移與電流的線性組合，即

Fx=kx·x+kix·ix

(3)

AMB線圈的電壓方程[18]為

(4)

由上式可見:AMB驅動線圈的電壓與電流、電壓與轉子位移之間也均為非線性關系。

1.3 AMB的線性范圍判定

下面是根據式(1)，在MATLAB中模擬在固定電流(位移)情況下的位移(電流)-電磁力響應。其中K=1.25×10-7(N·m2/A2)，i0=3 A，g0=0.3 mm。

從圖2—圖3可以看出：當|y|≤0.05 mm時，其電磁力與電流之間呈線性關系;超過0.05 mm甚至0.1 mm基本上就是非線性關系;在位移|y|≤0.05 mm的時候，即使是在較大的控制電流范圍(-3 A,3 A)內，電磁力與電流之間也較符合線性關系；位移超過0.1 mm，就會明顯地呈現為非線性關系。在轉子實際工作中，要求控制系統在檢測到極其小的位移或者產生位移的趨勢時，就要立即對其進行位移控制。

圖2 固定電流下的位移-電磁力響應 圖3 固定位移下的電流-電磁力響應

2 單自由度AMB的協同控制理論與仿真研究

2.1 單自由度AMB的協同控制器設計

(5)

一般宏變量的設定為狀態變量以及控制輸入的線性組合，因此可設宏變量為

(6)

其中:kx為位移剛度系數，為已知參數，把它作為基量，以此為基礎調節k2、ku，使系統達到較好的控制性能。

協同控制器的控制目標是使系統在有限時間內從任意初始狀態收斂并保持在流形ψ(x)=0上，并沿著流形趨向被控系統的平衡點。收斂到流形的動態過程可以采用如下動態方程來描述

(7)

式中:T為時間常數，決定了系統狀態變量收斂到流形ψ=0的速度。

將式(6)代入式(7)，即可得到輸出位移與控制電流之間的關系為

ku·ix=0

(8)

即

(9)

同理可以設置電壓為控制輸入，將宏變量中的電流變為電壓，再根據電壓方程式(4)，同樣可以求得控制電壓與位移之間的關系，而電流則變成了電壓求解位移的中間量。具體推導過程不再給出，宏變量的設置可參考下列公式(10)

(10)

2.2 單自由度AMB的協同控制仿真分析

在MATLAB/Simulink中建模仿真來驗證其控制效果。由式(9)和式(2)可得單自由度AMB系統的協同控制仿真模型，和PID控制的仿真模型建立在一起，如圖4所示。

圖4 電流為控制輸入時的協同與PID控制仿真模型

由協同控制模型中可以看出，反饋對象總共有3個：速度反饋，其作用是增加系統的阻尼，提高系統的穩定性及魯棒性并減小超調量；加速度反饋，可在不增加系統帶寬的情況下增加系統的剛度，提高懸浮轉子的等效質量，提高系統的動態懸浮剛度，改善系統動態特性；電流反饋，可以降低系統的電網電流擾動作用。

通過不斷調節控制參數，找到一組控制效果較好的參數值，如表1所示。

表1 控制參數

脈沖干擾時的PID、協同控制位移響應對比如圖5所示，結果表明：(1)電壓為控制輸入時的控制效果和電流為控制輸入幾乎無差，但求解過程更加復雜，因此在沒有特殊要求時盡量使用電流進行控制；(2)協同控制可以通過調節T的值改變響應時長，如表2所示；(3)當沒有干擾產生時，位移在協同控制下0.01 s達到穩定，而PID則需要0.02 s才穩定；(4)t=0.02 s時干擾力產生時，協同控制的反應時間為0.002 s，而PID則需要0.018 s，效果遠差于協同控制，干擾消失時的效果也相同。

圖5 脈沖干擾時的PID、協同控制位移響應對比曲線

表2 不同時間常數時的位移響應對比

綜上所述，協同控制下的位移響應更加迅速，調節時間更短，可以通過調節時間常數T方便地對響應時長進行控制，具有良好的動態穩定性與跟隨特性；PID控制參數的調節過程復雜，很難對時長進行有效率、精確的控制。

3 單自由度AMB的協同控制實驗研究

協同控制與PID控制思想類似，只是求取控制電流的算法不同。目前數字PID技術已經比較成熟，而協同控制器也同樣適用于數字控制，也可以在DSP上改寫控制算法進行數字控制。

3.1 硬件設計

以數字PID常用的TMS320F2812為核心控制芯片，選取靈敏度比較高的電渦流位移傳感器，以及電流傳感器、速度、加速度傳感器再加上外圍測量電路構成整個硬件系統，如圖6所示。

圖6 基于DSP的數字控制原理

3.2 軟件設計

設計的數字控制器都是時域系統，而DSP中的控制量需要采樣時刻的偏差值計算，因此要進行離散系統的轉化來逼近連續系統。

PID調節控制電流的公式為

e(k-1)]+i0(k)

(11)

可得

(12)

其中:i代表電流;k代表位移;T為采樣周期。PID控制算法的程序框圖如圖7所示。

圖7 PID控制算法程序框圖

控制參數kp、ki、kd的值均采用經驗法確定，通過實驗調試，其值分別為：kp=300、ki=1 500、kd=0。標準PID算法有時會出現飽和效用，這種效應一般在給定值發生突變時發生，也叫啟動效應。

對于協同控制而言,對式(9)離散化后求偏差為

(13)

即:

(14)

于是有程序流程框圖如圖8所示。

圖8 協同控制算法程序框圖

取仿真驗證過的控制參數,其值分別為：kz=90 000、k16=50、k8=0.1，即可達到想要的流形變化效果。效果不好的情況下可根據結果再調整參數。在DSP的集成開發環境CCS7.2.0中進行PID與協同控制的子程序編制。

在這些基礎上完成了實驗臺的搭建，如圖9所示。下面進行轉子起浮、穩定懸浮和擾動實驗，對比協同控制與PID控制的效果。

圖9 單自由度磁軸承支承轉子系統實驗臺

3.3 轉子靜態起浮實驗

線圈通電之前，磁軸承轉子x方向由于自身重力處于最大位移處；系統一旦啟動，轉子將迅速回到平衡位置。傳感器可以將轉子的位移過程記錄下來，將其保存并提取數據后在Origin里面作圖，得到轉子起浮時的位移響應曲線如圖10—圖11所示。

圖10 轉子起浮響應曲線

圖11 轉子起浮響應曲線放大圖

轉子從最大位移0.3 mm處起浮，t=0.5 s控制器啟動后，轉子在不同的控制方法下迅速開始位移，極短時間內就達到平衡位置，然后在平衡位置極小的范圍內波動。在協同控制下，位移起浮的過程平穩、無超調，0.02 s左右就達到穩定平衡，基本穩定在±0.002 5 mm之內，只有1次波動明顯超過該范圍，整體起浮性能良好；PID控制下，線圈至少需要通入27 A的電流才能使轉子起浮，轉子在起浮瞬間產生了超調，達到了-0.012 mm左右，經過0.03 s后，開始在±0.005 mm范圍內波動，效果較差，而且后續的波動幅度也比較大，遠超協同控制的0.002 5 mm，更有至少5次超過了0.005 mm。

3.4 轉子穩定懸浮實驗

當轉子完成起浮動作、在平衡點處達到穩定懸浮后，啟動電機，讓轉子達到設定轉速10 000 r/min，測得轉子的位移波形如圖12所示。

圖12 轉子位移波形

在轉速上升的0.5 s之內，轉子在平衡位置不斷發生波動；當轉速穩定在10 000 r/min之后，轉子波動不斷減小。在協同控制下，轉子加速過程中，波動范圍為±0.03 mm；轉速平穩后，基本穩定在±0.01 mm之內。而PID相比協同控制，波形不穩，每段的波動范圍都更大，最高可達0.055 mm，大部分都在超過協同控制波形±0.01 mm范圍外波動，說明其動態穩態性和穩定時的控制精度不如協同控制。

3.5 轉子擾動實驗

轉子穩定旋轉時，給其一個脈沖擾動，得到位移實驗結果如圖13所示。

圖13 不同控制下的轉子受擾動時的響應曲線

在t=0.1 s擾動產生瞬間，轉子受力向下偏轉，偏移平衡位置0.075 mm，該數據比較符合實際生產中轉子的允許波動范圍；t=0.2 s干擾力消失，轉子重新回到平衡位置。PID控制方法下，干擾產生瞬間，位移產生超調現象，超出穩定位置0.075 mm；干擾消失瞬間，超調約0.07 mm，之后才慢慢穩定；轉子的每段響應大部分都是在穩定位置±0.05 mm波動，超過該位移范圍的次數也比較多。轉子在協同控制之下，面對干擾并不會產生超調現象，轉子的每段浮動范圍也只有0.02 mm，遠低于PID的0.05 mm，而且發生較大位移波動的頻次也相對PID少很多。協同控制器與PID控制器相比，面對干擾時不會產生超調現象，對外部干擾有更低的敏感性，對轉子的動態位移有更好的跟隨性，系統的動態穩定性與魯棒性強。

4 結論

針對單自由度AMB的經典PID線性控制方法的不足，提出對存在干擾、非線性的磁軸承支承轉子系統采用協同控制的方法，并將PID控制器和協同控制器進行了仿真與實驗對比分析，為單自由度AMB控制器的設計提供了一定的理論與實驗基礎。文中主要完成的工作有：

(1)建立了單自由度AMB的磁力、電壓方程，然后依據協同控制理論，設計了強干擾、非線性的單自由度系統的協同控制器；

(2)在MATLAB/Simulink中對協同控制系統、PID控制系統進行仿真，結果發現無論有無外界干擾，協同控制下的位移響應速度都更快，而且過程平緩、無超調、無振蕩，動態穩定性好，抗干擾能力強，所有表現均優于PID控制；

(3)搭建控制系統實驗平臺，并針對轉子起浮、穩定懸浮、受到干擾3種工況分別進行了實驗測試。實驗結果表明：協同控制下的位移響應迅速，起浮過程平穩，起浮性能良好；轉子在工作時，協同控制器可以將位移穩定在更小的范圍內；轉子受到擾動時，協同控制可以迅速調整位移并穩定在相應位置，系統的跟隨性和動態穩定性較好，說明設計的協同控制器參數正確合理，實際控制性能良好。