齒輪馬達(dá)的制動(dòng)機(jī)理研究及性能最大化措施

甄 帥， 左鐵峰

(1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 安徽 滁州 239000； 2.滁州學(xué)院， 安徽 滁州 239000)

引言

齒輪馬達(dá)是通過注入一定壓力的流體介質(zhì)，促使殼內(nèi)相互嚙合的2個(gè)(或多個(gè))齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的液壓元件，多用于高速低載場(chǎng)合[1]。由于與齒輪泵工作原理相反，結(jié)構(gòu)基本一致[2]，所以針對(duì)齒輪馬達(dá)的研究多歸結(jié)為齒輪泵研究[3-7]，單獨(dú)研究相對(duì)較少[2,8]， 尤其對(duì)齒輪馬達(dá)的制動(dòng)性能研究更少，其中，該制動(dòng)主要由關(guān)閉齒輪馬達(dá)的進(jìn)出油路來實(shí)現(xiàn)，為裝運(yùn)、起揚(yáng)等機(jī)械所必需。目前，該制動(dòng)性能基本處于“制動(dòng)后因馬達(dá)內(nèi)泄漏會(huì)導(dǎo)致齒輪副緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)”的定性認(rèn)識(shí)上。鑒于此，擬從制動(dòng)后齒輪副嚙合過程出發(fā)，定量分析馬達(dá)內(nèi)密閉介質(zhì)的液壓制動(dòng)機(jī)理，并就制動(dòng)性能最大化提出相應(yīng)的措施。

1 齒輪馬達(dá)制動(dòng)后的嚙合過程

由于制動(dòng)后的負(fù)載驅(qū)動(dòng)，齒輪副會(huì)按負(fù)載轉(zhuǎn)矩方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)。圖1描述了以輸出齒輪的齒頂點(diǎn)剛進(jìn)入嚙合時(shí)為起始位置的一個(gè)嚙合過程[9]。其中，o1，o2為同尺寸輸出、空轉(zhuǎn)齒輪的中心；“工”字形點(diǎn)劃線表示矩形對(duì)稱卸荷槽輪廓；N為理論嚙合線端點(diǎn)；n，c為嚙合點(diǎn)、側(cè)隙點(diǎn)；n′，n″為雙齒嚙合區(qū)的另一嚙合點(diǎn)。

圖1a～圖1d先后表示o2齒頂點(diǎn)n、節(jié)點(diǎn)c,o1齒頂點(diǎn)n′，o2另一齒頂點(diǎn)n″ 進(jìn)入嚙合時(shí)的幾何位置。圖1b下卸荷槽的對(duì)稱輪廓分別過n，n′，為最小困油位置[10]。

圖1a～圖1c、圖1c～圖1d為雙齒、單齒嚙合區(qū)，由此構(gòu)成了制動(dòng)后的注入、困油、釋放的3個(gè)密閉腔。

設(shè)Nn的連線長(zhǎng)度為s，圖1a～圖1d對(duì)應(yīng)的s為s1～s4。則，由齒輪副傳動(dòng)的幾何關(guān)系，知：

圖1 齒輪馬達(dá)制動(dòng)后的一個(gè)嚙合過程

(1)

no1，no2的連線長(zhǎng)度rn1，rn2為：

(2)

(3)

設(shè):

(4)

式(1)～式(4)中，ra，rb為頂、基圓半徑，pb為基節(jié)，L為理論嚙合線的長(zhǎng)度。

2 齒輪馬達(dá)制動(dòng)后的液壓轉(zhuǎn)矩

由于制動(dòng)后負(fù)載的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速很緩慢，則困油腔內(nèi)的介質(zhì)壓力p(s)先、后分別與注入腔、釋放腔內(nèi)的介質(zhì)壓力pi(s)，po(s)相等，即：

(5)

由液壓介質(zhì)分別作用在o1，o2上的制動(dòng)轉(zhuǎn)矩Moil-1，Moil-2為[1]：

(6)

作用在o1上的總液壓制動(dòng)轉(zhuǎn)矩Moil為：

Moil(s)=Moil-1+Moil-2=b[ki×(pi-p)+

ko×(p-po)]

(7)

設(shè)扣除摩擦等制動(dòng)分項(xiàng)外的剩余負(fù)載轉(zhuǎn)矩為Mload，由Moil(s)=Mload，得：

pi(s)-po(s)=Mload/[bkio(s)]

(8)

其中，

(9)

式中，b為齒寬；q為馬達(dá)排量；r′為節(jié)圓半徑；kio為關(guān)于嚙合點(diǎn)位置的變量。

3 制動(dòng)后負(fù)載的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速

在注入側(cè)、釋放側(cè)的兩密閉腔內(nèi)，如以壓縮為正，膨脹為負(fù)，則兩側(cè)密閉腔內(nèi)介質(zhì)的容積變化率dVi/dt和dVo/dt。理論推導(dǎo)后為：

dVi/dt(s)=-dVo/dt(s)=ωload×[bkio(s)]

(10)

式中，ωload為Mload的驅(qū)動(dòng)角速度。

由于ωload很緩慢，所以注入側(cè)、釋放側(cè)密閉腔內(nèi)各流量總能達(dá)成平衡，即：

dVi/dt(s)-QR-QZ=0

dVo/dt(s)+QR+QZ=0

(11)

式中，QR和QZ為注入介質(zhì)通過o1，o2兩齒頂間隙和兩端軸向間隙泄漏到釋放側(cè)中的流量。

由于ωload很緩慢，齒頂間隙cR、軸向間隙cZ內(nèi)的剪切流量非常小，故只存在壓差流量，所以由矩形平行平板縫隙流量計(jì)算方法[11]，得：

(12)

式中，bZ和lZ為圖1b所定義的卸荷槽中間半密封區(qū)域的寬度和長(zhǎng)度；μ為介質(zhì)黏度；lR為齒頂徑向密封總長(zhǎng)度=齒頂厚度×密封齒數(shù)；α′為嚙合角；rf為基圓半徑；qleak為“pi-po=1 Pa”即單位壓差下的馬達(dá)內(nèi)泄漏。

將式(8)、式(10)代入式(12)中，得制動(dòng)后Mload=1 N·m，即單位負(fù)載下的驅(qū)動(dòng)角速度ωunit和單位負(fù)載下的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速nunit為:

(13)

4 齒輪馬達(dá)制動(dòng)性能的最大化措施

例取模數(shù)m=3 mm，齒數(shù)z=14，頂高系數(shù)h=1，變位系數(shù)x=0.178，頂隙系數(shù)0.25，壓力角α=20°，齒頂間隙cR=0.08 mm，軸向間隙cZ=0.06 mm，介質(zhì)黏度μ=0.09 Pa·s，馬達(dá)排量q=9×10-6m3/r，齒側(cè)間隙0.2 mm，齒頂徑向密封齒數(shù)9。計(jì)算得嚙合角α′=24°，重合度ε=1.36，寬徑比φ=齒寬/節(jié)圓直徑=0.28，則1個(gè)嚙合過程中kio和nunit的變化情況，如圖2所示。

由圖2知，min(kio)=123.3 mm2和max(nunit)=7.55 r·N·m·min-1發(fā)生在最小困油位置即s=s2處；max(kio)=142.9 mm2和min(nunit)=5.65 r·N·m·min-1發(fā)生在節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)。為達(dá)成nunit(s2)最小化下的制動(dòng)性能最大化，總希望kio(s2)最大化。

圖2 kio和nunit隨嚙合點(diǎn)位置的變化曲線

為此，構(gòu)建出對(duì)應(yīng)于制動(dòng)性能最大化措施下ωunit的最小化模型：

(14)

式中，X—— 齒形參數(shù)組

gii(X) —— 約束函數(shù)組[12]

一組優(yōu)化后的X=[4,14,0.8,0.023]T，對(duì)應(yīng)的嚙合角α′=21.26°，重合度ε=1.28，寬徑比φ=0.16；優(yōu)化前后單位負(fù)載下的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速，如圖3所示。此時(shí)，max(nunit) =4.07，降幅達(dá)46.1%；min(nunit)=2.80，降幅達(dá)31.2%，即制動(dòng)性能提高了31.2%～46.1%，且φ，h越小，軸向、徑向的泄漏越少。

圖3 單位負(fù)載下驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速的優(yōu)化前后對(duì)比

5 結(jié)論

(1) 嚙合點(diǎn)的位置不同，制動(dòng)后負(fù)載驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速也不同，其中，最小困油位置處的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速最高，節(jié)點(diǎn)嚙合處的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速最低；

(2) 齒形參數(shù)對(duì)制動(dòng)后負(fù)載驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速的影響很大，案例優(yōu)化前后的制動(dòng)性能提高了31.2%～46.1%;

(3) 負(fù)載轉(zhuǎn)矩與馬達(dá)內(nèi)客觀存在的泄漏途徑為驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的外因與內(nèi)因，齒輪較小的寬徑比和齒頂高系數(shù)能有效控制馬達(dá)內(nèi)泄漏。