介觀電路中量子糾纏的經(jīng)典對應(yīng)*

范洪義 吳澤

1)(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)材料科學(xué)與工程系,合肥 230026)

2)(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系,合肥 230026)

從量子力學(xué)誕生日起,它的經(jīng)典對應(yīng)(或類比)一直是物理學(xué)家關(guān)心的話題.本文以介觀電路量子化的框架中,帶有互感的兩個介觀電容-電感(LC)電路為例,首次討論了量子糾纏的經(jīng)典類比(或?qū)?yīng))問題.先用有序算符內(nèi)的積分理論證明其互感是產(chǎn)生量子糾纏的源頭;再推導(dǎo)出求解特征頻率的公式,就發(fā)現(xiàn)它與一個經(jīng)典系統(tǒng)的小振動頻率的表達(dá)式有相似之處,該經(jīng)典系統(tǒng)組成如下:兩個墻壁各連一個相同的彈簧,兩個彈簧之間接著一個滑動小車可以在光滑的桌面上運動,小車掛有一根單擺.用分析力學(xué)求此系統(tǒng)的小振動頻率,發(fā)現(xiàn)與上述介觀電路的特征頻率形式類似,單擺的擺動會造成小車來回振動,擺、小車和彈簧的互相牽制效應(yīng)反映了小車和擺的“糾纏”.

1 引言

覺察物理相似性是前進的因素.麥克斯韋善于從類比中悟出共性,他寫道:“為了不通過一種物理理論而獲得物理思想,我們就應(yīng)當(dāng)熟悉現(xiàn)存的物理相似性.所謂物理相似性,我認(rèn)為是在一種科學(xué)定律和一些能夠相互闡明的定律之間存在著的局部相似.” 從量子力學(xué)誕生日起,它的經(jīng)典對應(yīng)(或類比)一直是物理學(xué)家關(guān)心的話題.量子力學(xué)中的很多概念都有經(jīng)典對應(yīng)或類比,如平移、轉(zhuǎn)動和宇稱等.狄拉克認(rèn)為量子幺正變換是經(jīng)典正則變換的對應(yīng),但也有不存在經(jīng)典對應(yīng)的例子,如自旋.如麥克斯韋所說,物理類比是發(fā)展物理學(xué)的一個途徑,那么量子糾纏有沒有經(jīng)典對應(yīng)(或類比)呢?

本文將要指出:在介觀電路量子化的框架中,帶有互感的兩個介觀電容-電感(L C)回路,其互感是產(chǎn)生量子糾纏的源頭,用量子力學(xué)方法可以求出其特征頻率的公式,該公式與如下描述的經(jīng)典系統(tǒng)的小振動頻率的表達(dá)式有相似之處,可見兩者有可比擬之處.該經(jīng)典系統(tǒng)如圖1 所示,兩個墻壁之間各連一個相同的彈簧,彈簧系數(shù)是k,兩個彈簧之間接著一個可以在光滑的桌面上運動的滑動小車m1,小車掛有一根長為l的單擺,擺球質(zhì)量是m2.單擺的擺動會造成小車來回振動,擺、小車和彈簧的互相牽制,晃動效應(yīng)反映了小車和擺的“糾纏”.

圖1 帶有互感的兩個介觀電容-電感(LC)回路及經(jīng)典系統(tǒng)的小振動模型Fig.1.Two mesoscopic capacitance-inductor (LC)circuits with mutual inductance and Small vibration model of classical system.

在固態(tài)物理中,當(dāng)輸運尺度與電荷非彈性相干長度可以比擬時,電路中的量子效應(yīng)必須被計入,這種情形下的電路便稱為介觀電路.集成電路向原子尺度的趨小化刺激了電路理論的研究進入量子領(lǐng)域[1,2].歷史上,一個單電容-電感(L C)回路的狀態(tài),作為一個電路的“元胞”,被Louisell[3]在1973年量子化,他認(rèn)電荷q為正則坐標(biāo),取電流I=dq/dt乘上電感L為正則動量,p=Ldq/dt,進一步將 (q,p) 加上量子化條件,則 L C電路被視為一個量子諧振子.從那以后,很多有關(guān)介觀電路量子化的研究論文陸續(xù)發(fā)表[4-6].

本文的內(nèi)容安排如下:先指出量子糾纏存在于帶有互感m的兩個介觀電容-電感(L C)回路中,如圖1 所示.給出這個系統(tǒng)的量子化形式.然后得到系統(tǒng)哈密頓量的退糾纏算符并得到介觀電路的量子糾纏態(tài)及其本征頻率.之后我們引入彈簧約束滑動小車-單擺系統(tǒng)的微振動系統(tǒng)并同時給出其振動頻率,最終得到兩種體系相似點的類比.

2 帶有互感的兩個介觀電容-電感(L C)回路的量子化

在分析力學(xué)中,帶有互感(系數(shù)m)的兩個介觀電容-電感(L C)回路的經(jīng)典拉格朗日量為[7-9]

這里mI1I2代表兩個單回路中的電流相互作用;l1和l2是兩個單回路的電感,在無漏磁情形下,0＜m ＜取q1,q2為正則坐標(biāo),他們的共軛量為

相應(yīng)的哈密頓量是

其中定義了

將qi,pi作為共 軛對進 行正則 量子化 為算符加上量子化條件是哈密頓算符.是引起量子糾纏的項.為什么如此說呢? 因為根據(jù)文獻可知[10,11],此項會導(dǎo)致雙模壓縮態(tài)的產(chǎn)生,非簡并參量放大器輸出的雙模壓縮態(tài)的信號模和閑置模是糾纏在一起的.

3 哈密頓量 H的退糾纏算符U

為了在理論上化去含的耦合項,本文試圖找到一個幺正算符U,將對角化[12,13].采用坐標(biāo)表象 |qi〉,記U為

其中,u是一個待定的 2×2 矩陣,由對角化的要求決定.方程(7)明顯地體現(xiàn)了經(jīng)典矩陣u映射為Hilbert 空間中的量子幺正算符U.用(6)式和(7)式得到的變換性質(zhì)

轉(zhuǎn)到動量表象,用其完備性[14-16]

(這里重復(fù)指標(biāo)暗示求和)得到U的動量表示:

于是就得到

假設(shè)u的形式是

這里H,E,G是待定的,則

在U?變換下,

這意味著退糾纏,聯(lián)立H-EG=1可知

將(21)式代入(17)式可以導(dǎo)出

(21)式和(22)式聯(lián)立給出

此方程的通解是

不失一般性,(24)式中取負(fù)號,并令

于是相應(yīng)的退糾纏算符為

4 介觀電路的量子糾纏態(tài)

用有序算符內(nèi)的積分理論及雙模坐標(biāo)本征態(tài)的Fock 表象[17-19]

對U的表達(dá)式積分得到

其中

可見U|00〉是一個雙模壓縮態(tài)

同時它也是一個糾纏態(tài).可見互感的存在導(dǎo)致量子糾纏.該結(jié)果表示的是兩個介觀回路處于糾纏態(tài),注意到當(dāng)前是在雙模坐標(biāo)表象下表示出來,而此處的廣義坐標(biāo)q1,q2對應(yīng)兩個介觀回路的電容各自攜帶的電量.這就意味著測量其中一個回路電容上的電量后,另外一個回路的電容電量也會塌縮到某個特定值上.當(dāng)然如果換成動量表象(對應(yīng)兩個回路中各自的電流),也依然有糾纏的特性.

5 帶互感的兩個介觀電容-電感(L C)電路的特征頻率

用(33)式算出

于是(33)式變成

再用A=1-m2/(l1l2),可見

或

這是可以用實驗驗證的.

6 彈簧約束滑動小車-單擺系統(tǒng)的微振動頻率

本節(jié)討論自由滑動小車-單擺系統(tǒng)的微振動頻率.從分析力學(xué)觀點出發(fā),可以根據(jù)擺線偏離豎直線的角度θ以及對滑塊的坐標(biāo)x寫出系統(tǒng)的動能與勢能.其中動能為

其中第一項是滑動小車動能,第二項是擺球動能,反映了擺球同時參與滑動和擺動的速度合成規(guī)則,即三角形余弦定理,

勢能是

從L=T -V以及

導(dǎo)出動力學(xué)方程

在小振動時,cosθ ≈1,sinθ ≈θ,故(46)式和(47)式分別約化為

晃動過程中,小車與擺有相同的頻率,故可令

代入(50)式和(51)式得到

其系數(shù)行列式為零才有非平庸解,即

也就是

由此解出

所以彈簧約束滑動小車-單擺系統(tǒng)的微振動頻率是

7 量子糾纏的經(jīng)典類比

將介觀電路的本征頻率(41)式改寫為

再和上述力學(xué)系統(tǒng)的頻率(59)式作比較,就可得到如下的對應(yīng):

于是找到了一個鮮明的例子,即量子糾纏可以有經(jīng)典力學(xué)模擬或?qū)?yīng).我們期望有更多的例子出現(xiàn).

8 結(jié)論

本文首次討論了量子糾纏有沒有經(jīng)典類比(或?qū)?yīng))的問題,指出在介觀電路量子化的框架中,帶有互感的兩個介觀電容-電感 (LC)電路與兩個彈簧之間夾一個小滑車在光滑的地面上附帶一個單擺的運動可比擬.先用有序算符內(nèi)的積分理論證明第一個系統(tǒng)的互感是產(chǎn)生量子糾纏的源頭,再推導(dǎo)出求其特征頻率的公式,就發(fā)現(xiàn)它與第二個系統(tǒng)的小振動頻率公式類似.第二個系統(tǒng)中單擺的擺動會造成小車來回振動,擺、小車和彈簧的互相牽制效應(yīng)反映了小車和擺的“糾纏”.從兩個系統(tǒng)的振動頻率對比中發(fā)現(xiàn)有類似,這是嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果,而不是哲學(xué)觀點的邏輯推理.時至今日,我們還不能武斷有量子糾纏的系統(tǒng)就不存在可以類比的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng),真理是在探索討論中漸漸顯露的,希望本文嚴(yán)密正確的推導(dǎo)能起拋磚引玉的作用.