基于多目標優化的圓錐動靜壓軸承特性分析*

郭 紅 蔣雪晴 張澤斌

(鄭州大學機械與動力工程學院 河南鄭州 450001)

圓錐動靜壓軸承能夠同時承受徑向力和軸向力，且相對于向心軸承和平面推力軸承的組合，具有結構緊湊、穩定性好及易于調整等優點，在高速精密轉子系統中應用越來越廣泛。但高速圓錐軸承存在摩擦功耗高、油膜溫升劇烈等問題，設計階段需要特別注意。方曉麗等[1]用有限元法計算了具有深淺腔的圓錐動靜壓軸承靜動特性，并驗證了這種軸承形式具有良好的工作穩定性。RANA等[2]在不同的半錐角下，采用有限元和伽遼金方法，在迭代中應用適當的邊界條件，求解了雷諾方程。GORASSO[3]運用遺傳算法和人工蜂群算法，對軸承進行多目標優化，大大降低了軸承流量和功耗。岑少起等[4-5]建立了有限元-優化迭代的計算模型，以承載力最大作為優化目標，對淺腔深度、面積、封油邊尺寸進行了優化計算，取得了較好的效果。劉建中等[6]用三維的方法研究圓錐動靜壓軸承，提出了動特性參數的測定原理和方法并進行實驗研究，測得結果精度較高。

以上針對圓錐動靜壓軸承的研究多限于單一工況，針對圓錐動靜壓軸承在實際應用中多工況并存的問題，有必要建立多目標優化模型。本文作者在圓錐動靜壓軸承油膜靜、動特性計算基礎上，根據實際要求按照重要程度對各優化目標設定不同的加權系數，建立了同時考慮單位承載力下功耗、平均溫升和失穩轉速的多目標優化模型，采用有限元和復合形法聯立求解并對優化結果進行分析。

1 圓錐動靜壓軸承數學模型

1.1 控制方程和邊界條件

圖1所示為圓錐動靜壓軸承結構示意圖，軸瓦內壁均勻開設4個油腔，每個油腔包含深腔和淺腔，深腔起靜壓作用，通過小孔節流供油；淺腔和封油邊起動壓作用。

圖1 圓錐動靜壓軸承結構示意Fig 1 Structure of conical hybrid bearing

假設潤滑油為不可壓縮流體，流動為層流，不計軸徑軸瓦的彈性變形和軸線傾斜，取量綱一化參數如下：

則量綱一化動態Reynolds方程為

(1)

式中：BM=μ0Ωd2/(psc2)；a為半錐角；r為圓錐軸承展開后的扇形極徑；l為軸承母線長度；c為半徑間隙；d為軸承大端直徑；h為油膜厚度；p為油膜壓力；ps為供油壓力；ε為偏心率；e為偏心距；ε0為靜平衡時偏心率；Ω為軸徑角速度；Φ為圓錐截面上的角坐標。

量綱一化油膜厚度為

(2)

圖2所示為圓錐軸承邊界條件。油膜壓力邊界條件為

圖2 圓錐軸承邊界條件Fig 2 Conical bearing boundary conditions

(3)

深腔流量平衡方程為

(4)

式中：pr,m為第m個深腔壓力；Γ1為軸承端面邊界；Γ2為第m個深腔邊界；Γ3為油膜破裂邊邊界；Rj,m為第m個深腔節流器液阻;qout、qin、qcout、qcin分別為第m個深腔4個方向的流入、流出流量參數。

1.2 靜態特性參數

圓錐動靜壓軸承有x，y，z3個方向的油膜力：

(5)

徑向承載力：

(6)

摩擦功耗為

(7)

端泄流量：

(8)

泵功耗：

(9)

平均溫升：

(10)

式中：μ為潤滑油的動力黏度；Cv為潤滑油比熱容；ρ為潤滑油密度。

1.3 動態特性和穩定性參數

圓錐動靜壓軸承油膜有kij,bij(i，j=x，y，z)共18個剛度系數和阻尼系數，采用小擾動法求解動態Reynolds方程得到。將圓錐軸承-轉子系統簡化為圖3所示的單質量剛性對稱轉子系統，量綱一化動力學方程為

圖3 圓錐動靜壓軸承-轉子系統Fig 3 Conical hybrid bearing-rotor system

(11)

其中系數A～K是剛度和阻尼系數的線性組合。使用失穩速度來評價系統穩定性，那么系統運動方程的特征方程可以寫成：

α0v6+α1v5+α2v4+α3v3+α4v2+α5v+α6=0

(12)

其中αi(i=0～6)為特征方程的系數，可用轉子質量、油膜剛度、阻尼系數表示。根據Routh-Hurwitz準則，系統達到平衡狀態的充要條件是：

(13)

通過迭代計算，直到滿足式(13)時求解出失穩轉速。具體求解方法可參考文獻[7]。

2 圓錐動靜壓軸承多目標優化

圓錐動靜壓軸承多用于高轉速、高精密旋轉機械裝備中，對油膜性能要求很高，在保證油膜具有一定的承載力和穩定性的同時，還需限制摩擦功耗和溫升[8-10]。在不同工況條件下，各指標權重亦不同。例如，用于精密機床的軸承，應防止溫升過高引起潤滑油變稀及軸瓦熱變形；而對于透平膨脹機組轉子系統上的軸承，由于工作轉速較高，要防止油膜震蕩引發的嚴重后果[11-13]。綜合考慮上述問題，以單位承載力下功耗最小、溫升最低及失穩轉速最高做為目標函數，將目標函數進行量級統一后，優化目標函數描述為

(14)

將目標函數進行線性規劃，轉換為單目標優化問題：

(15)

影響圓錐動靜壓軸承油膜特性的參數較多，通過計算發現，在不改變整體結構尺寸和油腔數量的前提下，淺腔包角θq(°)、封油邊寬度Z1、Z2(mm)、半錐角α(°)的變化對優化目標影響顯著，設計中取為優化參數。

優化設計變量的取值范圍：

3 計算結果及分析

3.1 結構參數及優化變量

表1所示為圓錐動靜壓軸承初始結構參數。

供油壓力為2 MPa，主軸轉速n分別取15 000、20 000 r/min對圓錐軸承進行復合形法優化[14]。其中，方案一較為均衡，ζ1、ζ2、ζ3均取值為1；方案二對目標函數2控制嚴格，ζ1、ζ2、ζ3取值分別為ζ1=1，ζ2=2，ζ3=1。有限元及復合形法優化聯立求解思路如圖4所示。

圖4 圓錐動靜壓軸承優化計算流程Fig 4 Optimization calculation flow of conical hybrid bearing

3.2 優化結果分析

表2給出了主軸轉速n=15 000 r/min，偏心率為0.4時2種優化方案和初始設計方案下各個單目標函數及多目標函數的計算結果。

由表2可知：相對于初始設計方案，2種優化方案的總優化目標和各單優化目標都有所改善，目標函數1和目標函數2得到降低，目標函數3則有所提升；同時可見，優化方案1對于目標函數1的優化幅度更大；其中目標函數1降低了43.9%，目標函數2降低了14.6%，目標函數3提升了24.3%。調整權重系數后，優化方案2對于目標函數2的優化幅度增大；其中目標函數1降低了28.4%，目標函數2降低了25.3%，目標函數3提升了10.6%。

表2 優化參數及優化結果對比

在確定優化參數的基礎上，針對不同工況下各單目標函數進行了計算和比較。

圖5所示為主軸轉速分別取15 000、20 000 r/min時，2種優化方案下平均溫升單目標函數隨偏心率的變化規律?？梢钥闯?，相較于原始方案，優化方案1中2種轉速下溫升分別平均下降了43.6%和46.6%，而優化方案2則分別平均下降了31.02%和34.4%，說明在控制溫升方面2種優化方案得到了很好的優化效果。

圖5 目標函數1(溫升最低)對比Fig 5 Comparison of objective 1(minimum temperature rise)

圖6 目標函數2(單位承載力下總功耗最小)對比Fig 6 Comparison of objective 2(minimum totalpower consumption per unit capacity)

圓錐動靜壓軸承-轉子系統的穩定性分析需要先計算9個剛度系數、9個阻尼系數，然后計算失穩轉速。表3列舉了主軸轉速n=15 000 r/min，偏心率為0.1～0.4時，主要參數的變化情況。

表3 穩定性系數對比

優化方案2中軸承淺腔包角較小，小偏心下油膜剛度較低，故穩定性劣于初始設計方案；偏心率的增大有利于增強油膜動壓效應，油膜剛度隨之增加，失穩轉速大幅上升，穩定性優于初始設計方案。由圖7可得，優化方案1和優化方案2在偏心率為0.4時，Nst分別增加了24.3%和17.3%，由此可見，相較于初始設計方案，2種優化方案下系統穩定性有所提高。

圖7 目標函數3對比Fig 7 Comparison of objective 3

4 結論

(1)結合圓錐動靜壓軸承數學模型，利用復合形法對軸承結構參數進行多目標優化，當半錐角和封油邊寬度明顯減小、淺腔包角減小時，軸承平均溫升、單位承載力下功耗得到了有效降低，失穩轉速得到提高。

(2)單位承載力下功耗、溫升及失穩轉速均衡控制的優化方案1更適用于低溫升、高轉速的工況，而對單位承載力下功耗嚴格控制的優化設計2則更適合低功耗的設計。可見，通過對各優化目標設定不同的加權系數，可實現更低溫升、更高轉速和更低功耗等設計目標。