基于不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法研究

曲明超，司偉建，袁雅芝

（1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學先進船舶通信與信息技術工業(yè)和信息化部重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

為了有效應對反輻射導彈（ARM,anti-radiation missile）的攻擊，雷達有源誘偏技術日趨成熟，有源誘餌廣泛應用在反輻射對抗中[1]。由于誘餌布陣位置、反輻射武器襲擊的方向等不利因素影響，誘餌信號前沿和雷達信號前沿同時到達的有源誘偏系統(tǒng)很難實現(xiàn)，而且為了保護雷達，在時域上，通常有源誘餌信號的前沿會超前雷達信號的前沿0.1～0.2 μs[2-3]。

ARM、雷達和有源誘餌的部署如圖1 所示。雷達和誘餌頻率相同或接近，間距d通常為300～500 m，ARM 幾乎同時接收到雷達和誘餌發(fā)射的電磁波信號，并對雷達和誘餌的合成信號進行（DOA,direction of arrival）估計，當ARM 不能分辨出雷達和誘餌時，會瞄準兩者能量重心進行攻擊，攻擊路線為S。2 個輻射源在角度間隔為θ時被區(qū)分開，ARM 以最大過載向其中一個目標引導攻擊，攻擊路徑為S′，提高ARM 的角分辨性能和估計精度可以降低ARM 的脫靶概率。

圖1 ARM、雷達和有源誘餌的部署示意

傳統(tǒng)的反輻射導彈通過比幅比相法或干涉儀的方法進行測向，但其僅適用于單目標測向且測向精度有限。多重信號分類算法等子空間類算法[4]利用子空間的正交性估計入射信號的來波方向，但在低信噪比和低快拍數(shù)情況下估計性能急劇下降，而且子空間類算法要求入射信號之間互不相關，但由于敵方干擾和多徑等因素影響，相關信號是不可避免的。針對這些問題，文獻[5-7]將稀疏表示理論應用在DOA 估計中，顯著改善了算法在低信噪比時的估計性能，但算法復雜度較高，不符合工程中實時性要求。

為了利用誘餌信號前沿會超前雷達信號前沿這一先驗信息以提高算法的分辨能力，文獻[8]利用雷達和誘餌時序不一致構成不完全重合信號的特點，提出了適用于標量陣列下的TI-ESPRIT 算法，在低信噪比和小快拍數(shù)情況下有更好的估計效果，但該算法僅適用于標量陣列。文獻[9]利用斜投影技術，可以去除先驗信息的影響，提高算法的分辨能力，但該算法在信號相關時會失效。

由于誘餌信號前沿只有0.1～0.2 μs，此時陣列接收數(shù)據(jù)極其有限，要利用誘餌信號前沿會超前雷達信號前沿這一先驗信息，就對小快拍測向提出了要求。單快拍測向是小快拍測向極限，單快拍測向可以通過減少采樣數(shù)據(jù)點數(shù)降低資源消耗、提高算法實時性，也是當前的一個研究熱點，學者們在多快拍DOA 基礎上提出了很多有實用價值的單快拍DOA 估計。文獻[10]對空間平滑算法進行改進，提出了一種基于單快拍的改進的空間平滑算法，提高了陣列孔徑，可以利用單快拍數(shù)據(jù)進行測向。文獻[11-12]僅利用陣列接收的一次快拍數(shù)據(jù)重構偽協(xié)方差矩陣，實時性好，對構造的偽協(xié)方差矩陣分解得到噪聲子空間和信號子空間，并且不受信號之間相關性的影響，能夠實現(xiàn)對相干信號的估計，但對信噪比要求較高，低信噪比情況下其性能急劇下降。文獻[10-12]所提算法都是基于標量陣列的單快拍DOA 估計算法，無法適用于極化敏感陣列的單快拍DOA 估計。文獻[13]提出了極化域平滑解相干算法（PSA,polarization smoothing algorithm），相對于空域平滑解相干算法，其有效孔徑在平滑處理后沒有損失，但極化域平滑算法在單快拍情況下估計性能急劇下降。文獻[14]利用空域平滑的思想，在極化域中提出了一種單快拍的極化域平滑算法（SS-PSA,single snapshot PSA），該算法可以利用單快拍數(shù)據(jù)對極化敏感陣列下的相干信號進行估計，算法復雜度低，但該算法在低信噪比情況下估計效果差。

本文利用誘餌信號和雷達信號是不完全重合信號的特點，在單快拍的極化域平滑算法基礎上，提出了基于不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法，該算法僅利用單快拍數(shù)據(jù)，實時性好，對間隔很近的相干信號有更好的分辨能力。

2 信號模型

考慮由M個極化敏感陣元組成的均勻線陣，極化敏感陣元是沿x軸方向和y軸方向的2 個偶極子組成的正交偶極子對。天線陣列以原點為參考陣元，沿x軸正向均勻排布，陣元間距為λ/2，如圖2所示。

圖2 極化敏感陣列示意

假設在陣列遠場處有K個窄帶完全極化波點源信號，信號入射平面為xoy平面，第k個信號方位角為θk，極化輔助角和極化相位差分別為γk和ηk。方位角θk∈[0,π]，極化輔助角γk∈[0,π/2]，極化相位差ηk∈[ -π,π]。假定陣列接收到的噪聲為圓空?時?極化白噪聲，且噪聲與信號之間統(tǒng)計獨立，則t時刻陣列接收信號矢量可表示為

其中，使用的矩陣索引語法為MATLAB 的矩陣索引語法；X(t)為M× 1維的陣列接收數(shù)據(jù)矢量；S(t)為K× 1維空間信號矢量；N(t)為M× 1維的噪聲數(shù)據(jù)矢量；A為陣列的M×K維導向矢量陣。

將式(3)代入式(1)可得

其中，?為克羅內克積。以坐標原點為參考點，第k個信號入射到天線陣列所在空間直角坐標系的傳播矢量為r=[cosθk,sinθk,0]T；各陣元所在坐標位置矢量為lm，第k個信號的空間導向矢量為

ap(θ k,γ k,ηk)為極化?角度域導向矢量，對于正交偶極子對陣元，其可以表示為

對于本文中的均勻線陣，由于信號入射平面為xoy平面，式(6)可寫為

3 算法原理與分析

3.1 極化敏感陣列的單快拍的DOA 估計算法

若將空間陣列中沿x軸和沿y軸的M個偶極子分別構成一個均勻線陣，則如圖2 所示的陣列可以劃分為2 個極化?角度域匹配的子陣，利用這一特點可以實現(xiàn)極化域平滑。將陣列輸出信號矢量的順序進行調整，可得

為方便描述，陣列輸出信號矢量和噪聲矢量仍用X(t)和N(t)表示，且式(8)中各符號定義與式(4)完全相同。

第k個子陣的觀測矢量Xk(t)可構造為Xk(t)=JkX(t)，其中

其中，M為極化敏感陣元數(shù)量。

將陣列接收數(shù)據(jù)矢量重新排列，得到新的陣列接收數(shù)據(jù)矢量為

依據(jù)文獻[14]的推導過程，新的陣列接收數(shù)據(jù)矢量可表示為

v1和v2分別為v的第一行和第二行。

利用空間共軛復制技術，構造一個共軛復制增廣矩陣Xaug為

對Xaug按照前后向平滑的思想進行處理可得

3.2 不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法

由于雷達信號和誘餌信號構成了不完全重合信號[8]，可以利用協(xié)方差相減的思想，提高算法的估計性能。假設數(shù)據(jù)被分為兩段，第一段包含L個輻射源，第一段包含的信號源為SL（t）；第二段共包含K個輻射源（其中第一段的L個輻射源在第二段中也存在），第二段包含的兩部分信號源分別為SL（t）、SD（t），K、D、L滿足D=K-L關系。若第二段包含的K個輻射源頻率相同且采樣時間相同，則這K個輻射源是相干的。對式(8)中接收數(shù)據(jù)矢量X(t)進行準確分段，對分段后的接收數(shù)據(jù)矢量重新排列，式(10)中重新排列的接收數(shù)據(jù)可表示為

其中，

其中，AD和AL分別為陣列流型矢量中不同的D列和L列；XDL(t)為陣列接收到D+L個信號的數(shù)據(jù)；XL(t)為陣列接收到L個信號的數(shù)據(jù)。

當只有L個信號入射時，式(10)中重新排列的接收數(shù)據(jù)可表示為

將式(15)和式(16)相減，可得

其中，ND(t)表示2 個噪聲數(shù)據(jù)矩陣相減后的結果，若噪聲統(tǒng)計特性不變，則其為零矩陣。同式(16)，可得只有D個信號入射的重新排列數(shù)據(jù)矩陣，即

本文算法通過共軛復制增廣矩陣相減能提高算法的估計性能，這是因為在共軛復制增廣矩陣相減的過程中，減少了噪聲對剩余D個信號的影響。而且通過共軛復制增廣矩陣相減，將K個信號的DOA 估計轉換為對D個信號和L個信號的DOA 估計，有利于提高算法的分辨角。

基于不完全重合信號的單快拍極化平滑DOA估計算法步驟如下。

1) 從t時刻的陣列接收數(shù)據(jù)矢量X(t)，構造新的陣列接收數(shù)據(jù)矢量為

2) 構造t時刻的虛擬增廣矩陣Xaug為

3) 對虛擬增廣矩陣進行差分，計算每段信號的虛擬增廣矩陣，然后對每段信號的虛擬增矩陣執(zhí)行步驟4)～步驟7)，計算每段信號的DOA 估計值。4) 對虛擬增廣矩陣進行前后向平滑，構造為

6) 通過最小二乘估計的方法得到矩陣Ψ0，令則

7) 對Ψ0進行特征值分解，求特征值對應相位即對應相位時延，轉換可求出信號DOA。

3.3 計算量分析與比較

本文對各種算法計算復雜度進行分析時，由于乘法運算的計算量遠大于加法運算的計算量，因此不考慮加減法運算的計算量。下面對PSA 和不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法的各部分進行分析，以比較其算法復雜度的區(qū)別。

極化域平滑解相干算法各步驟運算量如表1 所示，主要包括以下幾個部分。

表1 極化域平滑解相干算法各步驟運算量

1) 計算單快拍的陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R需要復數(shù)乘法次數(shù)為M2I，M為陣元數(shù)，I為子陣數(shù)量，本文中I取值為2。

2) 對埃爾米特矩陣R進行特征值分解，采用二階主子陣實數(shù)化法與Jacobi 方法相結合的特征值分解方法不僅精度高而且實時性好[15]。特征值范分解的運算量與遍歷的次數(shù)有關，當遍歷次數(shù)為4 時，復數(shù)乘法運算量約為20M3-20M2。

3) 譜峰搜索的運算量與搜索步長緊密相關，計算每個譜峰點所需的復數(shù)乘法為M3/2 +2M2+39M，若方位角搜索范圍為30°～150°，搜索步長為1°，搜索點數(shù)為121。

通過表1 可以發(fā)現(xiàn)，譜峰搜索的點數(shù)決定了極化域平滑解相干算法的總的運算量。雖然可采用大步長進行粗搜索，小步長進行精搜索的方法降低極化域平滑解相干算法的搜索點數(shù)，但這種方式在多個信源同時存在時不適用，采用大步長進行搜索容易將多個信號的譜峰進行融合，導致其估計錯誤。

在相同陣元數(shù)條件下，虛擬極化域平滑解相干算法構造的信號矢量長度是極化域平滑解相干算法構造的信號矢量長度的2 倍，因此可將表1 中的M用2M代替，估算出虛擬極化域平滑解相干算法的運算量大致是極化域平滑解相干算法的4 倍。虛擬空域平滑算法構造的信號矢量長度是極化域平滑解相干算法構造的信號矢量長度的4 倍，因此可將表1 中的M用4M代替，估算出虛擬空域平滑算法的運算量大致是極化域平滑解相干算法的25 倍。

不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法運算量如表2 所示，主要包括以下幾個部分。

表2 不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法運算量

當陣元數(shù)M為7，信號數(shù)量K為2 時，根據(jù)表1和表2 中的各步驟運算量，可得本文算法的計算量是極化域平滑解相干算法計算量的19%，是虛擬極化域平滑解相干算法計算量的5%。

4 仿真驗證

考慮由正交偶極子對組成的均勻線陣，陣元間隔d=λ/2，正交偶極子對沿x軸正向均勻排布，偶極子指向為沿x軸方向和沿y軸方向，考慮窄帶遠場相干信號個數(shù)為2，相干系數(shù)g=exp(jπ/4)。

4.1 信噪比對算法估計性能影響

考慮由7 個正交偶極子對組成的均勻線陣，假設在遠場處2 個窄帶等功率的點源入射到陣列上，且陣列對信號單快拍取樣，搜索步長為1°，為了避免信號方位角落在搜索網(wǎng)格點上，信號的方位角參數(shù)設置為(70.5°,115.5°)，極化參數(shù)(γ,η)分別為(20°,30°) 和(70°,120°)，信號頻率為3.5 GHz。進行1 000 次蒙特卡羅仿真，將本文算法與虛擬極化域平滑算法、虛擬空域平滑算法、極化域平滑的ESPRIT（PS-ESPRIT）算法對比。信噪比對正確分辨概率和均方根誤差的影響分別如圖3 和圖4 所示。

圖3 信噪比對正確分辨概率的影響

從圖3 和圖4 可以看出，在低信噪比情況下，本文算法有更好的分辨概率和均方根誤差，由于本文算法對構造的共軛復制增廣矩陣進行相減，使噪聲的影響降到最小，因此在低信噪比情況下有更好的估計性能。

圖4 信噪比對均方根誤差的影響

4.2 角度間隔對算法估計性能影響

假設在遠場處2 個窄帶等功率的點源入射到陣列上，且陣列對信號單快拍取樣，其中一個信號的方位角固定在90.5°，另一個信號的方位角由91.5°增加到120.5°，信噪比為5 dB，其他條件與4.1 節(jié)實驗保持一致。為了驗證算法估計性能，進行了1 000 次蒙特卡羅仿真，將本文算法與虛擬極化域平滑算法、虛擬空域平滑算法、PS-ESPRIT 算法對比。角度間隔對正確分辨概率的影響如圖5 所示。

圖5 角度間隔對正確分辨概率的影響

從圖5 中可以看出，當2 個信號源的間隔達到3°時，本文算法對2 個信號的正確分辨概率就可以達到80%，遠高于其他算法的正確分辨概率。一方面是由于本文算法對構造的共軛復制增廣矩陣進行相減，使噪聲的影響降到最小；另一方面在相減的過程中，減少了每次待估計的信號的數(shù)量，因此在很小的角度間隔下也有很高的正確分辨概率。

4.3 陣元數(shù)量對算法估計性能影響

假設在遠場處2 個窄帶等功率的點源入射到陣列上，且陣列對信號單快拍取樣，信號的方位角參數(shù)為(90.5°,110.5°)，極化參數(shù)(γ,η)分別為(20°,30°) 和(70°,120°)，信號頻率為3.5 GHz，信噪比為5 dB。進行1 000 次蒙特卡羅仿真，將本文算法與虛擬極化域平滑算法、虛擬空域平滑算法、PS-ESPRIT 算法對比。陣元數(shù)量對正確分辨概率和估計均方根誤差的影響分別如圖6 和圖7 所示。

圖6 陣元數(shù)量對正確分辨概率的影響

圖7 陣元數(shù)量對估計均方根誤差的影響

從圖6 和圖7 中可以看出，隨陣元數(shù)量的增加，估計均方根誤差呈降低趨勢，本文算法的均方根誤差始終比虛擬空域平滑算法和虛擬極化平滑算法低。由于PS-ESPRIT 算法不使用譜峰搜索，通過求解一個凸優(yōu)化問題得到信號的DOA 估計結果，因此PS-ESPRIT 算法估計精度劣于虛擬空域平滑算法和虛擬極化平滑算法，本文算法對構造的共軛復制增廣矩陣進行相減，減小了噪聲的影響，估計精度和估計正確概率要優(yōu)于其他算法。

4.4 快拍累積對算法估計性能影響

假設在遠場處2 個窄帶等功率的點源入射到陣列上，信號的方位角參數(shù)為(90.5°,110.5°)，極化參數(shù)(γ,η)分別為(20°,30°) 和(70°,120°)，信號頻率為3.5 GHz，信噪比為5 dB，快拍數(shù)為5。為了驗證算法估計性能，進行1 000 次蒙特卡羅仿真，將本文算法與虛擬極化域平滑算法、虛擬空域平滑算法、PS-ESPRIT 算法對比。快拍累積對正確分辨概率和估計均方根誤差的影響分別如圖8 和圖9 所示。

圖8 快拍累積對正確分辨概率的影響

圖9 快拍累積對估計均方根誤差的影響

分析圖8 和圖9 可得，通過多次采樣對陣列接收信號進行累積，可以降低噪聲影響，提高信噪比。雖然本文算法適用于單快拍，但在陣列接收數(shù)據(jù)極其有限卻不為單快拍時，由于本文算法對信號形式?jīng)]有限制，可以使用不同時間采樣點的數(shù)據(jù)，快拍的累積可以降低噪聲的影響，因此在短快拍時本文算法理論上依然有很好的估計性能。本節(jié)對信噪比為5 dB、5 次快拍累計情況下算法性能進行仿真，仿真結果與分析一致，證明快拍累積有利于本文算法的估計性能。

5 結束語

本文根據(jù)有源誘餌信號和雷達信號在頻域上相同或接近，在時域上有源誘餌信號超前雷達信號等特征，提出了一種基于不完全重合信號的單快拍DOA 估計算法。仿真結果表明，該算法在低信噪比和較少陣元數(shù)情況下有更優(yōu)越的估計性能，而且本文算法可以分辨角度間隔達到3°的2 個信號。雖然本文算法基于單快拍數(shù)據(jù)，但快拍的累積有利于提高算法估計性能。由于該算法在單快拍情況下通過求解凸優(yōu)化問題得到信號DOA 估計結果，不需要進行譜峰搜索，算法實時性好，適用于雷達、ARM等陣列天線系統(tǒng)接收數(shù)據(jù)有限的應用場景。