蓋爾圓的性質及其應用 ①

張仙鳳

(朔州師范高等專科學校 數計系，山西 朔州 036002)

0 引 言

力學、工程學中特別多的難題，都與數學中的特征值問題緊密相連。矩陣特征值問題在數學學科及相關科學技術領域都有廣泛的應用。1931年Gerschgorin提出了著名的蓋爾圓定理，使得高階矩陣特征值估計變得可能。特征值估計是許多領域的特點，在諸多領域起著非常重要的作用。雍龍泉提出線性代數中增加蓋爾圓定理的思考。本文中，蓋爾圓相關定理與特征值的相似不變性巧妙結合，將矩陣中的蓋爾圓放大或縮小，使得矩陣的蓋爾圓盤變成獨立的圓，使得對特征值估計進一步精確。同時對矩陣是否可對角化問題、矩陣的正定問題及是否為奇異矩陣的問題，做出判斷。

1 基本概念

定理2：由矩陣B的所有蓋爾圓組成的連通部分中，連通的蓋爾圓個數等于B的特征值個數。(蓋爾圓相重時按重復計數)。兩個(或兩個以上)蓋爾圓中，任兩點都可以用該范圍內的一條折線連接起來，則這兩個(或兩個以上)蓋爾圓就是一個連通的部分[1]。

2 基本性質

性質1：矩陣B有n個不同為特征值λi(i=12,…,n)，則B可對角化[2]。

性質2：相似矩陣有相同特征值[2]。

性質3:設B=(bij)∈Cn×n,若對所有i≠j,則|bii||bjj|>Ri(B)Rj(B)?detB≠0[3].

性質4：B=(bij)∈Cn×n，D=(dij)∈Rn×n，若dij≥|bij|(i=1,2,…,n)，則對B的任一特征值必有i，使得[ρ(D)表示D的譜半徑]，dij≥|bij|?|λ-bii|≤ρ(D)-dii[3]

性質5：如果利用相似變換，矩陣D某蓋爾圓被變大，則其它蓋爾圓將會變小或不變；反之，則除它以外的蓋爾圓會被放大或不變。

證明：由性質2，可構造對角F=diag(ε1,ε2,…,εn)

若εi>0(i=1,2,…,n).將矩陣B=(bij)∈Cn×n可寫成如下形式：

上市公司內部沒有科學、系統的監督管理系統。監督……