抵償高程面法在長度投影變形控制中的應用

梁 剛 李維平 邵秋銘

(重慶市勘測院, 重慶 401121)

0 引言

線路工程中的勘測放樣是一項重要工作,主要作業內容是把設計的線路位置通過全球導航衛星系統(Global Navigation Satellite System，GNSS)定位、邊角測量等方法標定在擬建區域實地上[1]。但是由于長度投影變形的存在,使現場實際量測的邊長,與采用投影后坐標進行反算的理論邊長有差異,從而造成實地放樣出的點位與設計階段的圖上位置不符[2]。而且進行放線線路越長,實地點位與圖上設計點位的偏差就越大,最后可能會引起線路設計方案的改變,造成設計階段工作無效,經濟損失、時間消耗都很大[3]。

在城市測量中,按照《城市測量規范》的要求[4],投影的長度變形不得大于2.5 cm/km。在城市快軌、地鐵、高速鐵路工程測量中,對長度投影變形有著更為苛刻的要求。城市快軌、地鐵、跨座式單軌等項目要求實地水平距離改化到高斯平面上距離的投影變形不得大于15 mm/km,高速鐵路的要求更是提高到10 mm/km[5]。要想滿足長距離線路工程規范中規定的長度變形量限值,就要分析研究投影變形的特點,定量地分析投影變形的大小,從而采取相應的有效地處理方法,來控制長度投影變形量,以達到線路工程施工的精度要求[3-6]。

1 長度投影變形理論分析[7-10]

確定國家大地坐標系的理論橢球面是一個光滑曲面,實際上它不可能展開成為一個真正的平面。在進行高斯投影時,雖然進行了分帶處理,在投影后的長度仍然會發生改變。在研究投影變形量的組成時,主要劃分為兩個部分進行分析,一是實際測量所得的空間距離歸算到所選擇參考橢球面這個過程引起的變形量計算;二是將參考橢球面到高斯投影面這個過程引起的變形。

1.1 實測邊長到參考橢球面上變形量的解算

ΔS1=-S·Hm/Rm

(1)

式中,ΔS1為空間距離改算到橢球面的變形量;S為歸算邊的長度;Hm為改邊兩個端點相對投影面高程的平均值;Rm為邊長地區的平均曲率半徑。

可見,若參考橢球面低于該歸算邊平均高程面時,ΔS1為負值,也就是說實際測量的距離經過改算后變短了,而且縮短的絕對值與平均高程成正比,隨平均高程增大而增大?，F列出Hm為50～4 000 m時變形比ΔS1/S的數值,如表1所示。

由表1所列及公式推導可知,如果僅考慮實地測量距離到參考橢球面上的變形,那么線路兩端參考橢球面的平均高程應小于63.7 m,這樣才能在理論上使得投影長度變形的相對精度優于1/100 000。

表1 投影長度變形相對精度統計(相對于高差)

1.2 參考橢球面到高斯投影面邊長變形量的解算

(2)

為直觀了解投影帶邊緣某邊長投影精度隨著該邊到中央子午線距離的變化情況,將利用公式(2)的計算結果進行列舉,如表2所示。

從表2中可以看出,在僅考慮橢球面到高斯投影時產生的投影變形,如果投影帶最遠處到中央子午線小于28 km,該投影過程引起的變形值將小于1/100 000。也就是說,所選投影帶東西最寬不能大于56 km。

表2 投影長度變形相對精度統計(相對于該邊到中央子午線距離)

1.3 長度投影的總變形量

(3)

從上文分析可知,如果參考橢球面低于該歸算邊平均高程面,這兩部分變形值可以抵消。在線路工程建設中,為了限制邊長投影變形,可以選擇多種方法。限于篇幅,本文主要對采用抵償高程面法減少投影變形的效果進行分析。

2 抵償高程面法

選用抵償高程面法限制長度變形,就維持了中央子午線不變。該方法是選擇與線路穿越區域最接近的水準面來作為該測區的投影面,由此產生的邊長改正量來抵消一部分高斯投影過程中的邊長變形量。

(4)

于是就有

(5)

(6)

在抵償坐標系中,如果某條邊位于平均高程面上,而且其中點橫坐標為y0,那么從前面的論述可知,改邊長的投影變形可以被完全抵償。對于其他位置的邊,設其兩端高程的平均值為Hs,中點坐標為y0+Δy,如果想使長度變形值小于τ,即有

(7)

將式(6)代入上式得

(8)

若測區平坦,可忽略第一項,于是可得以下兩式:

(9)

確定了y0,也就確定了為限制邊長投影變形而確定的東西寬度。例如由y0=60 km,R=6 370 km,τ=1/100 000,代入式(9)可得Δy=6 km及Δy=-7 km,也就是要求線路穿越區中心往東最遠距離要小于6 km,往西最遠處距離要小于7 km,當y0>60 km時,對東西方向寬度限制更嚴。由此可見,當測區遠離帶中央子午線,只有擬建線路較短、穿越區域不大的情況下,選用抵償坐標系的方法才比較適合。

3 基于抵償高程面法的算例分析

3.1 抵償高程面選取方法[11-12]

在工程應用中,需要選擇最恰當的抵償高程面,以獲取最好的變形抵償效果。常用的抵償高程面選取方法主要有三種:傳統方法、單位長度變形和最小法以及單位長度變形最小二乘法。

3.1.1傳統方法

該方法是選取y0=ymax,此時如果某條邊平行于橫坐標為y0的縱坐標軸,那么該邊的投影變形可以全部都被抵償。將y0=ymax帶入式(6),得到抵償高程面的高程為

(10)

這種方法適用于較小的測區,但對大面積測區就有待改進了。

3.1.2基于max{|ΔSi|}=min的方法

由于投影范圍內每個位置的邊長變形是不相等的,我們可以選取一個抵償高程面,使投影范圍內的各個邊投影至這個高程面上的單位長度(S=S0=1 km)的最大變形值得以最小,即max{|ΔSi|}=min。使用該方法時會遇到兩種情況,一種情況是擬投影的范圍位于3°帶中央子午線的某一側(兩側的投影變形情況一致),另一種是擬投影的范圍跨越了3°帶的中央子午線。

圖1 投影范圍位置示意圖

本文略去公式推導的過程,直接給出抵償高程面大地高的計算公式。對于第一種情況,基于前文的討論,推導出抵償高程面的大地高為

(11)

對于第二種情況,基于前文的討論,推導出抵償高程面的大地高為

(12)

在此約束條件下選取一個抵償高程面,使整個測區內單位長度(S=S0=1 km)變形ΔSi的平方和達到最小,依此來確定抵償高程面。限于篇幅,本文也不再詳述推導過程,直接給出該準則下抵償高程面的計算公式:

(13)

某鐵路建設項目,線路的平均高程Hm=2 km,地勢較為平坦,y∈[20 km,100 km],S=1 km,曲率半徑Rm=6 371 km,下面分別按照前文介紹的三種方法,首先計算項目范圍內的抵償高程面,然后計算長度變形量。

根據三種方法計算長度變形的相對值隨ym的變化量,如表3及圖2所示。

表3 不同方法的長度相對變形值比較

圖2 不同方法長度變形情況

從表3和圖2中可以看出,方法1對長度變形量的限制效果最差,這種基于消除測區最大的高斯投影變形量的方法確定的抵償面,從結果數據可以看到,距離中央子午線越遠的邊,其長度投影相對變形量反而越小,在y的最大處的投影變形為0;方法2和方法3對長度變形值的限制效果相差并不是很大,方法2的長度變形中誤差要略大于方法3的長度變形中誤差,但其長度變形的最大值要小于方法3的長度變形的最大值,并且變形值的變化更均勻。因此,方法2相對于方法3,其適用范圍會更大一些。由表3得出的長度變形中誤差，方法1為0.085 m，方法2為0.043 m，方法3為0.041 m。

4 結束語

在穿越較大區域的線路工程中,由于長度投影變形的存在,使得實測的距離與投影后坐標反算的距離不符,這會對工程的施工放樣帶來很大的影響,本文介紹了投影變形的來源,并且描述了基于計算抵償高程面的方法減少投影變形步驟。通過算例,對比了三種選擇抵償投影面方法的應用效果,最終選取了最合適的抵償面計算方法。

限制長度投影變形的方法很多,除抵償高程面法以外,還有平移中央子午線法、獨立坐標系法、調節因子法、分段法等,各有優點,限于篇幅本文沒有一一介紹,在具體工程應用中往往結合地理條件選擇某一種方法,或者綜合運用多種方法。為了限制長度投影變形,有可能在一個工程中建立幾個坐標系,但這種幾種方法的綜合運用在有效地限制長度投影變形的同時,也帶來了各種坐標系之間進行坐標轉換的問題,因此我們就要從工程的實際情況出發進行綜合的考慮,對所選限制長度變形的方式進行適當的優化,以提高工程建設的綜合效率。