非線性策略和不同混沌映射改進的蝴蝶優化算法

汪 敏

（貴州大學電氣工程學院，貴陽 550025）

1 引 言

群體智能算法通過模擬生物群體行為來求解復雜的優化問題，在眾多領域得到應用。蝴蝶優化算法（Butterfly Optimization Algorithm, BOA）［1］即是其中較為新穎的一種。它模擬了自然界中蝴蝶在覓食和尋偶行為中通過感知和分析空氣中的氣味，確定食物源或伴侶的潛在位置，并通過迭代獲得食物源或伴侶的最佳位置。BOA 在算法上原理簡單，易于實現，需調整的參數少［2］。相關研究表明，其收斂速度和收斂精度優于粒子群優化算法、遺傳算法、人工蜂群算法等，可用于彈簧設計等工程領域［2］。

與其他群體智能算法類似，標準BOA 也存在易陷入局部最優、收斂速度慢的不足。為了解決此類問題，提高算法性能，高文欣等提出一種基于柯西變異和自適應權重優化的BOA，改進了算法的局部搜索能力［4］，但其全局搜索能力還有待改進。高文欣等另外又提出一種基于正弦余弦算法的BOA，有效改進了全局搜索能力［5］。但文獻［4］和文獻［5］都沒有考慮種群的多樣性，因此在全局搜索方面還有可提高之處。Arora 等提出一種基于感覺模態變化的BOA，采用動態變化的感覺模態參數策略［6］，可增強收斂精度和提高收斂速度。Sharma 等提出一種基于生物共生搜索的互惠機制的改進BOA，提高了BOA 的收斂精度和收斂速度［7］。但文獻［6］和文獻［7］中的算法未考慮強度系數a 的作用，因此不能很好平衡算法的全局搜索和局部搜索能力。

基于現有研究成結果，此處提出一種新的改進方法，嘗試利用Cubic 和Logistic 映射對初始種群進行優化，并將非線性控制策略引入強度指數系數a，平衡算法的局部及全局搜索能力，提高優化性能。

2 基本蝴蝶優化算法

在BOA 中，假設所有蝴蝶都散發一些香味使蝴蝶能夠相互吸引，每只蝴蝶都會隨機移動或向最佳蝴蝶位置方向移動，并散發更多香氣，蝴蝶散發的香氣強度決定目標函數值大小。

2.1 初始化階段

設D 維搜索空間中，初始解隨機生成，其表達式為：

式中，xi表示蝴蝶群體中第i 只蝴蝶（i=1,2,…,N）的空間位置，N 表示初始解的個數；Lb、Ub分別表示搜索空間的上界和下界；o 表示（0,1）區間的隨機數矩陣，其由rand 函數生成。

2.2 感知階段

BOA 群體中每一只蝴蝶都有自己獨特的感覺和個體感知能力。蝴蝶個體所產生香味的感知強度，即香味被其他蝴蝶感知到的強度表達式為：

式中，f（x）是香味強度函數；c 為感官形態系數；I 為刺激強度；a 為強度系數，取值范圍為［0,1］。

對于感官形態系數c，理論上可取［0,∞）范圍內任意值，但在算法迭代過程中，其值由優化問題的特殊性來決定。對于標準的BOA 尋優過程，式（2）中感官形態系數c 的數學表達式為：式中，c 的初值為0.01，tmax為算法的最大迭代次數。

2.3 搜索階段

BOA 通過全局搜索策略和局部搜索策略不斷迭代獲得待優化問題最優解，并利用切換概率P 決定BOA 的搜索策略。在BOA 的全局搜索中，位置更新公式為：式中，xjt、xkt分別表示第t 次迭代第j 只蝴蝶和第k只蝴蝶的空間位置；r 的取值為［0,1］之間的隨機數；fi為第i 只蝴蝶的適應度值。

3 改進蝴蝶優化算法

3.1 基于混沌的種群初始化

混沌具有隨機性、規律性和遍歷性的特點，能維持種群多樣性和提高算法的全局搜索能力，因此被廣泛應用于提高算法搜索性能。在此選用Logistic映射和Cubic 映射來初始化種群，能夠實現比其他混沌映射更好的遍歷均勻性。

2.1.1 Logistic 混沌映射

Logistic 映射表達式為：

式中，x∈（0,1）；μ 為控制參數，取值μ∈（0,4］。為了說明μ 與映射狀態的關系，取x0=0.215，繪制其映射分布圖，如圖1 所示。

圖1 x0=0.215 時的Logistic 映射分布圖

從圖中可以看出，當參數μ=4 時，Logistic 映射具有較好的混沌效果，有利于改進算法種群的多樣性，降低算法陷入局部最優的機率，增強算法的全局搜索能力。

2.1.2 Cubic 混沌映射

標準的Cubic 混沌映射［8］函數的表達式為：

式中，α、β 為混沌影響因子，對于不同α、β 值Cubic映射的范圍也不同。一般在β∈（2.2,2）時，Cubic 映射產生的序列為混沌狀態。

此外，當α=1 時，xn∈（-2,2）；當α=4 時，xn∈（-1,1）。為了使xn∈（0,1），本改進算法使用的Cubic 映射采用如下形式：

式中，xn∈（0,1）；ρ 為控制參數。Cubic 映射的混沌性與參數ρ 的取值有很大的關系。在此，取初值x0=0.2，迭代次數均為10000，Cubic 映射的仿真結果如圖2 所示。

圖2 ρ=2.59,x0=0.2 時的Cubic 映射

從圖中可見，當ρ=2.59 時，Cubic 映射在（0,1）之間是滿映射，具有較好的混沌性。故此在以下算法尋優測試中ρ 的取值皆為2.59。

3.2 改進強度指數策略

由式（2）、式（4）和式（5）可知，強度系數a 對BOA尋優能力具有重要作用。當a=1 時，意味著沒有香味被吸收，即特定蝴蝶發出的香味可被其他蝴蝶感知，因此將縮小搜索范圍，提高算法局部探索能力；當a=0 時，意味著任何蝴蝶發出的香味不能被其他蝴蝶感知，因此群體將擴大搜索范圍，提高算法全局探索能力。在基本BOA 中，a1=0.1。a 取固定值并不能很好平衡全局和局部搜索能力，故此本優化提出一種基于正弦函數的非線性控制策略，如下式：

式中，afirst、afinal分別為控制參數的初值和終值；μ 為調節參數，Tmax為最大迭代次數，此處取Tmax=500。

對于a 的不同取值，仿真結果如圖2 所示。

圖3 不同強度系數的變化曲線

從圖2 可看出，針對強度指示系數a，采用基于正弦函數的非線性控制策略，前期的斜率較大，可加快算法的全局搜索能力；而中期斜率減小，便于進入局部搜索；后期斜率平緩，便于算法進行搜索最優解，因此表明此改進方法能夠有效平衡算法的全局搜索和局部搜索能力。

3.3 改進算法流程

兩種基于混沌理論初始化的改進BOA——基于Logistic 映射的LBOA 算法和基于Cubic 映射的CBOA 算法，具有共同的算法步驟，可歸納如下：

步驟1 設置種群的規模N，維度D，由式（6）和式（8）分別初始化種群，刺激強度I，全局更新和局部搜索的轉換概率P；

步驟2 計算每只蝴蝶個體適應度值，確定最優的蝴蝶個體g*；

步驟3 生成［0,1］之間的隨機數r，判斷r 與P值的大小，若r>P，由式（4）進行全局搜索；若r

步驟4 根據式（2）、式（9）分別計算感官形態系數c 和強度指數系數a 的值；

步驟5 判斷t 是否達到Tmax值，如果達到則結束，輸出最優解，否則返回步驟2 繼續執行。

4 實驗仿真與結果分析

4.1 基礎測試函數

為驗證LBOA 和CBOA 算法的有效性，選用表1中的8 種基準測試函數進行尋優測試。其維數D=20，并與基本BOA、GWO［9］、WOA［10］，以及各改進BOA（文獻［2］的IBOA-1、文獻［6］的IBOA-2、文獻［11］的LABOA）進行對比。F1～F5為單峰函數，主要驗證算法尋優性能和收斂速度；F6～F8為多峰函數，主要驗證算法全局優化能力、跳出局部最優值等性能。

表1 基準測試函數

4.2 實驗參數及配置

在仿真實驗中，BOA 的種群規模N 為50，最大迭代次數Tmax為500，控制參數初值afirst=0.1，終值afinal=0.2，改進的強度指數系數a 中的調節參數μ=2，切換概率P=0.6；GWO 算法、WOA 的種群規模N為50，最大迭代次數Tmax為500，算法的控制參數初值為2，終值為0。定義尋優成功率（Success Rate）為ε=10-12，當尋優結果小于該值時，認為尋優成功，反之為失敗。

實驗仿真環境為Intel Core i5，4GB RAM，Win7操作系統。仿真平臺選用MATLAB 2018a。

4.3 實驗結果分析

為驗證LBOA、CBOA 的改進效果，以8 組基準測試函數進行仿真測試實驗。對每組實驗進行20 次仿真，并對測試結果的平均值（AVE）、標準差（STD）進行統計分析，具體結果如表2 所示。

表2 各算法不同測試函數尋優仿真結果對比表

由表2 數據可以看出，與同類群體智能算法相比，采用本改進方案的強度指數系數a 控制策略，對于單峰測試函數F1～F4的尋優值，LBOA 要優于其他4 種算法（BOA、GWO、WOA、CBOA）；對于多峰測試函數F6～F8的尋優值，CBOA 要優于標準的BOA 和LBOA。此外，由于群體智能算法的本身特點，從多峰函數的測試結果來看，WOA 的尋優結果最優。

由表2 還可知，對于單峰測試函數，LBOA 的尋優效果優于CBOA；對于多峰測試函數，CBOA 的尋優效果優于LBOA。因此在實際應用中，可根據不同的場景選擇不同的優化算法。

進一步與其他各類改進BOA 進行對比，由表2還可看出，LBOA 對F1函數的尋優結果要優于IBOA-1、LABOA；對于F2～F2函數的尋優，LBOA 均優于LABOA、IBOA-2。對于F5函數的尋優，LBOA優于LABOA 和IBOA-2；對多峰測試函數的尋優，LBOA 均優于LABOA。同時，也可看到CBOA 與其他改進智能算法的差異，在大多情況下，CBOA 優于IBOA-1、LABOA、IBOA-2。

總體來說，本改進方案提出的LBOA 對單峰函數的尋優測試結果要優于其他改進算法；對于多峰測試函數，LBOA 也優于其他改進的BOA。在所設定的尋優成功率的基準下，表2 給出了各算法對8 個測試函數的平均尋優成功率，可以看出，除了對F4、F5的尋優結果未能達到設定的成功率外，其余尋優結果，本改進方案的混沌映射BOA 均能達到100%的尋優成功率。

表3 各算法尋優成功率對比

圖4 給出5 種群體智能算法的仿真結果對比。從曲線圖可見，LBOA 和CBOA 在對8 種不同測試函數的尋優過程中，收斂曲線有多處拐點，說明此處提出的混沌映射理論優化的BOA 跳出局部最優的能力得到明顯的增強。此外，改進算法在前期的收斂速度上明顯優于其他算法。

圖4 不同群體智能算法各函數收斂曲線

4.4 尋優時間分析

通過仿真，對比LBOA 算法、CBOA 算法與標準的BOA 算法、GWO 算法、WOA 算法在不同基準測試函數的尋優時間上的表現，實驗結果如表5 所示。

表5 各算法尋優時間仿真結果對比單位：s

從表中可以看出，對8 種測試函數的尋優時間CBOA 算法整體上時間較短，優于標準的BOA 算法和LBOA 算法。雖然WOA 算法的運行時間最短，但其對于測試函數F2～F4的尋優結果均較差。綜合單峰、多峰函數的測試結果來看，混沌映射改進BOA算法綜合優勢較強，能夠有效解決高維復雜數值優化的問題。

5 結 束 語

為提高蝴蝶優化算法尋優能力和收斂精度而提出的基于混沌映射的BOA 改進算法，其基本思想是通過混沌映射初始化蝴蝶種群，增加種群的多樣性，并用非線性控制策略來平衡算法的全局和局部搜索能力。通過實驗驗證可知，對于單峰測試函數，LBOA優于標準的BOA、CBOA 和GWO 算法；對于多峰測試函數，CBOA 優于標準的BOA 和LBOA。總體來看，兩種改進BOA 皆具有較好的全局搜索能力，且收斂速度和收斂精度均優于標準BOA。在后續研究中，將更多考慮混沌映射函數對群體智能算法種群多樣性的影響，分析混沌映映射改進蝴蝶優化算法的理論收斂性，應用于電力系統的負荷分解與辨識。