探索多種方法求15°角的三角函數值

陳 城

（湖北黃岡應急管理職業技術學院 湖北·黃岡 438021）

1 求15 °角的正弦值的構思

初中學習過銳角三角函數的知識、三角形有關知識，故可以構造平面圖形利用平面幾何知識及方程的知識求解。另外運用高中階段差角公式及倍角公式、正弦定理、余弦定理的知識也可以求解。

2 構造平面圖形用初中平面幾何知識求解

2.1 方法一：構造一個銳角是15°的直角三角形做輔助線求解[1]

圖1

圖2

2.2 方法二：構造一個銳角是30°的直角三角形做輔助線求解

3 利用差角公式及倍角公式求解

3.1 方法三：差角公式求解

3.2 方法四：倍角公式求解

4 利用正弦定理及余弦定理求解

4.1 方法五：構造等腰直角三角形做輔助線結合正弦定理求解

圖3

圖4

4.2 方法六：構造頂角是150°的等腰三角形結合余弦定理求解

5 小結

求解15°角的三角函數值，構造的圖形，其內角均是15°的倍數，需要巧做輔助線，前面兩種方法用初中平面幾何知識可以解答，主要是利用三角形的性質巧做輔助線還要利用銳角三角函數的定義求解。第三、第四種方法直角用差角公式及備角公式，簡潔明了。第五、第六種方法雖然運用了正弦、余弦定理，但也借助了平面幾何知識巧構三角形進行且還要利用同角三角函數的基本關系求解。構造圖形求解具有形象直觀性。可將這個課題留給學生探究，一是能夠鍛煉學生的發散性思維；二是能夠激發其學習數學的興趣。