非線性能量阱對汽車車身垂向振動的抑制效果

甄 冬 李 堃 劉曉昂 張佳琪

1.河北工業大學機械工程學院，天津，3001302.天津市新能源汽車動力傳動及安全技術重點實驗室，天津，300130

0 引言

線性吸振器只在其固有頻率等于結構振動頻率時才能有效抑制振動，為實現更理想的減振效果，VAKAKIS[1]提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)的概念。NES由質量塊、立方剛度元件和線性阻尼元件組成，它利用靶能量傳遞來實現振動的抑制[2]，魯棒性好且無需外界能量。

求解NES這種具有強非線性特性的振子周期解的方法有解析法、數值法和半數值半解析法。有學者對NES的參數優化方法開展研究。MANEVITCH[3]提出的復變量-平均法適用于強非線性條件下的動力學特性分析。ZANG等[4]采用數值仿真法計算了諧波激勵下的線性結構與NES耦合系統的穩態響應。STAROSVETSK等[5-7]對受簡諧激勵的NES系統產生的強調制響應進行研究，結合復變量-平均法與多尺度法發現NES產生非周期響應時的吸振效果比NES產生穩態響應時的吸振效果好，通過參數(激勵幅值、NES阻尼和激勵頻率失諧)揭示并描述了周期解的局部鞍結分岔現象，并提出預測發生強調制響應的方法。HUANG等[8]分析了諧波和白噪聲激勵下Duffing系統耦合NES后的分岔現象。劉良坤等[9]利用強調制響應的特點來設計最優NES剛度。孔憲仁等[10]將二自由度NES耦合到單自由度主結構系統，發現二自由度NES因產生強調制響應而產生比單自由度NES更好的振動抑制效果。TRIPATHI等[11]研究發現NES能使受脈沖激勵的二自由度主系統的能量高效轉移至NES。劉麗蘭等[12]對有色噪聲激勵下NES系統的動力學響應和能量傳遞進行研究，以主系統振動能量最小為優化目標，獲得了最優調諧頻率比、最優質量比、最優阻尼。SUN等[13]針對通信衛星在微振動環境下飛輪產生徑向振動的問題進行研究，發現NES可以令飛輪實現約50%的振動衰減。ZHANG等[14]分別在飛機機翼的前端、后端安裝2個NES來控制自由流引起的振動，發現升沉模式和俯仰模式的能量可以傳遞到不同的NES，表明安裝這2個NES可極大提高能量的傳遞效率。王悅[15]在汽車的簧載質量上附加NES，以減小路面激勵引起的振動。ANUBI等[16]在懸架系統水平方向安裝的變剛度NES能高效吸收汽車簧載質量中的振動能量，從而減弱了道路干擾激勵傳遞到車身的振動。

除上述立方剛度NES外，一些學者提出了負剛度(由立方剛度和線性負剛度構成)NES。作為新興的NES，負剛度NES被證明具有較高的能量傳遞效率。FANG等[17]將負剛度NES安裝到伯努利-歐拉梁，發現該NES可以實現高效的能量轉移效率。QIU等[18]探究了負剛度NES的多種響應機制，根據位于強調制響應和穩定周期響應之間的最佳點提出一種用于二自由度系統的負剛度NES設計準則，以使NES的效率最高、主結構振幅最小。姚紅良等[19]設計的一種可調負剛度NES結構對受周期激勵的懸臂梁具有良好的減振效果。

目前，對NES的研究主要集中于立方剛度NES，且應用于汽車時考慮的是路面激勵。動力總成激勵是汽車主要振動源之一，激勵通過懸置引起車身振動，因此筆者利用NES抑制車身振動，提升汽車行駛平順性，通過汽車動力學模型的對比來分析立方剛度NES和負剛度NES的動力學特性及兩種NES對車身振動抑制效果的差異，以選擇更適合汽車減振的NES。

本文首先建立車身分別增加立方剛度NES和負剛度NES的動力總成-車身-輪胎模型， 運用復變量-平均法得到系統的慢變方程，求得平衡點并判斷平衡點的穩定性，推導系統邊界方程，然后對比兩種NES在各自不穩定解時的響應，對立方剛度NES進行優化，驗證減振效果，最后分析了兩種NES系統的能量譜。

1 動力總成-車身-NES-輪胎模型

將整車系統簡化為線性系統，建立基于動力總成-車身-輪胎-負剛度NES的1/4汽車動力學模型，如圖1示，其中，mp、ms、mu分別為動力總成、車身和輪胎的質量；Kp、Ks、Ku分別為懸置、懸架和輪胎的剛度；Cp、Cs分別為懸置和懸架的阻尼，由于輪胎的阻尼很小，因此模型忽略輪胎阻尼；mn、Kn、Km、Cn分別為非線性能量阱的質量、立方剛度、負剛度、線性阻尼；F為動力總成的激勵。將圖1中的負剛度項Km去掉即為立方剛度NES系統。

圖1 1/4汽車動力學模型(負剛度NES系統)Fig.1 One-quarter vehicle dynamics model((negative stiffness NES system))

假設發動機在穩態工況下，根據動力學模型建立附加負剛度NES系統的運動微分方程：

(1)

式中，Xp、Xs、Xn、Xu分別為動力總成、車身、NES和輪胎的位移。

負剛度Km為0時，式(1)變為附加立方剛度NES系統的運動微分方程。對式(1)引入新的時間尺度τ=ωt，則式(1)變換為

(2)

2 基于復變量-平均法的附加NES系統非線性分析

2.1 系統慢變方程及平衡點分析

(3)

將φ1=φs-φu，φ2=φs-φn，φ3=φp-φs引入式(3)并進行變量替換，可得

(4)

(5)

求解式(5)得

(6)

NES與車身的相對位移φ2、動力總成與車身的相對位移φ3、車身與車輪的相對位移φ1、車輪的位移φu可表示為

(7)

C=-BD=A+1

2.2 系統邊界方程

推導系統產生鞍結分岔的邊界方程[12]。將式(6)寫成如下形式：

(8)

對式(8)中的N2求導后得

(9)

將式(9)代入式(8)消去N2，得系統鞍結分岔的邊界方程：

(10)

通過求解式(10)可得鞍結分岔邊界圖。

2.3 穩定性分析

由于式(7)的周期解可能穩定，而解的穩定性影響NES對強迫振動的抑制效果，因此需要分析平衡點的穩定性[10]。

將式(4)在平衡點附近展開，取φ1=φ10+Δ1，φ2=φ20+Δ2，φ3=φ30+Δ3，φu=φu0+Δu，其中，φ10、φ20、φ30、φu0分別為系統的平衡點，Δ1、Δ2、Δ3、Δu為對應平衡點附近的微小增量。將φ1、φ2、φ3、φu代入式(4)得有關增量的方程：

(11)

將Δu=pu+iqu，Δ1=p1+iq1，Δ2=p2+iq2，Δ3=p3+iq3，φ2=N2exp(ia2)代式(11)進行變量替換并分離實部和虛部，可得

(12)

式(12)右側系數矩陣的特征值方程為

|λΛ-A8×8|=0

(13)

式中，Λ為8階對角單位陣。

根據李雅普諾夫穩定性理論判斷平衡點的穩定性，即式(13)所有特征值的實部均小于0時，系統的平衡點才是穩定的，所以平衡點的穩定性可通過最大特征值來確定。

3 計算實例

3.1 系統參數

基于動力總成-車身-輪胎的1/4汽車模型參數如表1所示[20]。系統各部分的固有圓頻率如表2所示。

表1 系統參數

表2 系統各部分的固有圓頻率

3.2 系統鞍結分岔邊界對比分析

根據式(10)，選取不同的NES參數，令NES與車身質量比εns分別為0.10、0.07和0.02(對應的NES質量分別為22.3 kg、15.61 kg和0.45 kg)，取立方剛度Kn為10 kN/m、50 kN/m和100 kN/m，繪制動力總成激勵幅值隨NES阻尼系數變化的鞍結分岔邊界，如圖2示。圖3所示為負剛度NES系統鞍結分岔邊界。

由圖2、圖3可知，鞍結分岔邊界類似于三角形，當阻尼系數λn和激勵幅值F處于三角形區域內時，系統有3個周期解，處于三角形區域外時，系統有1個周期解；阻尼系數λn和激勵幅值F增大到某一臨界值后，鞍結分岔現象消失。

(a)質量比εns=0.10

由圖2a、圖3a可以看出，立方剛度Kn的變化對鞍結分岔邊界影響較大，Kn增大，阻尼系數λn臨界值減小，3個周期解的區域(曲線與Y軸圍成的封閉區域)減小。由圖3a可以看出，當NES存在負剛度且負剛度系數km的絕對值增大時，3個周期解的區域向外擴張，出現鞍結分岔所需的激勵幅值F也大。對比圖2可得，質量比εns增大，出現鞍結分岔所需的激勵幅值F也增大，立方剛度NES的系統3個解的區域增大。對比圖3可得，負剛度NES質量減小引起3個解的區域縮小。文獻[12]同樣研究了3個解的區域與參數的關系，通過調整NES參數得到飛輪-支撐板系統在其一階共振頻率附近的鞍結分岔邊界，發現隨著激勵頻率的增高，3個解的區域擴大。

(a)質量比εns=0.10

3.3 系統鞍結分岔及穩定性對比分析

選取NES參數為質量比εns=0.1、阻尼系數λn=0.01、負剛度NES的負剛度系數km=-0.5，激勵幅值F為500 N、800 N，激勵圓頻率等于車身固有圓頻率即ω=8.33 rad/s，繪制不同激勵幅值F下的系統鞍結分岔(圖4)，并根據2.3節判斷平衡點的穩定性。

(a)立方剛度NES(F=500 N)

立方剛度NES和負剛度NES的系統鞍結分岔及平衡點穩定性類似，隨著立方剛度Kn增大，系統的平衡點都從1個(穩定)變為3個(高、低分支穩定，中間分支不穩定)再變為1個(穩定)。圖4a～圖4d中，相對位移存在3個解的立方剛度Kn范圍分別為48.22～117.21 kN/m、53.54～135.67 kN/m、12.32～41.23 kN/m、13.39～47.19 kN/m。

對比圖4可知，激勵幅值F增大導致立方剛度NES和負剛度NES系統相對位移存在3個平衡點的立方剛度Kn范圍均縮小；NES和車身的相對位移φ2的模|φ2|在相同的立方剛度Kn范圍內小幅增大。對比圖4a、圖4b可知，在相同激勵幅值下，負剛度NES系統的3個解的立方剛度Kn范圍更大。

如圖5a、圖5b所示，當NES與車身相對位移的絕對值在0.05～0.08 m時，穩定解析解和數值解十分接近；當NES與車身相對位移的絕對值在0.12～0.22 m時，穩定解析解略小于數值解。復變量-平均法和龍格庫塔法計算得到的位移幅值偏差較小，因此解析分析與數值結果總體上是吻合的。

(a)立方剛度NES系統

通過時域曲線和相軌跡的分析來研究負剛度NES系統的不穩定周期解能否觀察到非周期響應，對應不穩定解的系統參數如下：動力總成激勵幅值F=500 N，立方剛度Kn=58 kN，負剛度系數km=-0.5。圖6a所示為負剛度NES系統的動力總成位移、車身位移以及動力總成與車身相對位移(位移差)的時域響應，圖6b所示為系統相軌跡。

負剛度NES系統的初始條件即動力總成的位移xp、速度vp，NES的位移xs、速度vs，車身的位移xn、速度vn，及輪胎的位移xu、速度vu全為0，結合負剛度NES的響應機制類型分析[18]混沌阱間內振蕩運動的相軌跡，可以看出外部曲線和內部曲線存在交叉，并且與圖6的相軌跡類似，從而得出系統響應為非周期響應中的混沌阱間振蕩運動。經計算驗證，當初始條件為較低穩定平衡點(xp=-7.9 mm，vp=9.9 mm/s，xs=-55.4 mm，vs=3.3 mm/s，xn=1.1 mm，vn=-0.73 mm/s，xu=-5.7 mm，vu=3.2 mm/s)和較高穩定平衡點(xp=-37.0 mm，vp=5.7 mm/s，xs=-35.5 mm，vs=0.7 mm/s，xn=-15.2 mm，vn=-126.2 mm/s，xu=-3.8 mm，vu=1.7 mm/s)時，系統響應均為混沌阱間振蕩響應。

(a)時域響應

下文討論相同系統參數及初始條件下的立方剛度NES系統的響應。初始條件分別為0、較低穩定平衡點(xp=-57.4 mm，vp=10.4 mm/s，xs=-55.2 mm，vs=3.8 mm/s，xn=4.7 mm，vn=-8.7 mm/s，xu=-5.7 mm，vu=3.2 mm/s)時的立方剛度NES系統的響應如圖7示。初始條件為較高穩定平衡點(xp=-24.9 mm，vp=1.4 mm/s，xs=-23.9 mm，vs=-4.9 mm/s，xn=-36.6 mm，vn=-196.2 mm/s，xu=-2.8 mm，vu=0.7 mm/s)時的立方剛度NES系統的響應如圖8示。

(a)時域響應

結合對立方剛度NES位移隨NES質量變化的全局分岔圖的時域分析結論發現[4]，在初始條件為0、較低穩定平衡點和較高穩定平衡點下，立方剛度NES系統的時域響應均為周期運動，如圖7、圖8所示。

和負剛度NES相比，相同條件下，立方剛度NES系統未出現非周期響應。鞍結分岔點為系統非周期響應機制的存在提供了可能，但并不能保證出現非周期響應，非周期響應與系統慢不變流形上的吸引子有關，此系統未出現非周期響應可能是因為當從一個穩定分支跳躍到另一個分支時，非周期響應被另一穩定響應吸引。

3.4 立方剛度NES系統吸振效果優化

由于發動機轉速不斷改變，因此下面分析激勵頻率變化的情況。根據3.3節立方剛度NES的運動響應分析可知立方剛度NES系統的響應是穩態響應，所以可以用幅值變化來衡量立方剛度NES的減振效果，利用四階龍格庫塔法直接對系統運動微分方程(式(2))進行求解，得到的幅頻響應曲線如圖9示。

(a)時域響應

(a)動力總成的幅頻曲線

原系統的動力總成和車身幅頻曲線是上凸的，附加立方剛度NES后的幅頻曲線在系統一階固有頻率附近的峰值大幅降低，隨著立方剛度Kn的變大，動力總成和車身幅值的第一個共振峰幾乎不變，凹口和第二個共振峰向右偏移且逐漸減小，吸振帶寬有所增大。

對立方剛度NES進行優化，優化子目標為動力總成和車身整體幅頻響應的均方根、動力總成和車身幅頻響應的峰值，總的優化目標為兩個子目標之和最小。

子目標中的均方根峰值選取頻率范圍均為0～15 rad/s，圓頻率間隔均為0.1 rad/s，總點數均為150，則動力總成、車身幅頻響應的峰值分別為Ap,max、As,max，動力總成和車身的幅值均方根為

(14)

式中，Api、Asi分別為點i的動力總成和車身的幅值。

最終總的優化目標定義為Ap,max、As,max、Ap,RMS、As,RMS這四項的和的最小值：

J=min(Ap,max+As,max+Ap,RMS+As,RMS)

(15)

固定其他參數，改變立方剛度Kn，使J達到最小的剛度即為最優立方剛度。繪制J隨立方剛度變化的曲線，如圖10所示，立方剛度Kn增大的過程中，J在剛度Kn=82.98 kN/m處出現最小值。將最優立方剛度代入立方剛度NES系統，對比無NES的原系統和優化后的立方剛度NES系統的動力總成和車身的振動幅值，如圖11示。

圖10 立方剛度對振動優化目標的影響Fig.10 Influence of cubic stiffness on optimizationof vibration

圖11 原系統和立方剛度NES優化后的幅頻響應Fig.11 Amplitude-frequency response of the originalsystem and the optimized cubic stiffness NES

由圖11可見，無NES的動力總成和車身幅頻響應的峰值分別為6.2 mm、5.8 mm，對應的頻率分別為7.8 rad/s、8.0 rad/s。立方剛度NES優化后的動力總成和車身幅頻響應的第一個峰值分別為5.9 mm、55.0 mm，對應的圓頻率為6.7 rad/s、6.9 rad/s；第二個峰值分別為48.0 mm、47.0 mm，對應的圓頻率為8.9 rad/s、9 rad/s；最低點幅值分別為24.0 mm、23.0 mm，對應的圓頻率均為9.3 rad/s。由圖11可以看出，優化后的立方剛度NES對動力總成和車身的振動吸收有一定的效果，對車身固有頻率處的振動有明顯衰減作用。

3.5 兩種NES系統的能量譜分析

剛度Kn=82.98 kN/m時，經驗證，立方剛度NES系統的振動是穩態的，但負剛度NES系統的振動是非穩態的。

從能量的角度來分析非周期響應對NES吸振效果的影響。動力總成和車身的平均能量為

(16)

式中，N為時間段t1～t2內位移(速度)的個數。

利用龍格庫塔法求解能量隨頻率變化的曲線，取時間t為500～600 s。動力總成激勵幅值F取500N，NES與車身的質量比εns均為0.1，阻尼系數λn均為0.01，負剛度NES的負剛度系數km為-0.5，立方剛度NES的立方剛度Kn為82.98 kN/m，負剛度NES的立方剛度Kn為82.98 kN/m和58.00 kN/m。原系統、立方剛度NES系統、負剛度NES系統的能量譜如圖12示。

(a)動力總成

由圖12可知，和原系統相比，優化后的立方剛度NES對動力總成和車身在一階固有頻率處的能量衰減有一定的作用，且負剛度NES效果更好，說明負剛度NES系統混沌阱間振蕩響應的吸振效果更好。動力總成的能量衰減程度小于車身的能量衰減程度，原因是NES附加在車身上，對車身的振動抑制作用更明顯。因此當兩類NES的立方剛度相同時，負剛度NES的振動抑制效果更加明顯。對比負剛度NES的兩條曲線可見，最優立方剛度情況下的能量衰減更多。

由圖12還可以看出，附加負剛度NES的系統在激勵圓頻率大于12 rad/s時，平均能量有所升高，經計算發現，此時動力總成的位移增加6 mm，由于圓頻率升高，頻域下的速度明顯增大，達0.07 m/s；車身的位移增加3 mm，速度增大0.05 m/s左右，使得圓頻率增大，動力總成和車身的平均能量有所增加。

4 結論

(1)對于立方剛度NES和負剛度NES，NES質量增大使鞍結分岔邊界擴大；立方剛度越小，3個解區域越大；立方剛度相同時，負剛度NES比立方剛度NES的鞍結分岔邊界更大，且負剛度絕對值越大，3個解區域越大。

(2)對于立方剛度NES和負剛度NES，動力總成激勵幅值越小，系統出現鞍結分岔的立方剛度越大；激勵幅值相同時，負剛度NES比立方剛度NES出現鞍結分岔的立方剛度范圍更大，對應非周期響應的剛度范圍更大。

(3)在不穩定周期解的立方剛度下取相同初始條件，負剛度NES系統有非周期響應，立方剛度NES系統無非周期響應。

(4)以動力總成和車身幅頻響應的均方根和峰值為優化目標，得到的最優立方剛度NES對動力總成和車身在一階固有頻率處的振動有明顯抑制效果。

(5)當立方剛度NES和負剛度NES的立方剛度相同時，因非周期響應負剛度NES的振動抑制效果更加明顯，更適于汽車車身的減振。