基于MATLAB 的多連桿壓力機桿系設計系統(tǒng)研究

黃建民，仲 君，夏德琛

（揚力集團股份有限公司，江蘇 揚州 225104）

多連桿壓力機工作可靠，性能優(yōu)良，滑塊工作速度低且平穩(wěn)，能很好地滿足板料拉延成形工藝要求。因此在拉伸加工領域，多連桿壓力機應用廣泛，通過配置傳動桿系，可以靈活實現(xiàn)多種設計要求。通常這些設計要求可以歸納為以下三種問題：①滿足預定的運動規(guī)律要求；②滿足預定的連桿位置要求；③滿足預定的軌跡位置要求[1]。以往為滿足設計要求通常都是采用函數(shù)逼近法，但計算復雜，并當機構的設計參數(shù)較少時，逼近精度不高。若采用最優(yōu)化方法對機構進行設計，解析目標函數(shù)趨勢，結(jié)果精度高，但需進行大量的數(shù)學運算，一般需借助電子計算機來完成[2]。隨著計算機輔助數(shù)值解法的發(fā)展,特別是MATLAB 軟件的引入,解析綜合法已經(jīng)得到了廣泛的應用[3]。MATLAB 是Mathworks 公司于1982 年推出的一套功能強大的工程計算軟件。廣泛應用于自動控制、機械設計、流體力學和數(shù)理統(tǒng)計等工程領域，被譽為巨人肩上的工具。工程人員通過使用MATLAB 提供的工具箱，可以高效求解復雜的工程問題[4]。本文主要闡述多連桿機構設計的思路與方法，包括建立機構數(shù)學模型，使用MATLAB 優(yōu)化工具箱，編寫設計系統(tǒng)，計算所求桿長度，使壓力機滑塊在多個約束條件下滿足預定運動軌跡。

1 建立機構原理模型

圖1 為該壓力機的桿系機構簡圖，其中，P1為曲軸中心點，P2為曲柄L2與連桿L3連接點，P3為連桿L3與搖桿連接點，P4為搖桿與機身連接點，P5為搖桿與短連桿L6連接點，P6為短連桿L6與滑塊連接點。搖桿前段為L5，搖桿后段為L4，搖桿與水平方向夾角為θ4，P1與P4為機身上的兩點連接線長度L1，其與水平方向夾角為θ1。曲柄L2與水平線夾角為θ2，連桿L3與水平線夾角為θ3。搖桿后段L4與連桿L3夾角為θ5，搖桿前段L5與短連桿L6夾角為θ6，短連桿與垂直方向夾角為θ7。

圖1 機構原理圖

該多連桿為增行程機構，相比普通曲柄壓力機，在體身尺寸不變的情況下，可以用較小的曲柄偏心獲得更大的行程。壓力機要求滑塊行程220mm，滑塊距下死點90mm 時需能承受300kN 的力，滑塊距下死點60mm 時搖桿處于平行狀態(tài)。根據(jù)機身結(jié)構配置的限制，有部分參數(shù)已給出，以曲軸頸中心點P1為原點，建立笛卡爾坐標系，設各點Pn 的橫縱坐標為（Xn,Yn），滑塊中心P6橫坐標X6=-550，機身點P4橫坐標X4=250。搖桿總長為800mm 即L5+L4=800mm，曲柄長為55mm。其中機架間距L1連桿L3，搖桿后段L4均為設計變量，需要通過合理設計L1，L3與L4的長度來達到設計要求。

本案例采用MATLAB 提供的優(yōu)化工具箱中“函數(shù)模塊fmincon”來實現(xiàn)三個未知桿長的設計。該函數(shù)模塊fmincon 需建立目標函數(shù)方程及約束函數(shù)方程，兩種函數(shù)方程可以是線性與非線性的等式或不等式[5]。本案例中，目標函數(shù)為符合預定桿系軌跡德的最小化方程，約束函數(shù)為條件不等式組成的矩陣。

1.1 桿系位置方程組

分析圖1 可知，該機構由兩部分構成：曲柄L2，連桿L3和搖桿后段L4構成曲柄搖桿機構。搖桿（L4+L5），短連桿L6和滑塊P6構成擺動滑塊機構。為設計合理桿長滿足要求滑塊運動軌跡要求，需要建立所求桿與滑塊位置的關系方程。搖桿為曲柄搖桿機構的輸出桿，也是擺桿滑塊機構的輸入桿，這樣可先解析曲柄搖桿，得出搖桿位置狀態(tài)，再代入擺動滑塊機構求解滑塊位置。如圖一建立坐標系，以曲軸中心為原點，按桿組法建立方程。

曲柄搖桿機構位置方程為:

轉(zhuǎn)化為非線性超越方程：

擺動滑塊機構位置方程為：

其中（x6,y6）為P6點坐標，x6=-550，L4+L5=800，L6=250，當曲柄位置方程（2）被解出后θ4也為已知,代入（2）求得θ7和y6。

壓力機持續(xù)工作時，曲柄轉(zhuǎn)角作360°圓周運動，滑塊y 方向坐標（y6）隨曲柄角度變化而變化，為滿足行程220mm 的要求：

1.2 目標函數(shù)

本案例中，建立目標函數(shù)的最小化求解問題，計算最優(yōu)解L1，L3取得理想P5點與實際P5點距離的平方差最小值。

其中（x5r，y5r）為滑塊中心P5距下死點90mm 時桿系的實際位置，（x5i，y5i）為滑塊中心距下死點90mm 時搖桿水平應有的位置。

1.3 約束條件方程組

該機構的約束條件分為邊界約束以及功能約束。其中邊界約束包含桿長限制約束，曲柄搖桿機構構成條件的約束，功能約束包括滑塊行程約束，搖桿擺動角范圍的約束和曲軸可承受扭矩的約束。本案例中程序利用L4作循環(huán)語句來求得符合行程的L4，因此不建立滑塊行程約束方程。

1.3.1 曲柄搖桿的構成條件

根據(jù)機械原理中四桿機構的分析，列出不等式：

L1≥L2，L3≥L2，L1+L2≤L3+L4，L3+L2≤L1+L4，L4+L2≤L1+L3,

以上為曲柄搖桿存在的基本條件，L4與L2為已知不需要列函數(shù)方程。對應約束函數(shù)為：

g1（X）=L2-X1

g2（X）=L2-X2

g3（X）=L2+X2-X1-L4

g4（X）=L2+X1-X2-L4

g5（X）=L4+L2-X1-X2

1.3.2 搖桿的擺動角約束

如圖1，在滑塊受力時，桿系受力有θ5和θ6兩個壓力角，為同時限定兩個壓力角大小，搖桿的擺動角度θ4需在155°～190°之間。當L2與L3共線時可取搖桿擺動角度的最大及最小值，現(xiàn)以該條件建立方程不等式：

對應約束函數(shù)為：

1.3.3 滿足曲軸強度要求扭矩

壓力機在滑塊距下死點90°時開始拉伸，拉伸力F 為300kN。如圖2 所示，此時滑塊所受的拉伸力經(jīng)桿系傳到至曲軸上，分析曲軸受力可發(fā)現(xiàn)曲軸即受彎矩也受扭矩曲軸[1]。本案例壓力機用以深拉伸，受力工作行程大，工作時曲柄轉(zhuǎn)角距下死點角度很大，因此主要約束曲軸所受扭矩小于曲軸許用扭矩[τ]=40000Nm。壓力機工作時，曲軸扭矩Ttotal一般由理論扭矩Ti和摩擦扭矩Tf組成。理論扭矩即為滑塊受力傳遞至曲軸形成，摩擦扭矩由驅(qū)動壓力機各配合摩擦阻力形成[6]。

圖2 桿系受力傳遞

2 MATLAB 程序的實現(xiàn)

桿系長度未知的情況下，本案例滑塊行程表與曲柄轉(zhuǎn)角的對應關系并不確定，因此無論是目標函數(shù)還是約束函數(shù)都需要對整個機構位置進行解析計算后才能求解，桿系的兩組位置方程組為非線性超越方程，MATLAB 優(yōu)化工具集中另一個“函數(shù)模塊fsolve”可以求解此類問題。

2.1 建立目標函數(shù)程序

首先名為targetfun.m 的目標函數(shù)文件,設定初始條件：

建立搖桿后段的循環(huán)語句，計算出合適的L4長度使得滑塊行程為220:

建立曲柄轉(zhuǎn)角θ2共360°的循環(huán)語句，步長0.5°，調(diào)用fsolve 工具解析每一步桿系機構位置狀態(tài)：

確定上死點，下死點，行程60 的曲柄轉(zhuǎn)角：

最后建立最小化的目標方程：

2.2 建立約束函數(shù)

建立名為confun 的約束方程模塊,根據(jù)式（6）～（9）,設定初始條件：

建立搖桿后段的循環(huán)語句，計算出合適的L4長度使得滑塊行程為220:

建立曲柄轉(zhuǎn)角θ2共360°的循環(huán)語句，步長0.5°，調(diào)用fsolve 模塊解析每一步桿系機構位置狀態(tài)：

確定上死點，下死點，行程90 的曲柄轉(zhuǎn)角:

列出曲軸存在邊界條件：

g（1）=-x（1）+L2;

g（2）=-x（2）+L2;

g（3）=x（1）+L2-x（2）-L4;

g（4）=-x（1）+L2+x（2）-L4;

g（5）=-x（1）+L2-x（2）+L4;

搖桿轉(zhuǎn)角約束：

g（6）=-（pi-acos（（L1^2-（L3+L2）^2+L4^2）/（2*L1*L4））+th1）+（155/360*2*pi）;

g（7）=pi-acos（（L1^2-（L3-L2）^2+L4^2）/（2*L1*L4））+th1-（190/360*2*pi）;

最大扭矩限制約束：

g（8）=fttotal-40000;

“哦……”兩個人見我如此誠懇，一時間不知說什么好。尷尬了一會兒，服務員趕緊從腰里摸出《收銀票據(jù)》遞給我。我摘下眼鏡一看，果然是我消費的內(nèi)容，價格是43元，而且票據(jù)上還手工寫著兩個字：“未付”。

2.3 構建位置狀態(tài)模塊

調(diào)用“fsolve 模塊”結(jié)合使用桿系的狀態(tài)方程，根據(jù)式（2）建立名為“fourbarposition”的解析模塊：

function t=fourbarposition（th,th2,L2,L3,L4,L1,th1）

t=[L2*cos（th2）+L3*cos（th（1））-L4*cos（th（2））-L1*cos（th1）;

L2*sin（th2）+L3*sin（th（1））-L4*sin（th（2））-L1*sin（th1）];

3 本方案實例

3.1 設計系統(tǒng)實際使用

本案例中給定連桿和機架長度初始條件為連桿長度700mm，機架距離600mm，其他條件已知。

在計算程序中輸入指令。輸入初始連桿長度，初始機架長度：x0=[650,700]；連桿機架長度的下限約束：lb=[550,500]；連桿機架長度的上限約束：ub=[700,700]。

同時，設置函數(shù)選項，變量，目標函數(shù)，條件函數(shù)的調(diào)節(jié)參數(shù)：

options=optimset（“algorithm”,“active-set”,“display”,“off”,“TolFun”,0.001,“TolX”,0.001，“TolCon”,0.001）;

圖3 為初始桿系與設計后桿曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊行程的對比圖，兩條曲線軌跡十分接近。可見在行程一定的情況下，本案例所求兩桿的長度變化對曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊行程關系影響不大。由于其偏置的特性，下死點時曲柄轉(zhuǎn)角都大于180°。圖4 為初始桿系與設計后桿系滑塊行程與搖桿擺角對比圖，其中0 位為下死點位置，可以發(fā)現(xiàn)計算后的桿系的搖桿擺角在距下死點60mm 行程時接近180°，符合設計要求，且相比初始桿系，搖桿在工作行程內(nèi)更加接近水平線。

圖3 曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊行程對比

圖4 滑塊行程與搖桿擺角對比

3.2 設計生產(chǎn)應用

將計算結(jié)果應用到設計環(huán)節(jié)中，并生產(chǎn)出對應的樣機，如圖5。并隨之測試各方面性能，對比初始計算目標。首先，完成任務目標，即建立桿系傳動系統(tǒng)，保證樣機的傳動系統(tǒng)很大的工作行程下承受足夠的扭矩；其次，為限制機床整體尺寸大小，桿系長度保證在滿足設計目標情況下縮小長度，在設計系統(tǒng)中限制相關參數(shù)，并將結(jié)構排至緊湊，如圖6 所示；最后，對于專用機床，性能參數(shù)根據(jù)整體而確定，因此生產(chǎn)量不大，合理利用設計系統(tǒng)，搭建成熟的平臺，同類型的機床小幅修改桿系長度以達成要求。

圖5 多連桿樣機

圖6 樣機傳動簡圖

4 結(jié)論

多連桿壓力機桿系設計往往比較復雜，除了要滿足桿系預定軌跡要求外還考慮壓力機實際功能的設計要求。本案例使用基于MATLAB 的設計系統(tǒng)實現(xiàn)桿系設計，其計算結(jié)果體現(xiàn)MATLAB 的一大優(yōu)勢在于數(shù)據(jù)處理運算非常方便,在優(yōu)化設計時建立數(shù)學模型，調(diào)用多樣的函數(shù)工具集進行分析計算，過程中產(chǎn)生的計算數(shù)據(jù)便于性能分析或圖表繪制，并產(chǎn)生結(jié)果應用到實際設計生產(chǎn)過程中去。本案例方法具有進一步發(fā)展的潛力，通過建立不同的目標函數(shù)方程，還可以實現(xiàn)桿系總體重量最小化設計等設計要求。有些多連桿壓力機要求擁有特殊的滑塊軌跡或運行曲線，通過對位置方程的求導，得到速度方程或者加速度方程，可以將滑塊速度或加速度加入數(shù)學模型中。這樣用類似的解析方法也能對此類型的多連桿壓力機進行桿系設計。