基于半圓柱形峽谷對SH波散射的經典模型退化驗證分析＊

屈恩相，齊 輝，郭 晶，呂 春，王 麗，王洪志，郭國梁

（1.齊齊哈爾大學建筑與土木工程學院，黑龍江 齊齊哈爾161006；2.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

彈性波動理論研究中的對SH波的散射問題一直是研究的熱點，在近幾十年的科研人員的不懈努力下取得豐富的成果[1-11]。這將進一步推動地震工程、巖土工程等領域的向前發展。研究分析的方法包括解析法和數值法。解析法包括波函數展開法、復變函數法等，數值法包括有限元法、邊界元法等。那么在二維彈性波入射含凹陷地形散射問題時，又可以分為穩態和瞬態問題。兩者的區別可以簡單地理解為所分析的問題是否與時間量有關。穩態是忽略時間項的影響，而瞬態則是可以研究某一時刻的狀態。根據介質屬性可以分為各向同性和各向異性。兩者的區別在于物理性質是否與方向相關。一些學者[3-11]在含半圓形凹陷地形的經典模型基礎上，研究了單個或多個半圓形凹陷地形的穩態與瞬態問題、材料屬性為各向同性與各向異性等不同方面。本文將選取部分文獻的部分內容用以說明模型退化方法的有效性和價值性。

1 半圓柱形峽谷經典模型

文獻[1]研究的半圓柱形峽谷的二維平面模型如圖1所示。可以描述成一個半空間（y＞0），從這個半空間中移出了半個半徑為a的圓柱體而形成一個峽谷。TRIFUNAC在文章中作出一些假設，半空間是彈性的、各向同性和均勻的。它的材料特性由硬度μ、剪切波速度β和入射波的入射角度γ。該理論模型建立兩種坐標系，第一種直角坐標系是以半圓形的圓心為中心，x軸指向右側為正向，y軸指向下側為正向。另一種是極坐標系是以徑向距離r和角度θ來建立。該文研究了半圓柱形峽谷對平面SH波的散射和衍射問題，定性地解釋1971-02-09加利福尼亞圣費爾南多地震期間在帕科馬峽谷邊緣附近記錄了帕科馬大壩加速度。所研究的模型可以精確地以封閉形式求解，采用解析法中波函數展開法對經典模型進行研究用以檢驗數值法中有限差分或有限元法近似方法的準確性。

圖1 半空間半圓柱峽谷的理論模型

2 經典模型部分算例分析

本文提取TRIFUNAC文章中的部分算例來進行闡述研究，圖2中的3個圖是其他參考文獻模型退化的主要依據。其中λ=βT是入射波的波長，T=2π/ω。定義另一個無量綱參數η=2a/λ，其中η是峽谷a的半徑與入射波半波長的比值，但也可以認為是無量綱頻率，因為η=ωa/πβ或者無量綱波數η=ka/π。圖中橫坐標表示無量綱參數x/a，其中x/a=0對應峽谷中心，x/a=±1對應峽谷邊緣。縱坐標表示入射平面SH波的表面位移振幅。圖中分別討論了η=0.25、η=0.75、η=1.25對應的不同SH波的入射角γ=0°、γ=30°、γ=60°、γ=90°的位移幅值關系，從而揭示一般規律性。從文獻[1]中的部分算例可知，η=0.25時，γ從0°增大90°，不難看出x/a＜﹣1時，表面位移變化復雜振幅增加，x/a＞﹣1時，振幅減小并趨于平緩。表面位移由于峽谷的存在，對SH波產生散射和繞射而影響的。當入射角γ接近90°時，x/a=﹣1處峽谷左邊緣起著阻擋作用，相當一部分能量返回來時的方向。η=0.75時，γ為0°，圖形基本以x/a=0呈現左右對稱。其他角度入射，位移幅值震蕩變得更為復雜。η=1.25時震蕩規律呈現無序型，但是基本能夠看出x/a接近﹣1時，位移幅值達到最大值，然后出現震蕩衰減。

圖2 文獻[1]中位移幅值隨無量綱頻率η的變化

3 模型退化分析

文獻[3]的作者對各向同性、均勻線彈性介質的任意形凹陷地形對SH波的散射問題進行研究，用保角映射函數將任意形狀凹陷半平面映射在一個完整的半平面上。通過構造入射波、反射波、散射波的波場表達式，寫出二維凹陷地形總波場。將其代入滿足邊界應力為零的條件中，用Hermite函數展開，列出矩陣方程。截取有限項使得方程解收斂。得到的最后模型算例結果與經典模型文獻[1]一致，說明復變函數法和保角映射方法應用到該理論模型中具有正確性。在文獻[3]的基礎上，文獻[4]研究到各向異性介質中來進一步推廣該方法的適用性。文獻[3]與[4]的區別在于應力分量發生變化，由胡克定律可知各向同性均質彈性介質，應力分量的關系是其中μ為介質的彈性常數。各向異性均質彈性介質應力分量的關其中C55、C45、C44為介質的彈性常數。文獻[4]中相關波函數的構造及公式推導也將發生變化。文獻[4]中進行模型退化，這里令C45/C55=0，C44/C55=1，于是將各向異性彈性介質轉為各向同性彈性介質。

在模型算例中可以發現，退化后的算例分析與文獻[1]一致，這又進一步地推動了研究課題向前發展。將模型退化到經典理論模型中更說明了驗證方法起到關鍵作用。文獻[10]分析了半圓形凹陷地形內部含有裂紋的情況，該模型的提出對研究采油打井、開發煤礦、抗震抗爆等方面提供堅實的理論基礎。該問題的提出是基于經典理論模型基礎上而建立的，同樣需要進行模型退化來證實理論推導、波函數的構造及邊界條件的分析是否正確。文獻[10]采用無量綱化分析。取凹陷的半徑為1，裂紋的長度為0，這就是將所分析的問題退化為只有凹陷作用而無裂紋的情況。同樣分析了入射角為0°、30°、60°和90°的情況。研究不同入射波數η為0.25、0.75、1.25的情況下，地表位移幅值的變化情況。得到的結果與文獻[1]一致，說明該研究方法的有效性。

基于正確的前提下，又進一步地研究了直線裂紋的長度、地表與裂紋的中點距離以及選用幾個不同波數和幾個不同的入射角度對地表位移的影響；得出裂紋的存在而對地表位移產生了阻擋作用，進而使得凹陷區域震動減弱，而地表其余區域震動得到加強等有價值性結論。

文獻[3][4][10]中位移幅值隨無量綱頻率η的變化如圖3所示。

圖3 文獻[3][4][10]中位移幅值隨無量綱頻率η的變化

4 結語

在研究彈性波的衍射與動應力集中問題時，模型退化將成為一種有效的驗證方法。基于模型退化后的正確性，不難看出可以將研究課題進一步拓展。不僅僅可以從凹陷存在的類別出發，還可以從缺陷存在的形式考慮。比如說增加凸起地形、孔洞、夾雜、襯砌或者是相互間若干種組合作用，還可以從材料的屬性出發比如說各向同性、各向異性、均勻的、非均勻等進行延伸來分析其對SH波的散射影響。總之，這些被考慮問題的存在會增加研究問題的復雜性，也更能去解決一些實際問題。但是在此前提的基礎上，需要驗證其正確性。那么就需要對模型進行退化分析去驗證所討論問題。對于驗證方面，也可以用不同研究學者所采用不同的處理方法進行相互驗證。比如解析法與數值法討論相同問題進行對比驗證。科學的驗證方法研究需要每位科研人員不斷努力創新，以理論為基礎解決更多有價值性工程背景的問題。