基于板厚補償的921A鋼與Q345鋼靶板在截卵形彈體侵徹下的等效方法

王逸南，張建偉，王治，姚熊亮，楊娜娜

(1.哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

彈體侵徹是近年來不斷升溫的研究領域，基于其廣泛的研究背景，深受國內外學者的關注，其中侵徹試驗是艦船防護裝甲和反艦武器研制階段中不可缺少的研究手段。由于需要投入巨大的人力和物力資源，原尺度的侵徹試驗十分稀少，主要是通過相似理論與方法對侵徹問題進行研究分析。相似理論是研究模型實驗和原型實驗相似性的理論方法，對于一些原型實驗難于開展的侵徹問題，如何設計與原型相似的縮比模型成為關鍵問題，而相似理論正是回答這一問題的方法。

針對侵徹問題，目前相似理論的研究主要針對縮比相似規律以及縮比相似中的尺度效應等。王樹有等[1]基于相似理論，推導了混凝土侵徹實驗相似準則，提出了用混凝土侵徹模型實驗代替原型實驗的方法，并建立驗證了相似準則。Wen等[2]開展了鈍頭彈丸低速撞擊圓板實驗，實驗中圓板產生大變形或穿孔，他們指出在其實驗范圍內幾何縮比方法滿足相似性。劉源等[3]針對彈體剛體過載相似性問題，研究了非等比例縮比侵徹/貫穿相似規律，提出了非等比例縮比侵徹實驗設計方法。甘宏偉等[4]運用數值仿真方法，分析了均質靶板的厚度和加筋板架結構不同彈著點對彈頭穿靶能力的影響，并基于剩余速度理論，運用數值模擬和統計概率分析的方法，建立了加筋板架結構與均質靶板之間的等效關系。Song等[5]針對不同材料和板厚的薄板垂直侵徹問題，基于實驗數據和相似理論分析得出了彈體剩余速度的預報公式。Jones等[6]針對幾類不同彈頭的彈丸低速侵徹圓板和方板問題開展實驗，并驗證了幾何相似縮比方法的正確性。

針對侵徹靶板的模型與原型采用不同材料的情況，目前還是缺少相似性理論研究與設計方法。此方面的研究是有意義的，在一些問題中，選擇不同靶材的靶板，其相應的制作成本差異頗大。采用真實靶材進行實驗取得的實驗結果盡管是最真實和最可信的，但是實驗費用太高。若能找到彈體侵徹不同靶材的靶板之間的等效關系，則可以利用成本較低靶板材料等效替代高成本靶材，在保證實驗結果有效情況下，既可降低實驗成本，又可增加實驗效率。目前國內外已經開展了一定程度的對于材料等效相似性的理論研究。Baker等[7]首先在書中第8節對侵徹材料相似方法做了簡要而意義重大的介紹。Mullin等[8]通過實驗和數值計算主要研究了鋅和鋁兩種材料靶板侵徹的速度縮比方法，但沒有給出速度縮比設計理論公式。此后，Mullin等[9]分析了高速侵徹問題影響因素并建立了π項，其中關鍵π項為v2/n，v為彈丸沖擊速度(m/s)，n為靶板材料融化熱量(kJ/kg)，這個無量綱量代表著彈丸動能與靶板融化能量的比值，他們通過保證此π項相等，設計不同材料靶板的撞擊速度，并通過實驗驗證了“速度縮比方法”的有效性。Alves等[10]找到比例模型中沖擊彈體質量比βg作為考察π項，通過修改初始彈體質量來達到等效目的。Mazzariol等[11]則對比了不同學者總結的等效方式，如MLT等效法、Calladine等效法、VSG等效法后，找到了一種新的修改初始速度理論公式來考察不同材料的相似性問題。但仍然不夠充分，并沒有等效材料靶板的有效設計方法，相關研究亟待開展。

本文針對截卵形彈體正侵徹均質鋼板問題，采用補償模型理論，以剩余速度為相似目標建立不同材料鋼板侵徹的相似設計方法。首先針對文獻[15]中的實驗結果驗證數值計算方法的有效性，然后對于921A鋼和Q345鋼兩種材料不同厚度靶板進行侵徹計算，基于剩余速度數值計算結果探討侵徹過程項的選取，最后基于補償模型方法建立不同材料鋼板侵徹的相似設計方法，找到材料等效工程化設計公式。

1 靶板等效的研究方法

1.1 靶板等效原則

若反艦導彈侵徹原型材料靶板消耗能量與彈體侵徹模型材料靶板消耗的能量相等，則認為二者之間的等效關系成立[12]。即在一定初速度條件下，侵徹過程中彈體消耗的能量相等，可用穿靶后彈體的剩余速度相等原則來表述靶板之間的等效關系。

基于剩余速度對侵徹建立起等效原則后，仍需通過理論公式找到具體等效設計的方法和思路。由于侵徹問題涉及因素眾多，難以全部描述清楚，因此需要找到合理的簡化方式，突出其中的主要影響因素，從而給出相似性設計方法的工程化預報公式。為此，借助無量綱分析及補償模型建立，開展研究工作。

1.2 靶板等效量綱分析及補償模型

量綱分析法[13]是在研究現象相似性問題的過程中，對物理量的量綱進行考察時產生的，是解決近代工程技術問題的重要手段之一，相對于其他方法具有較高的適用性。對于垂直侵徹均質平板的問題，對影響彈體侵徹剩余速度結果的物理量進行量綱分析，可以寫出剩余速度vr的函數表達式[5]為

vr=f(ρp,L,D,A,N,ρt,H,v0,Epy,Ety,

Yp,Yt,Ept,Ett,Yps,Yts,εpf,εtf,μp,μt)，

(1)

式中：ρp為彈體密度(kg/m3)；L為彈體有效長度(m)；D為彈體直徑(m)；A為彈頭截頂長度(m)；N為彈體形狀因子；ρt為靶板密度(kg/m3)；H為靶板板厚(m)；v0為彈體初始速度(m/s)；Epy、Ety分別為彈體彈性模量和靶板彈性模量(Pa)；Yp、Yt分別為彈體屈服強度和靶板屈服強度(Pa)；Ept、Ett分別為彈體硬化模量和靶板硬化模量(Pa)；Yps、Yts分別為彈體極限強度和靶板極限強度(Pa)；εpf、εtf分別為彈體失效應變和靶板失效應變；μp、μt分別為彈體材料泊松比和靶板材料泊松比。

針對本文等效仿真情況進行分析，彈體材料強度遠大于靶板強度，侵徹過程中變形損傷程度很小，且材料在不同工況中未發生變化，因此與彈體相關的物理量Epy、Ept、Yp、Yps、εpf、μp等因素影響可以不考慮。921A鋼和Q345鋼兩種靶板靶材雖然不同，但均為低碳合金鋼，因此，兩種靶板彈性模量、密度和泊松比十分接近，ρt、Ety和μt影響可以忽略。由于兩種靶板材料不同，Ett、εtf、Yts和Yt不同。在較高碰撞速度下，彈塑性體侵徹碰撞點附近區域靶板材料的破壞特性主要由材料密度和強度起主導作用，結構效應退居次要地位[14]。但除了靶板屈服強度Yt，Ett和εtf對材料等效的影響也不可以忽略。

選取彈體直徑D、彈頭截頂長度A和彈體速度v0作為基本物理量，對(1)式進行簡化，得

vr=f(v0,D,A,H,Yt,Ett,εtf).

(2)

對(2)式進行無量綱分析，可以給出無量綱函數關系形式為

(3)

2 靶板等效數值仿真分析

2.1 計算模型

采用文獻[15]中的截卵形彈體靶板模型進行數值仿真計算并驗證本文數值仿真方法的正確性，彈體為截卵形彈體，由彈體殼體和填充物兩部分組成，彈體長370 mm，直徑105 mm，截頂直徑為20 mm，彈頭圓弧半徑180 mm，質量約16 kg.截卵形彈體為變壁厚頭殼，柱段壁厚取10～14 mm.靶板大小為1 400 mm×1 000 mm，厚度為15.2 mm，靶板材料為921A鋼，彈體殼體材料為30CrMnSiNi2A.

彈體與靶板模型均采取Lagrange算法的solid 164單元，彈體頭部網格尺寸為0.5 mm，尾部漸變為2 mm.靶板模型應用了逐步過渡方法改變網格在靶板上的分布，引入無量綱參數λ[16](彈靶接觸位置附近的網格尺寸Δl與彈體直徑D之比)來考察網格得適用性。吳子奇[16]經過計算發現當λ=0.05時，網格尺寸已經適用于侵徹問題的計算。本文中靠近彈丸侵徹的區域網格密度較大，尺寸為2.5 mm，λ僅為0.023，完全可以進行彈體與靶板的接觸運算。遠離彈丸侵徹的區域網格密度較小，尺寸為10 mm.厚度方向上網格尺寸為1.5 mm.中心加密區域為彈徑的4倍，為了模擬實際的實驗條件，對靶板的4個側面施加了固定邊界條件。彈體及靶板幾何模型和有限元模型如圖1所示。

圖1 彈體幾何模型及靶板有限元模型

計算過程中，彈體殼體和靶板均采用帶Mises屈服準則且與應變率相關的雙線性彈塑性模型，應變率用Cowper-Symonds模型來考慮，填充物材料為線彈性模型，彈體和靶板的具體材料參數[16]如表1所示。

表1 彈體和靶板材料模型參數

在描述船用鋼的高應變率強化效應時，Cowper-Symonds模型具有很好的有效性。其動態屈服應力與應變率的關系為

(4)

觀察(4)式可以發現，考慮應變率的動態屈服強度峰值與屈服強度、硬化模量和失效應變相關，即

σy∝Yt+βEpεtf，

(5)

因此，(3)式中π項可以進行相應簡化：

(6)

(6)式改寫為π項的形式為

π=f(π1,π2,π3,π4)，

(7)

根據相似第二定理(π定理)，如果模型與原型相似，則需滿足獨立的π項相等，即

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：上標p和m分別表示原型和模型。

對于本文研究的原型與模型材料不一致的情況，原型與模型π3、π4不相等，模型產生畸變，導致πp≠πm，物理過程不相似。因此需要采用補償模型理論，設定π項之間是乘積關系[13]，建立原型與模型之間的相似關系，即

(12)

(13)

(14)

(14)式為不同材料等效關系的一般形式，本文中著重研究921A和Q345兩種鋼材之間的等效，失效應變均取為常數，因此(14)式右邊第2項為一定值，可以進行如下簡化處理：

(15)

式中：c1為應力項的冪次項系數。

(15)式代入(14)式中，得到

(16)

式中：x為等效系數。

由(16)式可以看出，只需根據數值仿真方法得到的已知等效板厚確定等效系數x，即可確定兩種靶材靶板之間的等效關系。

2.2 數值仿真結果正確性驗證

彈體侵徹靶板過程中會產生整體和局部的變形與破壞。平頭彈丸對均質金屬薄板的侵徹會產生碟型變形的拉伸與剪切混合失效模式[18]。截卵形彈丸對均質金屬薄板的侵徹主要呈現為擴孔過程，最終產生花瓣型失效模式[19]。彈體正穿甲均質靶板毀傷過程如圖2所示：彈體首先擠鑿靶板，在靶板出現與彈體截頂面積大小相當的隆起(見圖2(a))，繼而形成塞塊從靶板上脫離(見圖2(b))；隨后進入擴孔階段，破口不斷增大，靶板花瓣型失效模式逐漸形成(見圖2(c))；最后隨著彈體的飛出，破口形狀趨于穩定。數值仿真得到的侵徹破口形狀與文獻[15]實驗結果對比情況如圖3所示。

圖2 毀傷過程圖

圖3 數值仿真結果與文獻[15]實驗破口形狀圖

由圖3可以看出：均質靶板垂直侵徹的仿真結果與實驗結果接近，均出現花瓣型的失效模式；侵徹產生的破口基本呈現圓形，文獻[15]中指出破口與彈體直徑基本相同，破口直徑約為115 mm.數值模擬結果中破口尺寸為113.3 mm，與實驗結果十分接近。為了進一步驗證數值仿真結果的正確性，對文獻[15]中其他垂直加筋靶板的實驗工況進行仿真計算，其中：大筋高度為68 mm，寬度為15.2 mm，兩筋之間間距為600 mm；小筋高度為26 mm，寬度為7 mm；兩筋之間間距為125 mm.與文獻[15]實驗結果進行對比，工況設置及計算結果分別如表2和圖4所示。

本文建立的數值仿真模型計算得到的彈體穿靶后的剩余速度與文獻[15]中的實驗測定值比較接近，如表2中所示剩余速度相對誤差控制在0.24%～0.73%之間。圖4(a)中靶板破口直徑為117.86 mm，圖4(c)中靶板破口上下測量為117.9 mm，左右測量為112.2 mm.由于大筋強度較高，對底板支撐力度更大，因此圖4(c)中破口左右長度較之上下長度略小一些。對比數值模擬毀傷圖和實驗結果，可以發現底板整體出現碟型隆起。彈體頂端擠壓靶板，超過材料屈服強度后，截頂處四周產生星型裂紋，裂紋不斷擴展最終形成花瓣型破口。

表2 數值仿真結果與文獻[15]實驗實測結果比較

圖4 加筋板工況數值仿真結果與文獻[15]實驗破口形狀圖

加筋處毀傷破壞大致呈現兩種：1)加強筋與底板連接處產生撕裂，撕裂后加強筋中的剩余能量使其繼續彎曲變形達到圖4中的毀傷效果；2)加強筋受彈體沖擊直接產生剪切折斷。數值模擬得到毀傷模式與實驗結果相一致，驗證了本文所建立的數值仿真模型的正確性。

2.3 靶板等效性數值仿真

首先，將艦船多采用的921A鋼靶板的板厚分別選取為設計常用板厚8 mm、10 mm、12 mm、14 mm和16 mm.再通過選取Q345鋼做為921A鋼的等效材料，進行不同材料靶板侵徹作用下的等效規律研究。選擇上文的截卵形彈體在初速度550 m/s下，垂直侵徹單層921A鋼與8.5～19.5 mm板厚Q345鋼靶板進行剩余速度的等效分析，兩種靶材靶板剩余速度等效板厚擬合結果如圖5所示。

圖5 彈體侵徹921A鋼與Q345鋼后的剩余速度等效曲線

由圖5可以得出，當彈體侵徹速度為550 m/s時，8 mm、10 mm、12 mm、14 mm和16 mm板厚的921A鋼分別可以用8.9 mm、11.3 mm、13.5 mm、16.1 mm和18.9 mm板厚的Q345鋼進行等效。為了排除數值等效的偶然性，通過將初速度設置為250～650 m/s考察得到的兩種鋼材靶板等效板厚，驗證所得到等效板厚在不同速度下的等效性，各個速度下剩余速度計算結果如表3所示。

表3 垂直單層靶板剩余速度結果

從表3中可以看出：921A鋼靶板與等效的Q345鋼靶板在250～650 m/s初速度下，所得到的剩余速度相近；當彈體初速度為650 m/s時，針對12 mm厚921A鋼靶板及13.5 mm厚Q345鋼靶板的毀傷進行分析，當彈體初始接觸到靶板時，不同鋼材靶板的應變云圖如圖6所示。

通過圖6(a)可以發現，由于在初試階段中(1.5×10-2ms)921A鋼靶板板厚比Q345更薄，應力波在其中傳播時間更短，導致在其靶板背側首先達到屈服應變極限從而發生失效。除此之外，兩塊靶板整體的應變趨勢一致，隨之觀察兩塊靶板與彈體接觸中心點的應力關系如圖7所示。

圖7 兩種鋼材侵徹中心點應力曲線

從圖7中可以看出：921A鋼靶板中應力更快達到峰值點后歸于零點；基于不同的材料屬性，921A鋼的應力峰值會更高，但整體的應力變化曲線效果相同。靶板所受外力如圖8所示，具體毀傷模式如圖9所示。

圖8 兩種鋼材靶板受力曲線

由圖8可以看到：初始時刻彈體接觸到靶板瞬時達到壓力峰值；隨著彈體的繼續向前移動，會出現很短暫的坍塌和硬化循環，導致受力消失[20]；彈體隨之逐漸穩定，靶板受力逐漸恢復，兩塊靶板所受外力形式一致。由圖9可以看到：不同靶板均呈現出花瓣狀破口形式，由于材料及板厚的區別，花瓣個數及形狀會有微小的差異，但總體毀傷形式一致。因此，基于上述結論，判斷所得到的13.5 mm厚Q345鋼可以用來等效12 mm厚921A鋼。

根據(14)式和(16)式，考察基于補償模型的材料等效問題，主要是找到板厚H和動態屈服強度σy、失效應變εtf之間的關聯。根據(4)式計算兩種靶材的動態屈服應力，對于高強度船用鋼侵徹問題屬于材料高應變率問題，取應變率為1 000 s-1，計算得921A鋼與Q345鋼的動態屈服應力分別為1 004.3 MPa和655.5 MPa.采取上述等效板厚與計算結果，通過(14)式進行擬合可以得到方程如下：

(17)

本文著重針對921A鋼與Q345鋼進行分析驗證，考察它們之間的材料等效板厚設計方法，因此可以將(17)式進行一定簡化，將公式右側第2項歸入第1項中，如2.1節中所描述的針對(16)式中x參數進行擬合分析，得到兩種鋼材的等效性擬合曲線如圖10所示，擬合后方程為

圖10 921A鋼與Q345鋼等效性擬合曲線

(18)

921鋼靶板8 mm、10 mm、12mm、14 mm和16 mm不同板厚代入(18)式，進行經驗公式的可行性驗證，與數值仿真計算結果進行對比，結果如表4所示。由表4可以看出，二者差異小于3.5%，驗證了經驗公式的正確性。

表4 數值仿真與經驗公式計算等效板厚結果對比

2.1節中提到，補償模型分析過程中如果原型和模型的彈頭形式一致，那么將不會對等效結果產生影響。因此引入4種不同截徑比的彈頭，分別為尖卵形、10/105、30/105和40/105(其中前面數值代表截頂直徑，后面數值代表彈體直徑)，分別侵徹12 mm厚921A鋼和13.5 mm厚Q345鋼。他們的剩余速度如表5所示，毀傷云圖如圖11和圖12所示。

表5 不同截徑比彈頭侵徹靶板剩余速度結果對比

圖11 不同截徑比彈體侵徹921A鋼靶板的毀傷云圖

圖12 不同截徑比彈體侵徹Q345鋼靶板的毀傷云圖

由表5中數據可以看到：兩種材料靶板在對應板厚下受到侵徹沖擊作用，剩余速度差別很小，滿足等效條件。觀察圖11可以發現：隨著截頂尺寸的增加，侵徹初始階段的塞塊也隨之變大，而毀傷模式還是主體呈現出花瓣形破壞。對比圖11和圖12中兩種不同厚度的921A和Q345靶板，發現毀傷模式幾乎相同，只是撕裂過程中花瓣形狀稍有不同，因此滿足上文中有關侵徹問題無量綱π項的不同材料等效關系分析。

3 結論

本文針對截卵形彈體侵徹921A及Q345鋼靶板的等效性問題展開研究。采取數值仿真的手段對侵徹問題進行模擬，并與文獻[15]中的實驗結果進行對比驗證了其有效性。針對板材等效問題，建立起基于量綱分析的侵徹補償模型，并與后續的數值仿真計算相結合。得出以下主要結論：

1)基于剩余速度相等原則及相應的受力和毀傷分析，得到了與多種板厚的921A鋼靶板等效的Q345鋼靶板厚度。8 mm、10 mm、12 mm、14 mm和16 mm板厚的921A鋼靶板可以分別用8.9 mm、11.3 mm、13.5 mm、16.1 mm和18.9 mm板厚的Q345鋼靶板進行等效替換。

2)基于量綱分析的侵徹補償模型，引入數值計算結果獲得擬合函數關系式，如(18)式所示。此公式表明921A鋼板與Q345鋼板的板厚之比等于材料動態屈服強度反比的0.330 78次方。

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