基于改進(jìn)EOQ模型的進(jìn)料批量控制的研究

聶景峰，李立紅

（1.山西太鋼不銹鋼股份有限公司煉鋼二廠，山西 太原 030001；2.北京科技大學(xué)，北京 100083）

0 引言

利潤(rùn)最大化是每個(gè)企業(yè)的最終目標(biāo)。要想獲得更大的利潤(rùn)，企業(yè)應(yīng)該對(duì)生產(chǎn)的各個(gè)環(huán)節(jié)追求精益求精，從而盡可能地降低成本或增加收入。進(jìn)料作為金屬冶煉企業(yè)生產(chǎn)的必要環(huán)節(jié)，其進(jìn)料批量的大小直接關(guān)系著企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，然而大多數(shù)企業(yè)往往對(duì)該環(huán)節(jié)不夠重視，僅僅是以滿足生產(chǎn)需要為目的并根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行進(jìn)料。因此通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型并科學(xué)的求解最優(yōu)進(jìn)料批量對(duì)于提高企業(yè)生產(chǎn)效益有重要意義。經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型是在一定的理想化條件下通過(guò)定量的分析總費(fèi)用從而確定最優(yōu)訂貨批量，受限于一定的理想化條件該模型的應(yīng)用范圍得到限制。本文將在傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合進(jìn)料的實(shí)際情況進(jìn)行改進(jìn)建立進(jìn)料批量數(shù)學(xué)模型，這對(duì)于金屬冶煉企業(yè)的進(jìn)料環(huán)節(jié)具有借鑒與指導(dǎo)意義。

1 現(xiàn)狀及存在問(wèn)題

某金屬公司冶煉某種鋼材需要不同數(shù)量的多種金屬原料，為保證生產(chǎn)的連續(xù)性與均衡性，該公司需要提前進(jìn)來(lái)一定數(shù)量的原料進(jìn)行儲(chǔ)備，在進(jìn)料量一定時(shí)，進(jìn)料批量過(guò)多不僅會(huì)增加存儲(chǔ)成本，而且存儲(chǔ)量過(guò)多時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致原料受損，從而造成浪費(fèi)。而進(jìn)料批量過(guò)少又可能導(dǎo)致廠家短期內(nèi)無(wú)法滿足生產(chǎn)的需要，影響生產(chǎn)的連續(xù)性，造成停產(chǎn)損失，甚至廠家因無(wú)法按期交貨需支付購(gòu)方賠償。因此，在進(jìn)料時(shí)間已知的情況下，確定一個(gè)合理的進(jìn)料量，對(duì)于提高公司的經(jīng)濟(jì)收益有重要意義[1]。

目前，該公司采用的進(jìn)料批量確定方法為根據(jù)往常進(jìn)料經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行人為進(jìn)料批量的確定。具體方法為：在已知進(jìn)料時(shí)間的前提下，根據(jù)月訂單量確定每周不同原料的需求量，以每周為單位進(jìn)行進(jìn)料。該種方法下的進(jìn)料周期（該種原料的一個(gè)進(jìn)料周期為兩次進(jìn)料間隔的時(shí)期）及進(jìn)料批量沒(méi)有經(jīng)過(guò)科學(xué)的計(jì)算，也未考慮在進(jìn)料過(guò)程中的一些限制因素，給進(jìn)料過(guò)程帶來(lái)了麻煩并造成了一部分不必要的成本損耗。為提高進(jìn)料的效率與經(jīng)濟(jì)收益，本文從進(jìn)料總成本最小的角度出發(fā)，綜合考慮運(yùn)輸、存儲(chǔ)與生產(chǎn)過(guò)程的限制因素，建立進(jìn)料批量數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解函數(shù)從而可以得到最優(yōu)的進(jìn)料批量。

2 進(jìn)料批量數(shù)學(xué)模型的建立與求解

以該公司生產(chǎn)一種鋼材所需要的一種原料進(jìn)行進(jìn)料批量模型建立并求解。

2.1 假設(shè)條件

（1）該公司一個(gè)進(jìn)料周期內(nèi)對(duì)該種鋼材的需求量服從正態(tài)分布。（2）訂料的費(fèi)用與訂料的多少無(wú)關(guān)。（3）運(yùn)料的費(fèi)用與運(yùn)輸量成正比例。（4）該種原料的最大庫(kù)存為無(wú)限大。（5）該種原料只作為該種鋼材的成分使用，不作其他用途。（6）進(jìn)料的提前期為已知常量。

2.2 變量表示[2]

2.3 模型建立

已知該公司每月份該種鋼材的生產(chǎn)量為D0，該種鋼材所含該種原料的有效成分比例為α，該種原料的收得率為β，則該種原料的月需求量為：

該種原料在進(jìn)料周期內(nèi)的使用量服從均值為Q（可根據(jù)下文所建數(shù)學(xué)模型求解得到）、尺度參數(shù)為σ（大小取決于實(shí)際生產(chǎn)）的概率分布，其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布為

圖1 原料使用量的概率密度函數(shù)

為滿足一定的服務(wù)水平，需使原料庫(kù)存滿足生產(chǎn)需求的概率η大于一定值，一般取0.95，因此可以得出在原料庫(kù)存滿足生產(chǎn)需求的概率為0.95時(shí)的安全庫(kù)存[3]為

該種原料一個(gè)月內(nèi)的持有費(fèi)用為

其中安全庫(kù)存的持有費(fèi)用

該種原料一個(gè)月內(nèi)的運(yùn)輸費(fèi)用為

該種原料一個(gè)月內(nèi)的訂料費(fèi)用為

所以一個(gè)月內(nèi)的總費(fèi)用為

H、σ、α、β、S、T0、D0均為已知量。

2.4 模型求解

此時(shí)的Q為最優(yōu)解，此時(shí)總費(fèi)用最小

在總進(jìn)料量一定的情況下，隨著進(jìn)料批量的不同，各個(gè)費(fèi)用的變化圖2所示，從圖中可以看出，隨著Q的增大，訂料費(fèi)用單向遞減，持有費(fèi)用單向遞增，運(yùn)輸費(fèi)用為總運(yùn)輸量的函數(shù)始終為定值，通過(guò)計(jì)算可得當(dāng)訂料費(fèi)用與持有費(fèi)用相等時(shí)，此時(shí)總費(fèi)用最小，此時(shí)得到的進(jìn)料批量為最優(yōu)進(jìn)料批量[4]。

圖2 不同進(jìn)料批量下的費(fèi)用

3 模型可行性分析

本文假設(shè)進(jìn)料批量模型前提條件為該原料的使用速率為一定值，但在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，由于受天氣、工人生產(chǎn)積極性、意外因素等的影響，該原料的使用率為變量，因此需要討論在這種情況下該模型是否仍然適用。

同時(shí)，本文假設(shè)了該原料的最大庫(kù)存量為無(wú)限大，但在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，這種現(xiàn)象并不存在，因此，需要討論在最大庫(kù)存量為定值的情況下進(jìn)料批量的確定策略。

（1）原料的實(shí)際消耗量為變值。因?yàn)閷?shí)際情況中原料的使用速率并非恒定，因此實(shí)際情況與建立的數(shù)學(xué)模型有一定誤差，如下圖。

圖3 實(shí)際進(jìn)貨與理想進(jìn)貨的對(duì)比

從上圖可以看到，實(shí)際的用料量可能比預(yù)期的少或多，而理想預(yù)期為原料使用率為一定值，實(shí)際情況比理想情況更加復(fù)雜，因此模型建立并非準(zhǔn)確，但是由于該模型合理設(shè)計(jì)了安全庫(kù)存，通過(guò)調(diào)整η可保證所需要的生產(chǎn)原料需求率，且該模型建立簡(jiǎn)單，易于求解，所以模型可以在滿足實(shí)際生產(chǎn)的需求求得最優(yōu)的進(jìn)料量[5]。

（2）最大庫(kù)存的限制。前文假設(shè)該種原料的庫(kù)存量沒(méi)有限制，但實(shí)際情況中，庫(kù)房的大小是有限制的，因此進(jìn)料量受限于庫(kù)存量，此時(shí)的調(diào)整策略為如下：根據(jù)最大庫(kù)存量以及現(xiàn)有庫(kù)存計(jì)算出最大進(jìn)料批量Q1（Q1'），根據(jù)上述模型計(jì)算出最優(yōu)進(jìn)料量Q2，從圖中可以看出，若Q2小于Q1（Q1'），取進(jìn)貨批量為Q2，若Q2大于Q1（Q1'），取進(jìn)貨量為Q1（Q1'），此時(shí)進(jìn)料次數(shù)大于最優(yōu)進(jìn)料批量下的進(jìn)料次數(shù)，具體進(jìn)料量如圖4所示。有最大庫(kù)存量限制的不同進(jìn)料批量下的費(fèi)用圖5所示。

圖4 有庫(kù)存限制時(shí)的進(jìn)料批量

圖5 不同進(jìn)料批量下的費(fèi)用

4 模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)

本文借鑒經(jīng)濟(jì)批量訂貨模型EOQ的最優(yōu)訂貨量的確定方法，建立了某種原料的進(jìn)料批量模型，通過(guò)使得運(yùn)輸費(fèi)用、持有費(fèi)用以及訂料費(fèi)用之和最小，求解出最優(yōu)進(jìn)料批量。對(duì)比傳統(tǒng)的根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)確定進(jìn)料量的方法，本文建立的進(jìn)料批量模型不僅減小了總的費(fèi)用，提高了該企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，同時(shí)減少了庫(kù)存量的堆放，一定程度上減少了產(chǎn)品的浪費(fèi)。相比于傳統(tǒng)的EOQ模型，本文不僅增加了安全庫(kù)存量的設(shè)置及確定方法，可避免因庫(kù)存不足造成停產(chǎn)等現(xiàn)象的發(fā)生，而且考慮了實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中可能遇到的原料使用速率的不確定及最大庫(kù)存的限制等現(xiàn)實(shí)因素，并給出了相應(yīng)的解決方法。

5 結(jié)語(yǔ)

總之，該模型也有一定的不足之處，比如該模型簡(jiǎn)化了生產(chǎn)的過(guò)程，沒(méi)有考慮實(shí)際生產(chǎn)中的鋼材需求量、交貨期的改變，從而引起的原料需求量的改變。同時(shí)，本文也沒(méi)有考慮停產(chǎn)成本，因此模型計(jì)算出的最優(yōu)進(jìn)料量與實(shí)際最優(yōu)進(jìn)料量間存在誤差。因此，若想將獲得更精準(zhǔn)的進(jìn)料批量還需要結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)情況進(jìn)一步增加變量從而優(yōu)化模型。