無限大理想介質中的萬有作用力探析

吳佳升

（包頭市中心醫院，內蒙古 包頭 014040）

0 引言

真空中宏觀物體間的作用力為萬有引力，介質中物體間的作用力未見研究報道，本文就此進行研究，為便于數學處理建立無限大理想介質模型進行經典力學研究。

1 理想介質

理想介質是任意部分都均勻、不可壓縮且萬有引力可以在其中獨立傳播的介質。

2 理論模型與推導

設無限大、密度為ρ0的理想介質中存在一體積、密度、質量分別為V1、ρ1、M1可視為質點進行受力分析的物體A，理想介質各部分保持靜止，即理想介質各部分的合力為零[1]。設與A距離為 R任意處的可視為質點進行受力分析的理想介質B，其體積、密度、質量分別為V0、ρ0、M0。a是與物體A關于B點中心對稱的理想介質。對B進行受力分析，只有A與a對B的萬有引力不等,其余空間各點在空間有對稱點且密度相等，故除A和a外其余各點對B的作用力的合力為零。a的質量為Ma，體積V1，密度為ρ0，B所受萬有引力合力（見圖1）即A、a對B的萬有引力合力為（假設FA的方向為正方向，下同）：

圖1 B 受萬有引力合力圖

若當ρ1≠ρ0時，FA-a≠0，B仍保持靜止，則B 所受合力為0，此時B應受理想介質另一個力Fa-A=-FA-a，Fa-A為A、a作用于B以外理想介質而對B產生的作用力fA、fa的合力（見圖2），我們稱fA、fa為A、a作用于理想介質的點浮力（Buoyancy of gravitation），則B所受的合力FB合為：

圖2 B 受點浮力合力圖

M1的質量大小和體積發生變化時，（3）式恒成立。

當M1的體積一定時K為常數，又因為fA為A作用于介質而對B的作用力，當FA趨于0時fA趨于0，則K=0，故有

亦可以這樣理解，理想介質中物體A靜止，理想介質各部分保持靜止，即理想介質各部分的合力為零。可以等效理解為理想介質中任意一點X對B的萬有引力FB存在一個與FB大小相等方向相反的力fB來平衡，即fB=-FB，這個力fB稱為X對B的點浮力[2]。

因Fa=-fa

即fA=-G0MAM0/R2=-G0M1ρ0V0/R2與（4）式相同。

由（4）式知，A對B的點浮力記作fA-B，其與A的質量、介質的密度、B排開介質的體積的乘積成正比，與A、B的距離平方成反比，比例系數為G0。

FfA、FfB大小相等方向相反，視為理想介質中一對作用力與反作用力，定義為理想介質中物質間的萬有作用力，符號Ff。令MjA=(ρ1-ρ0)V1和MjB=(ρ2-ρ0)V2為A、B的凈質量[3]。

3 結果

（1）理想介質中A所受萬有引力的數學表達式為

B所受萬有引力的數學表達式為

（2）理想介質中A所受點浮力的數學表達式為

理想介質中B所受點浮力的數學表達式為

（3）理想介質中萬有作用力的數學表達式為

4 討論

無限大理想介質中，A、B所受萬有引力合力的數學表達式是不相同的，不再是一對作用力與反作用力；A、B所點受浮力的數學表達式也不相同，也不是一對作用力與反作用力；只有A、B所受萬有引力和點浮力的合力（萬有作用力）大小相等方向相反，為理想介質中一對作用力與反作用力，可表現為引力或斥力的形式[4-5]。

（1）當ρ1=ρ0或ρ2=ρ0時Ff=0無萬有作用力；

（2）當ρ1＞ρ0且ρ2＞ρ0或ρ1＜ρ0且ρ2＜ρ0時Ff＞0，A，B表現為引力；

（3）當ρ1＞ρ0且ρ2＜ρ0或ρ1＜ρ0且ρ2＞ρ0時Ff＜0，A，B表現為斥力；

（4）當ρ0=0時為真空中的萬有引力定律F=G0M1M2/R2；

（5）如果真空的密度不為零，即到現在測得的各種質量都是相對真空的凈質量。

5 結語

（1）萬有作用力公式適用于無限大理想介質或可視為無限大理想介質（介質占空間遠大于以作用的兩物體間距離為半徑形成的空間）中可視為質點進行受力分析的兩物體間的作用力。

（2）萬有作用力（Ff）的大小與兩物質的凈質量的乘積成正比，與兩物質間的距離平方成反比，比例常數G0，Ff＞0表現為引力，Ff＜0表現為斥力，即凈質量大于0的物體間的作用力表現為引力，凈質量小0的物體間的作用力也表現為引力，凈質量大于0的物體與凈質量小0的物體間的作用力表現為斥力。萬有引力是介質密度為0時的萬有作用力。