并聯磁力耦合式俘能器及其特性研究

吳明軒，凌元淮

并聯磁力耦合式俘能器及其特性研究

吳明軒，凌元淮

（西南交通大學 機械原理教研室，四川 成都 610031）

傳統雙穩態懸臂梁壓電俘能器存在效率低、頻帶窄的弊端。為了提高俘能頻帶，本文提出一種并聯磁力耦合式壓電懸臂梁俘能裝置，引入了磁力的耦合及壓電片的并聯。通過建立集中參數的的數學模型，使用龍格庫塔數值仿真法對比分析了簡諧激勵下并聯磁力耦合式壓電懸臂梁俘能裝置與單懸臂梁雙穩態俘能器的運動狀態及俘能特性。最后搭建實驗平臺進行實驗驗證。結果表明，磁力耦合和并聯的加入，使得并聯耦合式壓電俘能器較傳統單懸臂梁俘能器分別在7 Hz與15 Hz具有兩個諧振頻率，增寬了俘能器的俘能頻帶，以輸出功率大于8×10-6W為有效頻帶，則俘能帶寬提高約為19%。

并聯磁力耦合式俘能器；壓電俘能；磁力耦合；非線性；能量收集；非線性動力學

振動是普遍存在的現象。近年來隨著微型機電系統（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）的迅速發展，從環境振動中俘獲能量為MEMS供能已成為了能源收集研究領域的熱點。傳統蓄電池存在能量有限、電量耗盡時需要更換等弊端。壓電俘能器以其微型、環保、能量密度大、自供能的特點在微電子設備應用領域得到廣泛關注[1-3]。環境中的振動頻率并非一成不變，例如內燃機車司機室振動隨著擋位切換而改變[4]。傳統雙穩態懸臂梁壓電俘能器效率低、頻帶窄，學者們為了提高俘能器的效率及帶寬，開展了諸多工作。

研究表明，含非線性力的雙穩態系統的動力學輸出響應特性高于傳統雙穩態壓電發電系統[5]。秦北辰等[6]通過在裝置里布置矩形、梯形、三角形等多種漸變形狀的發電片，實現了對自然風激勵的寬頻響應。高世橋等[7]設計了一種非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器，降低諧振頻率，提高俘能帶寬及輸出功率。Yonghyeon Na等[8]提出了一種基于壓電雙晶型懸臂梁結構的新型風能俘能器，實驗表明其性能優于之前被報道的同類俘能器。S. Srinivasulu Raju等[9]提出了兩種不同結構的懸臂式壓電能量采集器，分別為根部是矩形截面然后是錐形截面（RTCB，rectangular section from the root followed by a tapered section cantilever beam），和根部是錐面截面然后是矩形截面（TRCB，tapered section from the root followed by a rectangular section cantilever beam），實驗表明兩者分別提高了91.3%和76.9%的輸出電壓。凌乙峰等[10]將雙穩態非線性懸臂壓電俘能器進行并聯，仿真結果表明并聯雙穩態非線性懸臂壓電俘能器可以有效提高俘能效率。張旭輝等[11]在臂梁式俘能結構中加入耦合磁場，仿真及實驗結果表明耦合磁場的加入能拓寬懸臂梁的諧振頻率。

本文提出一種并聯磁力耦合式俘能器，通過磁偶極子模型建立磁力表達式，通過集中參數法建立非線性系統的動力學模型并進行數值仿真，研究對比并聯磁力耦合式俘能器與單懸臂梁雙穩態俘能器的運動狀態及俘能特性。

1 并聯磁力耦合式俘能器動力學建模

并聯磁力耦合式俘能器如圖1所示，兩根懸臂梁固定在底座上，懸臂梁末端為大小、質量不同的圓柱形永磁鐵。將兩懸臂梁上的壓電片并聯后與負載電路連接，形成并聯磁力耦合式俘能器。將非線性系統簡化為彈簧－阻尼－機電耦合的集中參數模型[12]，如圖2所示。將端部圓柱形永磁體質量更大的懸臂梁記為懸臂梁1，將端部圓柱形永磁體質量更小的懸臂梁記為懸臂梁2。如將懸臂梁1剛度增加到無窮大，則系統退化為傳統單懸臂梁雙穩態壓電俘能器，此時記為單懸臂梁雙穩態俘能器2。同理，將懸臂梁2剛度增加到無窮大，則記為單懸臂梁雙穩態俘能器1。

圖1 并聯磁力耦合式俘能器示意圖

R為外接電阻，Ω；F21、F12為兩永磁體的相互磁力，N；m1、m2為永磁體1、2的質量，kg；k1、k2為懸臂梁1、2自由端的等效彈性系數，N/m；c1、c2為振子等效阻尼，N·s/m；V1、V2為壓電片1、2的輸出電壓，V。

將磁鐵看作磁偶極子模型，可得式（1）[13]。

如圖3所示，壓電片粘貼在懸臂梁上方，在1段形成復合結構。需要將其復合界面換算為等效截面進行計算。對于A、B兩種材料的復合，在假設兩者間沒有出現相對滑移的情況下，一般方法為將材料B按照剛度等效的原則折算為材料A，將截面特性轉化為材料A的特性，在此基礎上，再按照普通截面進行力學計算，可得式（2）。

根據壓電效應，當壓電材料加上電壓時，會產生機電耦合力F，機電耦合力對懸臂梁運動有阻礙，其大小受壓電片屬性影響。根據壓電效應及正應力的計算公式可得：

當壓電片接入電路且形成通路時，壓電片兩端面的電場強度3＝0，由壓電方程可得：

則：

系統的等效電路如圖4所示，選取外接電阻上方的節點，根據基爾霍夫第一定律，電路中任一個節點上，在任一時刻，流入節點的電流之和等于流出節點的電流之和。因此可以得到系統的電學方程為：

式中：為外接電阻兩端電壓，V；C1、C2為壓電片1、2的等效電容，F。

考慮質量塊受力情況。質量塊受磁力、阻尼力、彈力和機電耦合力，由牛頓第二定律得：

式中：Y為外界振動的函數，m；Fp1、Fp2為壓電片1、2的機電耦合力，N。

聯立式（6）、式（7）得系統動力學方程：

去掉磁力耦合項及并聯項得傳統雙穩態懸臂梁壓電俘能器動力學方程為：

2 動力學研究

壓電片材料選用PZT-5H，基底材料選用磷青銅，永磁體材料選用汝鐵硼，相關參數如表1～3所示。式（8）、式（9）代入物理參數后，使用Python中scipy.integrate模塊通過Runge- Kutta methods進行數值仿真。

2.1 俘能器初態的計算

表1 永磁體參數

表2 懸臂梁基底參數

表3 壓電薄片參數

注：31為壓電片的一個參數。

2.2 簡諧運動下的俘能特性

取＝cos(2π)、＝2 mm、＝40 mm、＝0.7 MΩ，即外界振動為簡諧運動對俘能器的俘能特性進行分析。采用比較常見的方法，使用系統輸出功率為指標評價俘能器的俘能效果，計算為：

式中：為系統輸出功率，W；為采樣個數。

分別繪制并聯磁力耦合式俘能器和兩個單懸臂梁雙穩態俘能器的-圖像，如圖5所示。

可以看出，并聯磁力耦合式俘能器相較于傳統單懸臂梁雙穩態俘能器具有兩個諧振頻率。分別在在7 Hz和13 Hz處。如果以輸出功率大于8×10-6W為有效頻帶，則并聯磁力耦合式俘能器的俘能帶寬為6.9 Hz，單懸臂梁雙穩態俘能器1與單懸臂梁雙穩態俘能器2的俘能帶寬之和為5.8 Hz。俘能帶寬提高約19%。進一步，繪制并聯磁力耦合式俘能器的位移時域圖、相圖及電壓時域圖，如圖6所示。

圖5 Ω-P圖像

圖6 并聯磁力耦合式俘能器響應圖

由圖6可知，在7 Hz時，懸臂梁1做大幅度周期運動，懸臂梁2做擬周期運動；在15 Hz時，懸臂梁1做小幅運動，懸臂梁2做大幅周期運動。

2.3 激勵幅值對俘能效果的影響

為研究激勵幅值對系統俘能效果的影響,取磁鐵間距40 mm、負載電阻0.1 MΩ、激勵頻率7 Hz，繪制并聯磁力耦合式俘能器與單懸臂梁雙穩態俘能器1的激勵幅值與輸出電壓均方根關系，如圖7所示。

圖7 激勵閾值圖

可看出，隨著激勵幅值增加，本文提出的并聯磁力耦合式俘能器與單懸臂梁雙穩態俘能器1的輸出電壓均方根均增加。并聯磁力耦合式俘能器輸出電壓均方根在激勵幅值1.4 m/s2處發生一次階躍，單懸臂梁雙穩態俘能器1輸出電壓均方根在2.0 m/s2處發生一次階躍。產生這種跳躍的原因是當激勵幅值較小時，傳入俘能系統的能量不足以使系統越過勢壘，此時懸臂梁只能在勢陷內做小幅運動，輸出電壓小；隨著激勵幅值繼續增加，傳入俘能系統的能量增加，當傳入能量足以使系統越過勢壘時，懸臂梁開始做勢間運動，輸出電壓產生階躍。

取激勵幅值1 m/s2、2 m/s2分別繪制時域圖及相圖，如圖8所示。可看出，當激勵幅值為1 m/s2時，未發生階躍，此時懸臂梁在勢陷內做小幅運動，運動幅值不超過5 mm；當激勵幅值為2 m/s2時，并聯磁力耦合式俘能器的懸臂梁1開始做大幅周期運動，運動幅度約50 mm。

當激勵幅值超過激勵閾值時，俘能器將產生大幅度響應，而并聯磁力耦合式俘能器相較于傳統雙穩態懸臂梁壓電俘能器具有較低的激勵閾值。這表明在較低的激勵幅值下，并聯磁力耦合式俘能器擁有較好的俘能效果。

2.4 負載電阻對俘能效果的影響

負載電阻對系統俘能特性起著十分重要的作用。為分析外接負載對輸出響應的影響，取激勵頻率5 Hz、＝2 mm、外接負載0～2 MΩ，繪制電壓響應以及功率響應曲線如圖9所示。由圖9（a）可以看出，在0～0.3 MΩ，輸出電壓隨著外接電阻的增加而急劇增加，之后當外接電阻繼續增加時，輸出電壓也繼續增加，但增加速率明顯降低；由圖9（b）可以看出，輸出功率隨著外接電阻的增大先增大后減小，在0.3 MΩ左右達到最大輸出功率。輸出功率＝2/，在0～0.3 MΩ，輸出電壓的平方增長速度大于外接電阻的增長速度，因此輸出功率在此區間增加；在0.3 MΩ后，輸出電壓平方的增長速度開始減慢至小于外接電阻的增長速度，因此輸出功率在此區間減小。

圖8 并聯磁力耦合式俘能器時域圖及相圖

圖9 外接電阻對俘能的影響

為進一步分析不同外接電阻對俘能特性的影響，取＝2 mm、＝40 mm，分別令＝0.1 MΩ、0.3 MΩ、0.5 MΩ、0.7 MΩ，作出系統的頻率響應曲線，如圖10所示。

圖10 不同電阻下系統的頻率響應曲線

由圖10（a）可知，當負載電阻＝0.1 MΩ時，輸出電壓兩側峰值較低，當負載電阻增大到0.3 MΩ時，輸出電壓有了較大提升，左側峰值提升1 V左右，右側峰值提升2 V左右，電阻從0.3 MΩ增大到0.7 MΩ，輸出電壓并未有明顯提升；由圖10（b）可知，當激勵頻率在7 Hz附近時，＝0.7 MΩ對應的輸出功率峰值最大，當激勵頻率在13 Hz附近時，＝0.3 MΩ對應的功率峰值最大，由此可說明，隨著激勵頻率的改變，系統最高輸出功率對應的負載電阻也會發生改變。當外界激勵與外接負載發生變化時，系統的運動狀態隨之改變，因此，不同的激勵條件下系統具有不同的最佳負載，選擇合適的負載電阻可有效提高系統的輸出。

2.5 磁間距對俘能效果的影響

磁間距主要影響系統的勢能函數，當磁間距過小時，會使勢壘增高，但在高勢壘下，如果越過勢壘，會得到幅度大的響應和更大的電壓；當磁間距過大時，由于磁力的非線性，此時磁力幾乎為零，系統雙方穩態消失，將難以獲得大響應。取磁間距分別為35 mm、38 mm、40 mm和42 mm，＝2 mm，＝0.7 MΩ在簡諧激勵下繪制頻率－功率曲線，如圖11所示。

圖11 不同磁間距下的輸出響應

由圖11可以看出，當磁間距為35 mm時，俘能器在5～20 Hz均出現響應，但響應最大值約為0.013 mW。當磁間距增大到38 mm時，俘能器在5～7 Hz及12～16 Hz出現響應，響應最大值約為0.03 mW。當磁間距繼續增加到40 mm時，俘能器在5～7.5 Hz及10～16 Hz出現響應，響應最大值為0.03 mW。當磁間距增大到42 mm時，相較于磁間距為40 mm時，響應帶寬以及最大輸出響應均減小。可以看出，綜合來說，簡諧激勵下，俘能器在＝40 mm時，表現出較好的響應特性。

懸臂梁的響應根據運動是否越過勢壘，主要可以分為兩大類，分別是陷間運動和陷內運動。其中陷內運動由于無法越過勢壘，均為小幅運動。陷間運動可分為陷間大幅周期運動、陷間混沌運動和陷間周期運動。根據分類，懸臂梁在不同磁間距對于頻率的響應可以抽象表達為圖12。

由圖12可以看出，在＝35 mm時，方塊④最多，而方塊①②最少。這表明磁間距過小而磁力過大，此時在外界激勵下，懸臂梁難以越過勢壘而做陷內運動，懸臂梁擺動幅度小，在圖11中表現為輸出功率低。當＝38 mm時，方塊④減少，方塊②增多，表明磁力減小后，懸臂梁更加容易跨過勢壘。當＝40 mm時，方塊①最多，此時懸臂梁最易做大幅周期運動，在正弦激勵下，懸臂梁達到最大的輸出功率。當＝42 mm時，方塊④消失，這表明此時磁力過小，懸臂梁將不會陷入勢陷內，但相較于＝40 mm時，輸出功率降低。這是因為過小的磁力將難以形成雙穩態，使得位移響應降低，從而輸出功率降低。

圖12 不同磁間距下懸臂梁的運動狀態

過小的磁間距會使得勢壘過高，使懸臂梁難以越過勢壘做大幅運動，此時輸出功率低。過大的磁間距會難以形成雙穩態，使懸臂梁不能形成大幅度響應，此時輸出功率不高。選擇合適的磁間距可以使輸出功率達到最高。

3 實驗

實驗平臺由激振器、信號發生器、功率放大器、并聯磁力耦合式俘能器、激光位移傳感器、示波器和PC組成，如圖13所示。將俘能器橫放以消除重力影響。實驗使用信號發生器產生信號，傳給激振器，產生不同頻率的正弦激勵，通過示波器測量俘能器的電壓響應特性。

圖14為俘能器理論響應特性與實驗響應特性結果。

如圖15所示，在頻率響應實驗過程中發現：6 Hz時，懸臂梁1做陷間大幅周期運動，懸臂梁2做陷間小幅運動；14 Hz時，懸臂梁2做陷間大幅周期運動，懸臂梁1做陷間小幅運動；在7～12 Hz時，兩懸臂梁做陷間小幅混沌運動或小幅周期運動。實驗結果與2.2節中的仿真結果一致。這是因為，懸臂梁末端的質量塊質量不同，分別擁有不同的共振頻率，所以存在兩個峰值。實驗結果與分析結果雖有一定差異，但總體趨勢一致，表明所建立的模型能夠較好地表征俘能器俘能特性。

通過分析，得到誤差的主要來源為：

（1）數學建模上存在一些假設與簡化；

（2）并聯磁力耦合式俘能器的制作上存在一定誤差。

圖13 振動實驗

4 結論

本文通過集中參數法，建立了并聯磁力耦合俘能器的動力學模型。研究了并聯磁力耦合俘能器在簡諧激勵下的俘能特性。

圖14 實驗結果

圖15 懸臂梁位移時域圖

研究結果表明：

（1）建立集中參數的俘能系統模型，經過實驗驗證，能夠較好地表達出并聯磁力耦合式俘能器的響應特性。

（2）磁力耦合和并聯的方案，使得并聯磁力耦合俘能器在7 Hz和13 Hz處存在兩個諧振頻率，且較單懸臂梁雙穩態俘能器擁有更低的激勵閾值。

（3）因為并聯磁力耦合俘能器有兩個諧振頻率，所以較單懸臂梁雙穩態俘能器擁有更好的俘能效果。以輸出功率大于8×10-6W為有效頻帶，俘能帶寬提高約為19%。

（4）并聯磁力耦合俘能器的俘能效果受磁間距、外部激勵頻率、外部激勵幅值、外接電阻等多個因素影響，各因素的影響并不是簡單的促進或阻礙，而是相互耦合、共同作用。如何對俘能器進行優化值得思考。

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Parallel Magnetically Coupled Energy Harvester and Its Characteristics

WU Mingxuan，LING Yuanhuai

(Department of Mechanical Theory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China)

The traditional bistable cantilever beam piezoelectric energy harvester has the problems of low efficiency and narrow frequency band. In order to improve the frequency band, a parallel magnetically coupled piezoelectric cantilever beam energy harvester is proposed. The magnetically coupling and the parallel connection of the piezoelectric plates are introduced. Through the establishment of the mathematical model of the lumped parameters, the motion state and energy harvesting characteristics of the proposed energy harvester and the single cantilever beam bistable energy harvester under simple harmonic excitation were compared and analyzed using Runge-Kutta numerical simulation method. Finally, an experimental platform was built for experimental verification. The results show that the addition of magnetically coupling and parallel connection provides the proposed energy harvester with two resonant frequencies at 7 Hz and 15 Hz respectively, compared with the traditional single cantilever beam energy harvester, which widens the energy harvesting frequency band of the device. Taking output power of more than 8×10-6W as the effective frequency band, the energy harvesting bandwidth increases by about 19%.

parallel magnetically coupled energy harvester；piezoelectric energy harvesting；magnetic coupling；nonlinear；energy harvesting；nonlinear dynamics

TH113

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.12.004

1006-0316 (2021) 12-0027-09

2021-04-14

四川省科技計劃項目重點研發項目（2021YFS0065）

吳明軒（1995－），男，四川內江人，碩士研究生，主要研究方向為壓電俘能，E-mail：wumx1995@163.com；凌元淮（1996－），男，四川涼山人，碩士研究生，主要研究方向為送變電線路建設技術。