GPS重復基線粗差探測方法比較及實例分析

甄 龍，周 楠，王 嵐，袁小勇

（1.中國電力工程顧問集團中南電力設計院有限公司，湖北 武漢 430071；2.國網新疆電力有限公司建設分公司，新疆 烏魯木齊 830063）

1 常用的幾種選權迭代法

2）丹麥法

式中，C是根據經驗模型而設定調和參數。丹麥法也是以最小二乘平差準則為基準，而后通過對第一次的殘差進行逐次迭代，來實現觀測數據中粗差的檢驗。

3）Huber 函數法

2 等價方差-協方差穩健估計方法

2.1 等價方差-協方差穩健估計函數模型

1）模型的建立。對于M估計而言[2]，所構造的ρ函數應滿足:

式中，k0的取值一般在1.5～3.0 之間，而

顯然，該函數模型具有如下特點:

1）該模型是隨機模型的一種體現，它實際上是將方差進行了膨脹處理。

分別于種植體植入后即刻及術后第12周，由同一測量者用OstellTM ISQ種植體穩定性測量儀(BiolinScientifc，瑞典)對種植體的穩定性進行測量，該儀器可將測量結果自動換算為ISQ值(0～100)，分別計為ISQ0(即刻)、ISQ12(12周)；每個種植體各測量兩次，取平均值。通過ISQ值比較種植體穩定性變化，分析種植體穩定性與頜骨HU值、性別、種植體型號間的差異。

2）該模型所構造的等價方差-協方差矩陣是具有嚴格對稱性的。

3）在處理獨立觀測值時，該模型與等價權函數模型計算所得到的結果是相同的；在處理相關觀測值時，該模型確保了相關系數大小不變，且所建立的模型與實際情況一致。

2.2 等價方差-協方差調整因子

2.3 相關等價方差-協方差因子

2.4 標稱精度改正權相關穩健估計

在保持相關系數ρ不變的條件下

2.5 雙因子方差膨脹模型

將粗差歸為隨機模型時，粗差觀測量的先驗方差δii2與其實際方差δ^ii2相比較，存在著很大的差異，此時即表現為方差膨脹模型。那么我們可以通過對含粗差觀測值的方差進行擴大，從而控制異常觀測值的影響[5]。因此提出改進后的穩健最小二乘估計方法，它是在等價方差-協方差陣的基礎上建立起來的，可以有效避免等價權穩健最小二乘估計的缺陷。其實質是通過逐次迭代平差計算，并根據所得結果不斷將觀測值的方差-協方差進行膨脹，直到使異常觀測量的先驗方差與實際方差相符合，從而達到削弱粗差影響的目的。

觀測量的協方差矩陣作為評定觀測量精度的指標，能夠非常客觀地反映出所有觀測量的離散程度[6]。若觀測值的精度比較高，且可靠性也較好，則其對應的方差也較小，此時賦予該觀測量的權重將大，反之則方差大，對應參數估計權重小。

對含粗差觀測值的方差進行不斷擴大，可以降低其在參數估計中所帶來的影響。但由于相關觀測量是一個整體，因此僅考慮對方差元素進行膨脹是不夠的，還應調整協方差元素。基于各元素之間是相互關聯的，應該保證在對方差和協方差進行膨脹之后，其原有的相關系數保持不變。

2.6 異常觀測方差膨脹模型

2）方差膨脹模型的相關觀測穩健估計算法特點

①上述模型中的方差膨脹因子函數是連續不間斷的，它可以很好地控制含粗差觀測值所帶來的影響。因為方差膨脹函數的取值一般不會為∞，故基于該模型求解時不會刪除任何異常觀測信息。同時，當方差膨脹系數非常大時，異常觀測信息對參數估值將散失作用[7]。

②該模型構造的等價協方差矩陣沒有改變觀測向量原來就具有的相關性，而且還保證了方差-協方差的對稱性。

2.7 方差膨脹因子函數

在構造方差膨脹因子rii時，若觀測值誤差大于所設定的某種限差，此時相應的方差應該被膨脹。否則令rii取值為1，即是保持原有方差固定不變[8]。所以，rii的構造形式如下:

對于M估計的選權迭代法，當進行k次迭代時，將方差膨脹因子rii取值如下:

上式類似于IGGIII 權函數的倒數，但為了保證方差膨脹因子更加平穩化，去掉了降權因子上的平方，即有上式中:

3 程序模塊算法

基于等價方差-協方差的穩健估計方法與巴爾達數據探測有所不同，其需要再次使用上一次平差的成果，而且對于存在粗差的觀測值進行降權而不是刪除。首先在處理權陣時，首次平差采用基線文件中提供的方差陣來計算，之后就使用平差所得的方差陣和單位權中誤差來計算。

平差過后，需要計算出改正數的方差陣，然后根據公式，計算出新的方差陣，最后再進行迭代。其關鍵代碼如下:

4 基于重復基線時的粗差探測實例分析與比較

結合某高速鐵路的GPS 控制網，選取其中一部分，共8 個控制點，20 條基線，其中0360P21 是已知點，原始基線數據如表1 所示。

表1 GPS 向量網各基線向量的觀測值

直接對上述不含任何粗差的觀測數據進行最小二乘平差計算，各基線向量的改正數結果如表2 所示。

表2 無粗差時各基線向量分量的改正數

現將重復基線CPI1066-0361P21 所在2 個時段觀測值的Y方向上均分別加入0.05 m 的粗差，然后分別基于選權迭代法和改進的穩健最小二乘估計法利用已編程序進行計算，其探測的結果如表3～7 所示。

表3 改進的穩健最小二乘估計法粗差探測結果

表4 殘差絕對值之和最小法粗差探測結果

表5 丹麥法粗差探測結果

表6 Huber 函數法粗差探測結果

表7 相關性的IGG 法粗差探測結果

根據表3～7 中的粗差探測結果可知:

1）當重復基線上含有粗差時，殘差絕對值之和最小法雖然探測到了含粗差的基線向量，但其殘差值與實際加入的粗差值相差非常大，均相差近13 cm，同時把原本不含粗差的其余12 條基線向量也認定為含有粗差，沒能避免粗差的掩蓋和轉移現象，探測效果非常差。

2）相關性IGG 法沒有探測到超限的基線觀測值，且在基線向量的Y方向上，其余原本不含粗差的基線向量改正數均受到不同程度的污染，基本失去抵抗粗差能力。

3）在此次粗差探測中，改進的穩健最小二乘估計法不僅成功定位到了含有粗差基線向量所在的位置，而且對粗差定值也非常準確。然而丹麥法，huber 函數法也均較為準確的探測到了粗差所在位置，但其平差所得單位權中誤差均不同程度地大于改進后的單位權中誤差，即平差精度不如改進后方法的精度高。

綜上，基于重復基線時，改進后的方法無論從定位，定值還是平差精度等方面均優于選權迭代法中的其他幾種方法。