基于粘結-滑移的FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁裂縫寬度計算方法

孫藝嘉，吳 濤，劉 喜

(1. 燕山大學亞穩材料制備技術與科學國家重點實驗室，河北，秦皇島 066004；2. 長安大學建筑工程學院，陜西，西安 710061)

由于耐久性能不足，大量鋼筋混凝土結構提前失效，需進行維護、加固甚至重建，為國家帶來巨大的經濟損失。與傳統鋼筋相比，纖維增強筋(FRP 筋)具有輕質高強、抗疲勞性能優等特點，且在抗腐蝕性能與抗電磁干擾能力上具有巨大的優越性[1?2]，鋼纖維增韌輕骨料混凝土具有輕質高強、抗凍性能好、抗彎拉性能優等特點[3?5]，將其與FRP 筋結合應用于橋梁結構體系能夠降低結構自重、提高抗裂性能的同時，使構件更好地適應潮濕、侵蝕以及對電磁有要求的特殊環境。

FRP 筋強度較高但彈性模量較低，引起FRP筋受彎構件在其服役過程中撓度與裂縫發展迅速[6?7]，設計時一般以正常使用階段的性能作為控制條件[8?10]。因此，揭示該類構件裂縫開展機制，進而實現對裂縫寬度的預測和控制是其設計的重要前提。近年來，為提高FRP 筋強度的利用水平，采用纖維對混凝土進行改性以控制構件裂縫寬度的方法受到廣泛認可，Yang 等[11]、Abed等[12]和Wu 等[13]均通過試驗證實了摻入纖維對FRP 筋梁裂縫開展的抑制作用。

裂縫分析的有粘結理論與國內外學者的研究結果共同表明，FRP 筋受彎構件裂縫寬度開展受筋體與周圍混凝土粘結性能影響顯著。考慮FRP筋材料組分與表面形態的多樣性，美國ACI 440.1R[8]與加拿大CSA S806[9]均建議通過FRP 筋與混凝土的粘結-滑移試驗獲取裂縫寬度粘結系數。部分研究人員通過FRP 筋梁受彎試驗結果對粘結系數進行校核。El-Nemr 等[14]對玻璃纖維增強筋(GFRP筋)與碳纖維增強筋(CFRP 筋)高強混凝土梁開展受彎試驗研究，指出美國ACI 440.1R 建議的粘結系數kb=1.4 偏于保守；在另一項研究中，El-Nemr等[15]發現，相較于螺旋表面的CFRP筋，噴砂表面的GFRP 筋粘結系數較低；Liu 等[16]對14 根FRP 筋輕骨料混凝土梁的裂縫寬度開展理論分析，建立了摻鋼纖維與未摻纖維試件服役階段最大裂縫寬度計算模型。

現有FRP 筋混凝土梁最大裂縫寬度計算模型主要采用單值型系數描述粘結的作用，未能合理考慮筋體與混凝土粘結-滑移過程對裂縫開展的影響。考慮此，建立了基于粘結-滑移的FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁裂縫寬度求解方法，該方法亦兼顧了無粘結理論中裂縫位置對寬度的影響，具有明晰的物理意義。

1 粘結-滑移試驗簡介

本文建立的FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁裂縫寬度計算方法以FRP 筋與鋼纖維輕骨料混凝土的粘結-滑移關系為基礎。因此，本節開展了相應粘結-滑移試驗，為建立適用于裂縫分析的粘結-滑移本構方程提供依據。

1.1 材料性能

輕骨料選取湖北宜昌頁巖陶粒，具體性能見表1。其中，堆積密度為750 kg/m3的頁巖陶粒–1用于CFRP 筋試件，堆積密度為860 kg/m3的頁巖陶粒–2 用于GFRP筋試件。細骨料采用渭河中砂，基本性能見表2。鋼纖維為平直型，表面光滑并鍍有銅膜，纖維物理力學性能指標見表3。輕骨料混凝土配合比見表4，鋼纖維體積摻量選取0.6%[4]。

表1 輕骨料性能Table 1 Properties of lightweight aggregates

表2 細骨料性能Table 2 Properties of fine aggregates

表3 鋼纖維物理力學性能Table 3 Physical and mechanical properties of steel fibers

表4 輕骨料混凝土配合比Table 4 Mix proportion of lightweight aggregate concrete

CFRP 筋直徑選取8.65 mm，表面為纖維束纏繞擠壓而成的螺旋肋；GFRP 筋直徑選取9.87 mm和13.77 mm 兩種，表面帶肋且做噴砂處理。FRP筋表面形態見圖1。根據《纖維增強復合材料筋基本力學性能試驗方法》(GB/T 30022?2013)[17]對FRP 筋力學性能進行測定，結果見表5。

表5 FRP 筋力學性能指標Table 5 Mechanical properties of FRP bars

圖1 FRP 筋外觀形態Fig. 1 Appearance of FRP bars

1.2 試件設計

根據《混凝土結構試驗方法標準》(GB 50152?2012)[18]，選取混凝土尺寸為200 mm×200 mm×200 mm，試件設計見圖2。圖中db為FRP 筋直徑，la為錨固長度，c為保護層厚度。試件左端FRP 筋伸出30 mm 用以測定自由端位移變化，右端預留270 mm 作為加載端，并采用環氧樹脂粘貼鋼片以測量加載端位移。未與混凝土粘結的FRP筋采用硬質PVC 套管隔離。試驗共設計10 組試件，每組3 個試件，具體參數見表6。

表6 試件參數Table 6 Parameters of the specimens

圖2 試件尺寸Fig. 2 Dimension of the specimens

1.3 加載與量測方案

采用電液伺服萬能試驗機對試件進行加載，加載裝置見圖3。為避免試件在加載過程中產生偏心受拉，加載架上板與試驗機采用活動夾頭連接。加載速率為0.8 mm/min，加載過程中設置位移計對混凝土塊頂面、FRP 筋自由端和鋼片的位移進行測量。則FRP 筋加載端滑移量sa可按下式計算：

圖3 加載裝置圖Fig. 3 Test setup

式中：ss為鋼片處位移計讀數的均值；sc為混凝土塊頂面位移計讀數的均值；F1為拉拔力；ld為鋼片與混凝土塊底面的距離；Ef為FRP 筋彈性模量。

1.4 試驗結果

圖4 給出了各組試件加載端粘結應力-滑移曲線。由圖可知，峰值荷載下，各試件加載端FRP筋滑移量均超過1 mm，該滑移量明顯高于混凝土受彎構件最大裂縫寬度限值[8?10]。以建立裂縫寬度計算方法為研究目的，峰值荷載前粘結-滑移關系足以提供研究所需信息。考慮此，本節僅對峰值荷載前的曲線特征與粘結機理進行分析。加載前期，曲線的斜率較大且基本保持不變，粘結力主要由化學膠結力提供；繼續加載，滑移量增長速率加快，曲線斜率隨之降低并表現出非線性特征，直至粘結應力達到峰值點，該階段混凝土與FRP 筋之間的化學膠結力減小，粘結應力主要由機械咬合力和摩阻力提供。

圖4 粘結應力-滑移曲線Fig. 4 Bond stress-slip curves

2 基于粘結-滑移的裂縫寬度模型

2.1 基本假定

受材料性能差異影響，受彎構件中FRP 筋與周圍混凝土存在相對滑移，構件裂縫的開展過程可視作FRP 筋由兩側混凝土中拔出的過程，裂縫間FRP 筋與周圍有效受拉混凝土的變形差即對應著裂縫寬度[19]，分析模型如圖5 所示。

圖5 基于粘結-滑移的裂縫寬度分析模型Fig. 5 Analytical model of crack width considering bond-slip behavior

基于此，引入FRP 筋輕骨料混凝土粘結-滑移本構模型，定量描述各微段FRP 筋與周圍混凝土的應變差。結合鋼纖維混凝土殘余應力模型[20?21]，裂縫寬度計算的基本假定如下：

1) 忽略彎曲作用，FRP 筋與周圍混凝土僅存在軸向粘結力；

2) 不考慮泊松效應的影響；

3) 不考慮受拉區混凝土的塑性變形，混凝土拉、壓彈性模量一致；

4) 劃分混凝土有效受拉區遵從《混凝土結構設計規范》(GB 50010?2010)[22]；

5) 不論是否摻入鋼纖維，按對稱結構分析最寬裂縫所在隔離體。

2.2 粘結-滑移微分方程

取FRP 筋與其周圍有效受拉混凝土隔離體，建立ox坐標系，如圖6 所示。裂縫處單根FRP 筋所受拉力為F。在裂縫間，拉力通過粘結傳遞至周圍混凝土，假定混凝土拉應力均勻分布，則有：

圖6 隔離體內應力分布Fig. 6 Stress distribution in isolator

式中：Ef和Ec分別為FRP 筋與混凝土彈性模量；εf和εc,t分別為FRP 筋與混凝土拉應變；Af1為單根FRP 筋面積；Ac1為單根FRP 筋對應的混凝土有效受拉面積，可按式(3)進行計算。

式中，Lper為FRP 筋周長。

通過對長度x內FRP 筋與混凝土應變差進行積分，可得由該區段滑移引起的FRP 筋端部滑移量s：

2.3 “低滑移”階段粘結-滑移(τ-s)本構模型

對于FRP 筋輕骨料混凝土構件最大裂縫寬度的計算，僅關注正常使用階段。中國GB 50608[10]給出的裂縫寬度限值為0.5 mm，美國ACI 440.1R[8]與加拿大CSA S806[9]的限值則為0.7 mm。由此可知，裂縫寬度達到限值前，FRP 筋滑移量仍處于較低水平。為避免加載后期試驗數據的影響，需引入基于“低滑移”階段數據的粘結-滑移本構模型。滑移量上限的確定考慮以下2 個方面：

1) 為確保“低滑移”階段粘結-滑移本構模型具有足夠的涵蓋范圍，按各規范裂縫寬度限值wlim中的較大值0.7 mm 確定滑移量上限；

2) 通過計算可知，FRP 筋重心處的裂縫寬度與梁底裂縫寬度的放大系數h2/h1的最小值為1.28[24]，則FRP 筋重心處裂縫寬度限值wlim,f=0.7 mm/1.28=0.55 mm，考慮結構對稱，選取wlim,f/2=0.28 mm 作為滑移量上限。

根據1.4 節給出的粘結-滑移試驗結果，τ-s曲線在“低滑移”階段并未表現出顯著的非線性。因此，選取線性擬合方法建立τ-s本構關系，擬合結果表明纖維摻量的影響并不顯著。究其原因，鋼纖維主要通過阻斷裂縫發展路徑、承擔拉力起到增強增韌混凝土的作用。滑移量較低時，FRP筋體與混凝土間的粘結力主要由化學膠結力提供，應力水平低且粘結界面應力集中不顯著，纖維對其影響較小。考慮此，未對摻纖維與未摻纖維試件“低滑移”階段τ-s模型加以區分。CFRP筋和GFRP 筋輕骨料混凝土τ-s模型見下兩式：

2.4 特征裂縫間距與最大裂縫寬度

將建立的“低滑移”階段τ-s本構模型引入粘結-滑移微分方程(式(8))，通過積分可求解任意截面FRP 筋滑移量與粘結應力：

由圖5 可知，x=0 處FRP 筋所在位置的裂縫寬度wj可表示為FRP 筋相對其兩側混凝土的滑移量之和，即：

式中：sl(0)與sr(0)分別為x=0 處FRP 筋相對其左、右兩側混凝土的滑移量；ll與lr分別為x=0 處裂縫左、右兩側裂縫間距。

合理確定式(17)中的裂縫間距ll與lr是準確計算最大裂縫寬度的前提條件。tanhx為單調遞增函數，則裂縫寬度隨裂縫間距的增大而增大。基于此，將最大裂縫寬度兩側的裂縫間距均取為最大裂縫間距lmax。根據文獻[25]，lmax與平均裂縫間距lave的關系可表示為：

式中，lave可按文獻[24]給出的FRP 筋輕骨料混凝土梁平均裂縫間距公式進行計算。

考慮wj僅能夠反映FRP 筋重心位置處的裂縫寬度，而最大裂縫寬度wmax一般出現在試件底部，假設構件側表面裂縫寬度與該點至中和軸的距離呈正比[26]，則wmax可表示為：

式中：h1為受拉區FRP 筋合力點距中和軸的距離；h2為混凝土受拉區邊緣距中和軸的距離。

3 考慮纖維作用的迭代算法

3.1 FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁應力與應變分布

FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土構件開裂后，裂縫截面橋接的鋼纖維仍可提供拉力，正常使用階段構件應變與應力分布如圖7。根據應變協調條件可得：

圖7 使用荷載下摻纖維試件應力與應變分布Fig. 7 Strain and stress conditions at service load level of steel fiber-reinforced specimens

式中：Ma為實際施加彎矩；h0f為截面有效高度；c為混凝土受壓區高度；Af為FRP 筋面積；εc為混凝土壓應變；σfib為鋼纖維混凝土殘余應力。

3.2 鋼纖維輕骨料混凝土殘余應力模型

因裂縫截面處的鋼纖維隨裂縫開展而拔出失效，σfib并非一定值，需定量描述σfib隨裂縫寬度的變化規律。Li 等[20? 21]基于細觀力學原理對裂縫處纖維橋接應力進行分析，引入纖維錨固長度和傾角概率密度函數，建立的σfib表達式為：

式中：k1、k2為常數系數；w?為鋼纖維完全脫粘時的裂縫寬度；w1為纖維拔出殘余階段起點對應的裂縫寬度。

已有研究表明：對于給定的鋼纖維和混凝土，二者粘結參數受粘結長度的影響較小[27]。基于此，借鑒與本試驗物理特性相近的鋼纖維與強度等級相近的水泥基體的粘結試驗結果[27?28]，選取特征參數如表7 所示。通過計算發現，構件正常使用階段裂縫寬度較小，即使裂縫形態呈“上窄下寬”，裂縫截面不同高度的殘余應力未見顯著差異。考慮此，式(23)與式(24)中的裂縫寬度w均取裂縫底部寬度，文獻[28]也采取了相似的研究手段。

表7 鋼纖維-基材界面參數Table 7 Interface parameters between steel fibers and cement paste

3.3 裂縫寬度迭代算法

通過以上分析可知，基于粘結-滑移的裂縫寬度的計算過程涉及函數分段、積分等，難以直接聯立求解。考慮此，引入迭代算法，編制計算程序，具體步驟如下：

1) 根據構件尺寸、配筋信息、材料本構和施加彎矩等已知條件，整理數據，假定最大裂縫寬度初始值wmax1；

2) 結合式(23)與式(24)，計算裂縫截面鋼纖維輕骨料混凝土殘余應力σfib；

3) 聯立式(20)～式(22)，為簡便計算，將受拉區混凝土面積近似為混凝土有效受拉面積Ac，建立一關于c的一元三次方程(式(25))，進而求解未知量c、εf與εc；

4) 采用式(2)求解裂縫處單根FRP 筋拉力F；

5) 根據式(18)計算最大裂縫間距lmax；

6) 基于建立的“低滑移”階段FRP 筋輕骨料混凝土本構模型，通過式(17)與式(19)計算最大裂縫寬度wmax2；

7) 判定是否滿足|wmax1?wmax2|≤0.01 mm。若滿足，計算結束，輸出結果wmax1；若不滿足，將得到的wmax2作為新初始值，重復步驟2)～步驟6)，循環迭代直至滿足條件。

4 模型驗證

4.1 試驗簡介

試驗設計了9 根配GFRP 筋和6 根配CFRP筋的輕骨料混凝土梁。架立筋、箍筋均采用HRB400 級鋼筋，GFRP 筋與CFRP 筋選取粘結-滑移試驗的同批筋材，輕骨料混凝土與粘結-滑移試驗同期澆筑。構件尺寸及配筋信息見表8 與圖8，各試件純彎段長度均為凈跨的4/15。

圖8 試件尺寸及配筋圖Fig. 8 Dimension and reinforcement of the specimens

表8 試件尺寸及參數Table 8 Details of the tested specimens

4.2 對比分析結果

Bischoff 等[29]將FRP 筋混凝土受彎構件極限荷載的30%定義為正常使用極限狀態下的荷載(簡稱使用荷載Ms)。中國GB 50608[10]考慮FRP筋的抗腐蝕特性，將裂縫寬度限值較鋼筋混凝土結構的0.4 mm 放寬至0.5 mm；美國ACI 440.1R[8]與加拿大CSA S806[9]均建議室外環境下裂縫寬度限值為0.5 mm，室內環境下為0.7 mm。鑒于使用荷載下部分試件最大裂縫寬度wmax已超過規范限值，除該荷載水平外，對wmax實測值為0.5 mm和0.7 mm 狀態下模型的準確性進行評估。需指出，因裂縫發展迅速，試件LCG–1.64–3 處于0.1 mm～0.7 mm 間的裂縫寬度未捕捉到。

模型計算結果與試驗結果的比值(wmax,Pred/wmax,Exp)見表9 與圖9，圖中實心點與空心點分別表示摻纖維與未摻纖維試件，對比可知：

圖9 試驗與模型計算裂縫寬度對比Fig. 9 Comparison between tested and predicted crack width

表9 裂縫寬度建議模型計算值與試驗值對比Table 9 Comparison between experimental wmax and those predicted based on proposed model

1)wmax實測值為0.5 mm 時，建議模型對于摻纖維與未摻纖維試件的計算結果均較為準確，wmax,Pred/wmax,Exp的均值分別為0.94 與1.06。

2)wmax實測值為0.7 mm 時，摻纖維與未摻纖維試件的預測結果均稍顯不安全，wmax,Pred/wmax,Exp的均值分別為0.83 與0.85。此外，兩類試件wmax,Pred/wmax,Exp的變異系數均低于20%，表明計算結果離散程度較低。

3) 使用荷載下，對于裂縫寬度實測值未超0.5 mm 限值的試件，模型預測值較為準確甚至偏于保守；對于裂縫寬度實測值高于0.5 mm 的試件，計算結果偏于不安全。

同時，采用建議模型對試件各受力階段最大裂縫寬度進行計算，結果見圖10。由圖可見：

圖10 試驗與模型計算彎矩–裂縫寬度曲線對比Fig. 10 Comparison of moment–crack width curves obtained from experiments and predictions

4) 總體上，wmax處于0.5 mm 限值以內時，理論曲線與試驗結果吻合較優；wmax處于0.5 mm～0.7 mm 時，計算結果隨彎矩的提高逐漸傾向于不安全。

5 結論

本文建立了FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土“低滑移”階段粘結-滑移本構方程。基于此，提出了FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁最大裂縫寬度模型。得出結論如下：

(1) 輕骨料混凝土摻入鋼纖維對低荷載水平下FRP 筋輕骨料混凝土粘結-滑移關系無顯著影響。以0.28 mm 作為滑移量上限的“低滑移”階段粘結-滑移線性本構方程適用于FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁最大裂縫寬度的分析。

(2) 建立了基于粘結-滑移的FRP 筋鋼纖維輕骨料混凝土梁最大裂縫寬度模型。最大裂縫寬度為0.5 mm 時，建議模型對于摻纖維與未摻纖維試件的計算結果均較為準確，計算值與試驗值比值的均值分別為0.94 與1.06；最大裂縫寬度處于0.5 mm～0.7 mm 時，計算結果隨彎矩的提高逐漸傾向于不安全。