復合材料矩形懸臂板的穩(wěn)定性和分岔分析

安鳳仙，楊立波

(淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223001)

復合材料矩形懸臂板因具有輕質(zhì)、高強度等優(yōu)點，廣泛應用于很多工程領域，比如航天器、發(fā)動器和潛水艇等，其動力學方程可以用非線性系統(tǒng)來描述。動力學系統(tǒng)中如果存在非線性因素，就可能會發(fā)生分岔現(xiàn)象。非線性動力學系統(tǒng)的分岔問題主要研究局部分岔和全局分岔。局部分岔指的是發(fā)生在奇點(或閉軌)的小鄰域內(nèi)，且與它的雙曲性破壞相聯(lián)系的分岔。目前，將高維非線性系統(tǒng)平衡點分岔問題等效地簡化為低維系統(tǒng)問題的方法主要有李雅普諾夫-施密特約化(LS約化)、中心流形法以及Galerkin方法[1-2]。近年來，復合材料板的穩(wěn)定性、分岔和混沌等問題的研究引起了許多學者的關注，Zhao等[3]利用數(shù)值模擬方法分析了復合材料矩形懸臂板的混沌運動，得到了系統(tǒng)參數(shù)對動力學行為的影響。Akhavan等[4]借助振動模態(tài)、Ye等[5]利用多尺度法和數(shù)值模擬方法分別探討了復合材料板的穩(wěn)定性、分岔和混沌動力學。此外，Guo等[6-9]研究了復合材料壓電板的分岔和混沌運動，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)豐富的動力學行為。雖然對于復合材料板的非線性動力學問題有了一系列的研究，但大多采用數(shù)值模擬方法，理論分析研究較少。為了更好地設計結構參數(shù)，利用理論分析和數(shù)值模擬相結合的方法研究復合材料矩形懸臂板的穩(wěn)定性和分岔行為是非常重要的。

規(guī)范型理論在非線性動力學系統(tǒng)的研究中得到了廣泛應用，目前主要利用郁培等[10-12]給出的規(guī)范型方法分析系統(tǒng)的局部分岔。它的基本思想是引入一個近恒同變換，構造初始微分方程的最簡單形式。由于規(guī)范型在奇點附近保持了原系統(tǒng)的動力學特性，因此可以利用規(guī)范型理論研究原系統(tǒng)的穩(wěn)定性和局部分岔行為。近來，已經(jīng)利用Maple等軟件得到了求解規(guī)范型的計算程序。

本文主要利用理論分析和數(shù)值模擬兩種方法研究面內(nèi)激勵下超音速氣流中復合材料矩形懸臂板的局部動力學行為。利用Maple程序得到了原系統(tǒng)方程的規(guī)范型，詳細討論了3種退化平衡點情形下的穩(wěn)定性、靜態(tài)分岔、Hopf分岔和2-D圓環(huán)面分岔。利用正規(guī)型理論得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件以及發(fā)生靜態(tài)分岔、Hopf分岔和2-D圓環(huán)面分岔的轉(zhuǎn)遷曲線。此外，應用四階Runge-Kutta算法對理論分析結果進行數(shù)值模擬，驗證了理論分析結果的正確性。

1 問題陳述

面內(nèi)激勵下超音速氣流中復合材料矩形懸臂板模型如圖1所示。板在x和y方向的寬度和長度分別為a和b，厚度為h。在y=0和y=b處沿著y方向的面內(nèi)激勵為F=F0+F1cosωΩ1t，其中Ω1為面內(nèi)激勵的頻率。其橫向運動的系統(tǒng)方程[3]為：

(1)

其中f表示面內(nèi)激勵的振幅，其他系數(shù)詳見Zhao等[3]的研究。

圖1 復合材料矩形懸臂板模型

本文主要考慮1:2內(nèi)共振和主參數(shù)共振，共振關系為：

ω22=Ω2+εσ2,Ω1=Ω2=1,

(2)

其中ω1和ω2是線性固有頻率，σ1和σ2為調(diào)諧參數(shù)，利用多尺度法可以得到四維系統(tǒng)方程[3]如下：

(3)

系統(tǒng)方程(3)在初始平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)的Jacobi矩陣為：

(4)

因此可以得到其特征多項式為：

f(λ)=λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4

(5)

其中，

b1=μ1+μ2,

(6)

利用Hurwitz準則[2]，可得到初始平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)的漸近穩(wěn)定性條件為：

(7)

相應地，如果條件(7)不滿足，則初始平衡點失去穩(wěn)定性，系統(tǒng)(3)可能會發(fā)生分岔。下面將分3種情形詳細討論當條件(7)不滿足時系統(tǒng)方程(3)的穩(wěn)定性和分岔行為。

2 穩(wěn)定性和分岔分析

阻尼系數(shù)通常會對系統(tǒng)的動力學行為產(chǎn)生重要的影響。因此，在以下3種情況分析中選擇系統(tǒng)參數(shù)μ1和μ2作為擾動參數(shù)。

2.1 一對純虛特征根

β4=1，則b1=b2=b3=3，b4=2。特征多項式(5)的特征根為λ1,2=±i，λ3=-1，λ4=-2。

選擇μ1和μ2為擾動參數(shù)，利用參數(shù)變換μ1=3+ζ1，μ2=ζ2，則特征多項式(5)變換為：

(8)

其中，

(9)

因此，可以得到初始平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)的穩(wěn)定性條件為：

(10)

即：

ζ1+ζ2+3>0,

(11)

由不等式(11)可以得到4條轉(zhuǎn)遷曲線Li(i=1,2,3,4)，如圖2所示。

圖2 一對純虛特征根時的轉(zhuǎn)遷曲線

L1:ζ1+ζ2+3=0,

(12)

顯然，參數(shù)ζ1和ζ2取值于區(qū)域I時，初始平衡點(E.S.)是穩(wěn)定的，而當參數(shù)ζ1和ζ2從區(qū)域II中取值時，系統(tǒng)發(fā)生分岔，產(chǎn)生了穩(wěn)定的極限環(huán)。

基于系統(tǒng)方程(3)，利用四階Runge-Kutta算法進行數(shù)值模擬。在區(qū)域I中取參數(shù)值為(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)時，從初始點(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)出發(fā)的數(shù)值解收斂于原點，說明初始平衡點漸近穩(wěn)定(見圖3)。在區(qū)域II中取參數(shù)值(ζ1,ζ2)=(-0.2,-0.2)，初始點(x1,x2,x3,x4)=(-0.01,0.02,0.03,-0.02)時，系統(tǒng)發(fā)生分岔，產(chǎn)生了穩(wěn)定的極限環(huán)(見圖4)。

圖3 當(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖4 當(ζ1,ζ2)=(-0.2,-0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(-0.01,0.02,0.03,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

2.2 一個零特征根和一對純虛特征根

(13)

則系統(tǒng)方程(3)變換為：

(14)

當ζ1c=ζ2c=0時，系統(tǒng)(14)在初始平衡點(z1,z2,z3,z4)=(0,0,0,0)的Jacobi矩陣為：

(15)

其在臨界點附近的動力學行為和z1，z2以及z3有關。引入近恒等非線性變換zi=yi+gi(yi)及變換y1=y，y2=rcosθ，y3=rsinθ，y4=y4，可得系統(tǒng)(14)的規(guī)范型為：

(16)

且有：

(17)

(1)初始平衡點(E.S.)：y=r=0，

(3)一次Hopf分岔解 (H.B.(I))：y=0，

方程(16)的Jacobi矩陣為：

(18)

依據(jù)Jacobi矩陣(18)來討論以上4個平衡解的穩(wěn)定性和分岔行為。

由E.S.對應的Jacobi矩陣，可以得到其穩(wěn)定性條件為：

ζ1>0,ζ2>0

(19)

對應的參數(shù)區(qū)域如圖5所示，區(qū)域的兩條臨界曲線為L5：ζ1=0(ζ2>0)和L6：ζ2=0(ζ1>0)。通過分析可知，初始平衡點通過轉(zhuǎn)遷曲線L5分岔出靜態(tài)分岔解，根據(jù)對應的Jacobi矩陣可以確定靜態(tài)分岔解的穩(wěn)定性條件為：

ζ1<0，3ζ1+ζ2>0

(20)

于是得到另外一條邊界曲線為L7：3ζ1+ζ2=0(ζ1<0)。

計算H.B.(I)的Jacobi矩陣，有：

(21)

則當條件(22)滿足時，H.B.(I)是穩(wěn)定的，穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線為L6和L8：ζ1-2ζ2=0(ζ2<0)。

-ζ1+2ζ2<0，ζ2<0

(22)

當-ζ1+2ζ2>0且3ζ1+ζ2<0時，分岔出H.B.(II)，為了研究H.B.(II)的穩(wěn)定性，計算其對應的Jacobi矩陣為：

(23)

因此，穩(wěn)定性條件為：

(24)

顯然，條件Det=112y2r2>0恒成立。根據(jù)以上分析，則H.B.(II)穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線是L7和L8。分岔曲線如圖5所示。

圖5 一個零特征根和一對純虛特征根時的轉(zhuǎn)遷曲線

類似地，從圖5中不同區(qū)域選取參數(shù)值來驗證以上理論分析結果。分別在4個平衡點穩(wěn)定區(qū)域取參數(shù)值(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)、(ζ1,ζ2)=(-0.05,0.2)、(ζ1,ζ2)=(0.2,-0.2)及(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.2)，從初始點(x1,x2,x3,x4)=(0,-0.01,0,0.01)、(x1,x2,x3,x4)=(0.04,-0.05,-0.01,0.02)、(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0,0,-0.02)及(x1,x2,x3,x4)=(0.5,-0.4,-0.2,0.2)出發(fā)的數(shù)值解分別收斂于原點、靜態(tài)分岔解以及出現(xiàn)了穩(wěn)定極限環(huán)(見圖6～圖9)。從圖6～圖9可以發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)值結果和理論結果一致，表明了理論分析的正確性。

圖6 當(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0,-0.01,0,0.01)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖7 當(ζ1,ζ2)=(-0.05,0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(0.04,-0.05,-0.01,0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖8 當(ζ1,ζ2)=(0.2,-0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0,0,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖9 當(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(0.5,-0.4,-0.2,0.2)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

2.3 兩對純虛特征根

(25)

方程(3)變換為：

(26)

令ζ1c=ζ2c=0，系統(tǒng)(26)在初始平衡點(z1,z2,z3,z4)=(0,0,0,0)的Jacobi矩陣為

(27)

同時利用線性變換zi=yi+gi(yj)及變換y1=r1cosθ1，y2=r1sinθ1,y3=r2cosθ2，y4=r2sinθ2，可以得到系統(tǒng)方程(26)的規(guī)范型為：

(28)

且有：

(29)

(1)初始平衡點 (E.S.)：r1=r2=0，

(2)一次Hopf分岔解(H.B.(I))：

(3)二次Hopf分岔解(H.B.(II))：

(4)擬周期解(2-D tori)：

方程(28)的Jacobi矩陣為：

(30)

類似于2.2的分析方法，根據(jù)Jacobi矩陣(30)，可以得到E.S.、H.B.(I)和H.B.(II)的穩(wěn)定區(qū)域分別為(1)ζ1>0，ζ2>0；(2)ζ1<0 ，2ζ1+ζ2>0；(3)ζ1-ζ2>0，ζ2<0。同時發(fā)現(xiàn)，只要存在2-D圓環(huán)面，都是穩(wěn)定的。穩(wěn)定區(qū)域?qū)霓D(zhuǎn)遷曲線分別記為L9：ζ1=0(ζ2>0)、L10：ζ2=0(ζ1>0)、L11：2ζ1+ζ2=0以及L12：ζ1-ζ2=0，如圖10所示。

圖10 兩對純虛特征根時的轉(zhuǎn)遷曲線

從圖10中平衡點的穩(wěn)定區(qū)域分別選取參數(shù)值來驗證理論分析結果。參數(shù)取值(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)、(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.3)、(ζ1,ζ2)=(0.1,-0.1)及(ζ1,ζ2)=(-0.0001,0.0001)，由數(shù)值模擬結果可以發(fā)現(xiàn)從初始點(x1,x2,x3,x4)=(0,0.01,0,-0.02)、(x1,x2,x3,x4)=(0.05,0.02,0.01,-0.01)、(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)及(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0.03,-0.03,0.01)出發(fā)的數(shù)值解分別收斂于原點、出現(xiàn)了穩(wěn)定極限環(huán)和2-D圓環(huán)面，如圖11～圖14所示。

圖11 當(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0,0.01,0,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖12 當(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.3)，(x1,x2,x3,x4)=(0.05,0.02,0.01,-0.01)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖13 當(ζ1,ζ2)=(0.1,-0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

圖14 當(ζ1,ζ2)=(-0.0001,0.0001)，(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0.03,-0.003,0.01)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內(nèi)的相圖

3 結論

本文主要研究了面內(nèi)激勵下超音速氣流中復合材料矩形懸臂板的動力學行為，詳細討論了3種退化平衡點的穩(wěn)定性和分岔行為。選取μ1和μ2為擾動參數(shù)，利用參數(shù)變換和狀態(tài)變量變換，得到了平衡點的穩(wěn)定性條件和穩(wěn)定區(qū)域。利用規(guī)范型理論，確定了系統(tǒng)發(fā)生靜態(tài)分岔、Hopf分岔和2-D圓環(huán)面分岔的轉(zhuǎn)遷曲線，應用四階Runge-Kutta算法對所有理論分析結果進行數(shù)值模擬，驗證了理論分析結果的正確性。從數(shù)值模擬結果可以發(fā)現(xiàn)，當系統(tǒng)參數(shù)μ1、μ2和初始條件取不同值時，系統(tǒng)的相圖不同，說明系統(tǒng)阻尼系數(shù)和初始條件對復合材料矩形懸臂板的動力學行為有較大的影響。因此，可以通過改變系統(tǒng)參數(shù)來控制系統(tǒng)的非線性振動。在航天器、汽車和潛水艇等進行結構設計時，需要考慮因結構參數(shù)可能會表現(xiàn)出的顯著非線性動力學行為，本文的研究結果對于復合材料矩形懸臂板等一些力學系統(tǒng)的特性分析及設計具有一定的參考價值。