建模與仿真課程中對模型后處理及其二次建模的教學必要性與方法探討

周 軍 錢惠敏

（河海大學能源與電氣學院自動化系，江蘇 南京211100）

0 引言

自動化專業建模與仿真課程教學是以機理建模方法與步驟為中心的[1-5]。教學內容與方式固然有面向實際具體形象，教師易解，學生易學的一面。但缺乏對原始模型后處理技術與方法的說明，更鮮見從原始模型獲取二次模型探討，或將這幾方面分開講解。當學生進入信號與系統、自動控制原理、計算機控制系統、線性系統理論等專業課時[6-10]，依然對物理對象與數學模型關系有陌生感。原因是：建模與仿真課程中以機理建模時，對象要素與模型形式的關系是明確的。但專業基礎課數學模型一般并非原始模型，而是經數學加工后的標準二次模型，已無與對象要素的直接聯系，學生自然困惑：建模與仿真到底建立了什么模型？傳遞函數等標準二次模型又是從何而來的？

根據多年教學經驗與體會，筆者認為學生對建模與仿真課程及其后續專業課的反差感、跳躍感是由于教學中對原始模型后處理技術、二次模型導出與特性分析缺失。筆者在試卷中設計了關于模型后處理和二次建模的試題，要求學生討論諸如：基于原始模型說明控制機理與效果，二次模型和物理機理關系等。但能清晰、準確掌握原始模型與二次模型關系的學生不多于20%。這說明該部分教學缺失導致學生對建模技術與數學模型特性的理解困難。

建模與仿真課程的主要教學內容是，通過機械類、電氣類、運動類案例，建立基于機理的微分方程模型的方法與步驟，不涉及原始模型后處理，如平衡點分析、動態擬合、線性化近似等，更不涉及二次模型推導與特性解析，如模型辨識、傳遞函數、頻率特性及其參數等。因此，本文以行車垂直圓擺為例，機理建立原始模型，實施后處理，討論二次模型及其特性，以此說明建模后處理和二次模型知識點教學的必要性，對教學方式也做了討論。

1 控制系統建模的主要模型后處理技術

1.1 基于機理建模和原始模型

圖1的水平行車垂直圓擺系統忽略了摩擦力和空氣阻力，建立狀態微分方程模型。

圖1 行車垂直圓擺系統

圖中符號定義如下：M為行車質量；m為擺球質量；g為重力加速度；l為擺桿長度，無質量；F為行車外力；fh，fv為擺桿對擺球的支撐力分量；ρ，θ為行車對固定坐標位移，擺桿與行車垂直軸的夾角。

根據行車和擺球的水平方向受力，牛頓第二定律給出：

考慮擺球繞軸旋轉的切線方向，圓周運動方程為：

最后，由式（1）和（2），選擇狀態變量x1=ρ，x2=ρ˙，代數消除fh，得

其中，x=[x1，x2，x3，x4]T∈R4，且，

式（3）是非線性微分方程。F=0時的平衡點方程0=[x2ef2（xe）x4ef3（xe）]T，?t≥0。于是，平衡點為，xe=[c，0，x3e，0]T∈R4，?c∈R，x3e=kπ，k=0，±1…，對應兩組角度周期性變化的平衡點，即。也就是說，水平軌道任何點，速度為零，擺桿倒立或下垂就平衡了。

1.2 原始模型的主要后處理技術

首先，原始模型曲線擬合線性化后處理。若擺桿與上平衡點有小偏角，擺角速度慢。由三角函數性質，sinx3≈x3，cosx3≈1。代入式（3），有

A∈R4×4和B∈R4×1，即系統在上平衡點可由線性定常模型描述。又xe（t）∈N（A），rank（A）=3＜4，模型（4）的平衡點有無窮多個，與原始模型平衡點性質一致。

其次，考慮式（3）在上（下）平衡點的切線線性化。在上平衡點xeupper=[c，0，0，0]T的Jacobian陣為：

在下平衡點xelower=[c，0，π，0]T的Jacobian陣為

以下記為A（L）。若L=-（M+m）g/（Ml），A（L）=Aupper，若L=（M+m）g/（Ml），A（L）=Alower。

模型（4）的輸入矩陣是原始模型（3）的輸入部分在平衡點處賦值的結果，即

類似地，有Blower=[0M－10 （Ml）-1]T。對應上（下）平衡點的輸入矩陣是不同的。

總之，上（下）平衡點的線性化模型分別是

且xupper∈R4，xlower∈R4。

1.3 原始模型與線性化模型特性討論

線性化模型（5）和（6）中，xe=[c，0，0，0]T都是平衡點，但是式（5）的平衡點與原始模型（6）的上平衡點一致；式（6）的平衡點與原始模型（3）的下平衡點不一致。

式（5）和（6），若A（L）對應上平衡點，特征值為s1=s2=0，s3，4=±（（M+m）g/（Ml））1/2，上平衡點不穩定[11]。若A（L）對應下平衡點，s1=s2=0，s3，4=±j（（M+m）g/（Ml））1/2，下平衡點穩定與否不確定。

2 原始模型的二次模型的傳遞函數及其特性

本節舉例說明對原始模型的線性模型二次建模的必要性及其基本特性。

2.1 二次模型的傳遞函數

以圖1的水平行車位置x1=ρ為輸出觀測量，則輸出方程為

或以擺角x3=θ為輸出觀測量，則輸出方程為

這樣，模型（5）或（6）和輸出方程（7）給出的上（下）平衡點的二次模型傳遞函數為

類似地，模型（5）或（6）和式（8）給出的二次模型傳遞函數為

2.2 傳遞函數的主要特性

基于式（9）和式（10），觀察作為二次模型傳遞函數及其性質：

模型（4）是4階微分方程，C1（s）為四階傳遞函數，但C2（s）為2階傳遞函數；

模型（5）或（6）的4個特征值作為極點全部出現于C1（s），但C2（s）僅包含s3，4的兩極點。因此，C1（s）是不穩定的，而C2（s）至多臨界穩定。

模型（5）和（6）的可控性/可觀性。構造可控性矩陣，得可控性秩條件：

于是，模型在上下平衡點都是可控的。即外力F可以控制行車狀態。

其次，構造模型（5）和輸出方程（7）的可觀性矩陣。可觀性秩條件為：

線性模型在上（下）平衡點都是可觀的，即基于行車位置測量可推算狀態。

最后，構造模型（6）和輸出方程（8）的可觀性矩陣。于是，可觀性秩條件為：

線性模型在上（下）平衡點都不是可觀的，基于擺角測量無法推算狀態。

3 數值仿真與結果驗證

利用Matlab仿真驗證。對圖1系統設定：M=1kg；m=0.1 kg；g=9.8 m/s2；l=0.5 m；F=A sinωt，A=0.2，ω=0.04 rad/s；初始位置ρ（0）=0，θ（0）為[-10°，10°]的隨機值。各圖實線為原始模型行車位置（綠），速度（紅），擺角（黑）和角速度（藍），線性模型的相應狀態量為虛線，顏色含義相同。

由圖2和圖3可知，對于上（下）平衡點處的線性模型都能在一定時間范圍內準確反映原始模型的響應特性。比較而言，下平衡點的線性模型（6）對原始模型動態近似度更好，偏差較小的時間區間更長。與此相對，上平衡點的線性模型（5）只能在平衡點擺角很小，短時間內有很好近似。

圖2 上平衡點附近原模型與線性模型（5）的響應對比

圖3 下平衡點附近原模型與線性模型（6）的響應對比

圖4說明，在上平衡點附近，擺臂一開始左右擺動，之后繞軸旋轉；行車速度漸大，離開初始位置也漸遠，擺角進入穩態后周期變動；與此相對，行車位置和速度無周期性；換句話說，利用擺角測量無法確定行車位置和速度。這是上平衡點線性模型不可觀的物理原因。

圖4 上平衡點附近非線性系統的響應

圖5說明，在下平衡點附近，擺臂始終左右擺動，沒有發生繞軸旋轉；同時行車速度漸大，離初始位置漸遠。擺角曲線具周期性而行車位置與速度無周期性，即擺角速度與行車位置和速度無直接關系。這是下平衡點線性模型不可觀的物理原因。

圖5 下平衡點附近非線性系統的響應

仿真反映的模型穩定性、可控性、可觀性與行車垂直圓擺系統的物象關系一目了然。對原始模型線性化，二次模型及其特性討論，有助于學生對建模工程意義與模型數學本質的理解與認識。

4 教學方法探討

通過對行車垂直圓擺系統的機理建模、模型后處理及二次模型導出與性質討論，本文試圖明晰建模與仿真課程教學中，補充和完善模型后處理和二次模型的必要性和重要性。建議教學過程如下：

（1）基于已有建模案例補充與完善，無須使用全新案例。對后處理技術和二次建模，以滿足后續專業課程對數學模型基本要求為準，以便學生建立從工程實際到專業基礎的系統和有機的理解。

（2）模型后處理應結合復雜控制工程問題示例。就自動化專業而言，線性化和模型簡化是最起碼的知識點。

（3）二次模型應集中于后續課程的標準模型上，以便學生學習從實際中提煉理論，在各專業課建立知識點聯系與融合，強化學習效果。就控制系統建模而言，應講解線性定常微分方程或傳遞函數模型。

（4）二次模型涉及的模型概念應以形象化，工程化的感性說明為主，而非數學定義與意義闡述。比如，對穩定性、可控性、可觀性概念，并不建議在建模與仿真課程中講授，而是教師基于先驗知識，從物象和實驗角度，引導學生的物理常識的理解。

教學實踐表明，建模與仿真課程中若只講授機理建模的方法與步驟，學生可熟悉和理解機理與原始模型的關系。一旦脫離實際對象，學生依然會被抽象數學模型困惑。通過模型后處理技術和二次模型的學習，學生才有機會理解原始模型的類型，性質所蘊含的數學本質，才能體會二次模型的數學概念的工程意義，才能理解機理與數學模型的聯系與區別。本文希望能對建模與仿真課程的教學與研究有新的啟發。