歐拉數極限值和斯坦納極值的Python解法

劉洋　王德貴

歐拉數極限值和斯坦納極值問題，是數學史上著名的數論問題，收錄在《100個著名初等數學問題》的第12題和第89題，今天我們用Python來分析和求解。

一、歐拉數極限值問題

1.題目內容

函數

當x無限增大時的極限值。今天我們只求解第一個函數的極限值。

2.算法分析

根據題意，要先判斷函數

在x無限增大時，是否有極限？如果有極限，是多少？

可以證明，函數在（0，+∞）上是增函數，利用Excel圖表處理功能，做出在（0，500）上函數圖像如下圖，可以看到，在x無限增大時，函數值在2.5-3之間，而且函數值變化很小。

根據題意，我們利用for循環，讓x值逐漸增大，來分析y的極限值。

3.程序實現

從前面的分析，寫出程序代碼。

運行結果如下，大家可以看到，在（1，100）上，y的值逐漸增大，并在2.7左右。

那我們繼續增大取值范圍，（1，10000）、（1，1000000）、（1，100000000），最后發現，y趨近一個值：2.718281828……

這里用到了數學中的冪函數，在Python里函數pow（x，y）的意義為x^y，也可以表示為x**y，大家使用時注意，用函數pow（x，y）時，需要導入數學模塊math，而x**y則不用。

運行結果如下：

4.結論

我們求解是在10的8次方范圍內，10的10次方運行超過了12個小時。從函數值的變化趨勢，大家不難發現，這個極限值就是無理數：e。

其實函數

在（0，+∞）上的極限值，也是e的定義。

二、斯坦納極值問題

1.題目內容

如果x為正變數，x取何值時，x的x次方根為最大？

即求函數

在（0，+∞）上的極值問題。

2.算法分析

這是一個與歐拉極限值相關的函數極值問題，函數在（0，+∞）上，函數值是如何變化的呢？

我們利用Python的for循環，進行分析計算。

下面先測試一定范圍內的變化情況，再具體分析。

3.（1，100）上的單調性

運行程序，輸出結果如下：

后面的函數值，越來越小了，說明在x=3附近有極值。

4.（2.0，4.0）上的單調性

在x=3附近有極值，那我們就分析在（2.0，4.0）上的單調性，為了保留一位小數，采取除以10的方法。

運行結果如下：

不難發現，函數在x=2.7附近有極值，那么極值點一定在（2.60，2.80）上。

5. （2.60，2.80）上的極大值

進一步分析函數在（2.60，2.80）上的單調性，修改程序，直接求極大值，無須全部輸出。

運行結果如下：

6.提高精度，求極大值

我們依次提高精度，求解極大值。

運行結果如下：

7.結論

從以上分析和精度的提高，我們發現，x的值趨近一個特殊值，即x=e時，

的值最大。

三、認識e

1.常數e

e，作為數學常數，是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名;也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（JohnNapier）引進對數。它和圓周率π一樣，都是無理數，是數學中最重要的常數之一。

2.關于e的一個問題

將一個數分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？

答案是：使等分的各份盡可能接近e值。例如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不是整數，四舍五入，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時2.5**4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小于39。參見運行結果。

運行結果如下，我們發現4等份時乘積最大：

那我們編程直接輸出最大項及前后各項，那么為什么除以e呢？

輸入整數、小數，是否都可以呢？若是只計算最大值及其前后的兩個值，或是只求乘積的最大值，如何編程呢？有興趣的同學可以去做一下，這里不再贅述。

四、小結

兩個問題的結論事先作者也不知道，因而整個求解過程，就是我分析、研究的過程，循序漸進，最后得出結論。也希望這個分析處理問題的思路給學生一個啟發：掌握分析方法非常重要。

今天我們認識了e，它是我們數學上很重要的常數。有關e的相關知識，大家可自行查閱相關資料。本文希望大家在學習Python過程中，了解更多的數學史，學習更多的數學知識。