和式極限的一致等價替換定理

王德榮， 黃永忠， 邵 琨

(華中科技大學 數學與統計學院，武漢 430074)

1 引 言

2 和式極限的相關定理及應用

|βkn/αkn-1|<ε(k=1，2，…，n)，

則稱αkn與βkn在n→∞時關于k=1，2，…，n為一致等價的.簡稱αkn與βkn關于k一致等價，也稱αkn的一致等價量為βkn.

由定義1可直接得到以下兩個引理，用于判別一致等價性.

定理2若f(x)在[0，1)上有m階導數，且

f(0)=f′(0)=…=f(m-1)(0)=0，f(m)(0)=c≠0，

證x∈(0,1)時，利用Taylor公式

注 參考文獻[3-4]中僅考慮到α,β為正整數的情形，定理2給出的是更一般的結論.

例1計算以下和式極限.

解(i)令f(x)=x-sinx，則

f(0)=f′(0)=f″(0)=0，f?(0)=1，

因此

應用定理1與定理3計算以下極限.

錢泰吉(1791—1863)《曝書雜記》：“余昔有明初抄本，即《解題》所載本”。可見宋末新出現的這個本子在明初尚有鈔本，且至少流傳到清錢泰吉(1791—1863)之世。

3 和式極限的收斂階

以下以命題的形式給出一些和式極限的收斂階.

(i)若β>-1，

(ii)若β=-1，

(iii)若β<-1，

當α>-1時，

利用定理1可得

而α=-1時，

3 結 論

給出了求和式極限的一致等價替換原理，得到了極限

致謝作者非常感謝參考文獻[2-4]對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.