翼型激波抖振的無模型自適應(yīng)控制

任 凱，高傳強，*，張偉偉

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；2. 流體力學(xué)智能化國際聯(lián)合研究所，西安 710072)

0 引言

流動控制的目的是通過應(yīng)用合適的執(zhí)行機構(gòu)來實現(xiàn)某種隨時間和空間變化的期望目標(biāo)函數(shù)[1]，目標(biāo)包括減阻[2]、減振[3]、噪聲抑制[4]等。流動控制通常分為被動控制和主動控制。被動控制的設(shè)計和制造成本低，但一經(jīng)設(shè)計制造完成，便不能根據(jù)系統(tǒng)所處環(huán)境的變化進行調(diào)整，因此它的缺點是可能會對非設(shè)計狀態(tài)的流場帶來不利影響，而且對不穩(wěn)定流動的控制作用有限。主動控制通過在主流中直接注入合適的能量，與主流耦合來達到控制目的[5]。主動控制通常根據(jù)是否含有反饋回路分為閉環(huán)控制（也被稱為反饋控制）和開環(huán)控制。開環(huán)控制指控制系統(tǒng)與被控流場之間只有正向作用沒有反向聯(lián)系的控制過程，其控制信號往往是預(yù)先給定的，顯然沒有充分利用主動控制能對流動變化作出響應(yīng)的潛力；而閉環(huán)控制利用流場與期望流場的偏差進行反饋，實時計算控制量，通常能夠以較小的能量消耗獲得最優(yōu)的控制結(jié)果。

目前大多數(shù)的閉環(huán)流動控制都屬于基于模型的控制（model-based control, MBC）方法，如抑制鈍體后緣的不穩(wěn)定渦脫[6-7]、控制空腔中的不穩(wěn)定流動[8-9]、抑制跨聲速抖振中的脈動載荷[10]、湍流轉(zhuǎn)捩控制[11]等。但由于流動環(huán)境中不可避免地存在擾動，這會導(dǎo)致流動狀態(tài)發(fā)生改變，流動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也會發(fā)生改變，這就需要重新建立其數(shù)學(xué)模型，給控制工作帶來難以預(yù)計的困難，因為復(fù)雜流動的降階與建模本就是流體力學(xué)領(lǐng)域極具挑戰(zhàn)性的課題。而采用數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)控制，可以擺脫控制器設(shè)計對被控流動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的依賴，進而也避免了上述與建模相關(guān)的難題。數(shù)據(jù)驅(qū)動控制（data-driven control，DDC）[12]是指控制器設(shè)計僅利用被控系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)據(jù)，而不顯含其數(shù)學(xué)模型的控制方法。數(shù)據(jù)驅(qū)動的流動控制方法已經(jīng)逐漸成為流動控制領(lǐng)域的研究熱點[13-15]。

為了避免遇到基于模型的流動控制中的問題，本文以激波抖振流動為對象來開展數(shù)據(jù)驅(qū)動控制。抖振是指結(jié)構(gòu)在流體中由于不穩(wěn)定分離流的激勵所引起的強迫振動，機翼繞流中的激波抖振問題就是典型的代表，其核心是不穩(wěn)定繞流形成的激勵載荷。由于這種不穩(wěn)定流動本身與結(jié)構(gòu)是否運動無關(guān)，因此，激波抖振的研究主要采用剛性模型[16-17]。在跨聲速流動中，當(dāng)來流狀態(tài)（馬赫數(shù)和迎角）滿足一定條件后，激波抖振就會發(fā)生，并伴隨有激波的自激振蕩和氣動載荷的脈動，也經(jīng)常被稱為跨聲速抖振。針對剛性模型的激波抖振流動控制是流體力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點之一，研究者們采用了多種控制方法來抑制激波抖振中的脈動載荷。目前的控制方案主要是利用主動或者被動控制機構(gòu)來對從激波到翼型后緣的流動進行調(diào)控[18]。主要的控制方式有附面層凹槽[19]、控制鼓包[20]、渦流發(fā)生器[21]、尾緣偏轉(zhuǎn)裝置[22]等。上述控制方法能夠部分降低抖振脈動載荷或縮小抖振發(fā)生的來流狀態(tài)范圍，但其局限性在于，僅能針對特定抖振狀態(tài)，不能自動適應(yīng)不同的流動狀態(tài)，且部分控制手段不能完全抑制抖振載荷。

為完全抑制激波抖振的脈動載荷，并使控制律在來流狀態(tài)發(fā)生改變時具有較強的魯棒性，本文以NACA0012翼型為模型，采用基于S-A湍流模型的URANS方法，以尾緣舵面為執(zhí)行機構(gòu)，探索基于時域仿真數(shù)據(jù)設(shè)計無模型自適應(yīng)控制策略，實現(xiàn)對激波抖振脈動載荷的抑制。

1 激波抖振流動控制系統(tǒng)

1.1 流動數(shù)值仿真方法

本研究中，數(shù)值仿真采用基于有限體積方法的URANS求解程序。二維可壓縮URANS控制方程可以表示為：

其中W為守恒變量，F(xiàn)i(W,Vgrid)為無黏通量，F(xiàn)v(W)為黏性通量，Vgrid為網(wǎng)格運動速度，Ω為控制體，?Ω為控制體邊界，n為邊界外法線方向單位向量。

引入S-A湍流模型封閉雷諾平均方程，湍流和平均流動的空間離散和時間積分采用弱耦合方式。無黏通量采用AUSM+UP二階格式離散和最小二乘重構(gòu)格式，黏性通量采用二階中心格式離散。在湍流模型中，對流項采用AUSM格式離散，耗散項采用二階中心格式離散。在進行非定常流動仿真過程中，采用雙時間推進求解控制方程，偽時間迭代采用四階龍格庫塔推進[22-23]。

翼型表面采用無滑移邊界條件，遠場采用無反射黎曼邊界條件。針對數(shù)值仿真過程中翼型舵面的偏轉(zhuǎn)運動，采用徑向基函數(shù)插值的動網(wǎng)格方法實現(xiàn)流動控制過程中網(wǎng)格坐標(biāo)的更新[24]。

研究算例采用NACA0012的激波抖振算例，計算域為如圖1所示的非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格，圖2為計算得到的抖振始發(fā)邊界，可以看出與實驗結(jié)果[25]基本相符。

圖1 NACA0012翼型計算網(wǎng)格Fig. 1 Computational grid of the NACA0012 airfoil

圖2 激波抖振始發(fā)邊界的比較Fig. 2 Comparison of the onset boundary of shock buffet

1.2 控制系統(tǒng)建立

研究的控制對象為NACA0012翼型，如圖3所示。閉環(huán)控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)為翼型尾緣舵面，舵面長度為0.2倍弦長（c），其中α為來流迎角。控制系統(tǒng)輸出的控制量為舵偏角β，反饋信號為升力系數(shù)。升力系數(shù)由壓力分布積分得到，光滑性較好，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。對于真實機翼結(jié)構(gòu)，升力與翼根彎矩成正比，而翼根彎矩可以通過應(yīng)變片測量得到。

圖3 研究模型示意圖Fig. 3 Schematic diagram of the research model

2 激波抖振無模型自適應(yīng)控制

2.1 無模型自適應(yīng)控制

無模型自適應(yīng)控制[26]是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的控制方法。它的基本思路是，在每個時刻，基于偽偏導(dǎo)數(shù)（pseudo partial derivative，PPD）將離散時間非線性系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)化為基于系統(tǒng)輸入/輸出的動態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型。不用建立流動系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，利用流動系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)據(jù)在線估計系統(tǒng)偽偏導(dǎo)數(shù)，然后最小化給定的性能指標(biāo)，來實現(xiàn)流動系統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)控制。

研究中的激波抖振流動系統(tǒng)可以用如下單輸入單輸出離散時間非線性系統(tǒng)描述：

其中CL(k)和β(k)分別表示系統(tǒng)在k時刻的輸出升力系數(shù)和輸入舵偏角，ni、no分別為未知的輸入/輸出延遲階數(shù)，f為描述升力系數(shù)與舵偏角之間關(guān)系的未知非線性函數(shù)。

基于PPD將上述流動系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)化為如下動態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型：

其中φ(k)為系統(tǒng)(2)的PPD。由系統(tǒng)歷史輸入/輸出數(shù)據(jù)估計得到，通過最小化如下函數(shù)：

得到偽偏導(dǎo)數(shù)的估計算法（其中μ>0為權(quán)重因子）：

η∈(0,1]是加入的偽偏導(dǎo)數(shù)更新步長，目的是使該算法具有更強的靈活性，本文中均取η= 1。

為了消除激波抖振流動的脈動載荷，提高流動穩(wěn)定性，考慮如下性能指標(biāo)：

結(jié)合動態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型（3）最小化性能指標(biāo)（6）得到控制律為：

綜上，得到控制系統(tǒng)框圖如圖4所示，框圖中的上半部分的回路1為自適應(yīng)回路，表示自適應(yīng)律利用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)在線估計偽偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時對控制器參數(shù)進行調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)工作在最優(yōu)或接近最優(yōu)的狀態(tài)。下半部分的回路2為一般反饋回路，通過最小化性能指標(biāo)得到。

圖4 無模型自適應(yīng)控制系統(tǒng)框圖Fig. 4 Block diagram of MFAC

2.2 固定來流狀態(tài)

對于NACA0012翼型的激波抖振流動，Ma= 0.7、Re= 3×106時，該翼型脈動載荷最大的狀態(tài)[22]為α=5.5°，因此本文首先選擇該狀態(tài)為控制對象。利用上文中的流動數(shù)值仿真方法仿真該無模型自適應(yīng)控制律的控制效果。圖5為在t= 50時施加控制后，升力系數(shù)與舵偏角的時間歷程?？梢钥闯觯词┘涌刂茣r，由于激波附面層干擾，激波抖振發(fā)生，存在著大幅的升力脈動，施加控制后，升力脈動迅速消失，并且舵偏角也恢復(fù)到初始的0°。

圖5 升力系數(shù)和舵偏角時間歷程Fig. 5 Time history of the lift coefficient and the trailing-edge flap angle

定義調(diào)節(jié)時間為從控制施加時刻到載荷脈動幅值降至未施加控制的載荷脈動幅值2%以下的時間，穩(wěn)態(tài)控制效果為載荷脈動幅值減小的比例。在采用相同控制機構(gòu)的情況下，無模型自適應(yīng)控制與文獻中的開環(huán)控制[27]（舵面諧振）、比例控制[28]的調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)控制效果對比見表1。從表中可以看出，無模型自適應(yīng)控制在調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)控制效果方面均優(yōu)于文獻中的開環(huán)控制和比例控制。

表1 不同控制方案對比Table 1 Comparison of different control strategies

對于非線性的激波抖振流動系統(tǒng)，在流場從不穩(wěn)定定常流場逐漸發(fā)展到極限環(huán)的過程中，分別選取不同時刻（t= 40、t= 80、t= 150）開啟控制，如圖6所示?？梢钥闯?，無模型自適應(yīng)控制在非線性流動發(fā)展的不同階段均能快速抑制脈動載荷，使流場逐漸恢復(fù)為不穩(wěn)定定常流場。

圖6 不同時刻施加控制升力系數(shù)響應(yīng)Fig. 6 Lift coefficient response for the control turned on at different time instances

OAT15A翼型也是常用的激波抖振研究對象，它與NACA0012翼型的激波抖振相同，均由激波附面層干擾引起。因此，我們利用針對NACA0012翼型抖振設(shè)計的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制律來抑制OAT15A翼型，來流狀態(tài)為Ma= 0.73、α= 3.7°。由于兩個不同翼型抖振的動力學(xué)特性相似，而數(shù)據(jù)驅(qū)動的無模型自適應(yīng)控制又不依賴流動系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，而是在線利用系統(tǒng)輸入/輸出數(shù)據(jù)調(diào)節(jié)控制律參數(shù)，使其工作在最優(yōu)或者接近最優(yōu)的狀態(tài)。因此，可以預(yù)見如圖7所示的控制結(jié)果，原控制律依然能夠快速消除抖振脈動載荷，使得流場逐漸恢復(fù)到該來流狀態(tài)對應(yīng)的不穩(wěn)定定常流場。

圖7 升力系數(shù)和舵偏角時間歷程Fig. 7 Time history of the lift coefficient and the trailing-edge flap angle

2.3 時變來流狀態(tài)

當(dāng)被控對象的工作環(huán)境發(fā)生變化后，自適應(yīng)控制應(yīng)能根據(jù)環(huán)境變化對控制器參數(shù)進行調(diào)節(jié)，以獲得期望的控制性能。令來流馬赫數(shù)固定為Ma= 0.7，來流迎角按式（8）規(guī)律連續(xù)變化，如圖8（a）所示。

圖8 來流狀態(tài)、升力系數(shù)和舵偏角時間歷程Fig. 8 Time history of the freestream state, lift coefficient and trailing-edge flap angle

沒有開啟控制時，升力系數(shù)變化如圖8（b）中虛線所示，隨著迎角的改變，升力系數(shù)均值和脈動幅值也在逐漸變化，其中不乏有大幅升力脈動出現(xiàn)。在t=50時，對系統(tǒng)開始控制，翼型升力系數(shù)和舵偏角時間歷程如圖8（b）和8（c）所示，開始控制時，控制系統(tǒng)也以較大的舵偏角快速抑制升力脈動，此后，即使來流狀態(tài)發(fā)生改變，控制系統(tǒng)也能夠以小幅舵偏角使流場平穩(wěn)過渡，不再出現(xiàn)大的脈動載荷。

3 結(jié) 論

本文針對NACA0012翼型的抖振流動，采用無模型自適應(yīng)控制來抑制抖振脈動載荷?？刂破饕砸硇蜕ο禂?shù)作為反饋信號，作動機構(gòu)采用尾緣舵面，通過對控制律進行時域仿真，可以發(fā)現(xiàn)該控制策略能夠自動適應(yīng)時變的來流狀態(tài)，并且都能完全消除抖振脈動載荷。通過與已有文獻中的結(jié)果對比，本文中的無模型自適應(yīng)控制在調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)控制效果方面均優(yōu)于開環(huán)控制和比例控制。

為了解決流動自適應(yīng)控制面臨的問題，采用了數(shù)據(jù)驅(qū)動的控制方法，該方法利用流動系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)據(jù)，將流動系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)化為動態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型，然后針對此動態(tài)線性模型設(shè)計控制器，最小化給定性能指標(biāo)。由于無模型自適應(yīng)控制不依賴流動的精確數(shù)學(xué)模型，能夠擺脫控制器設(shè)計對流動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的依賴，所以也避免了與建模孿生的一系列難題。

基于精確流動模型的閉環(huán)控制可以獲得最優(yōu)的控制效果，揭示出流動控制的物理機理，但當(dāng)流動系統(tǒng)精確的線性模型難以建立或流動狀態(tài)發(fā)生變化導(dǎo)致其數(shù)學(xué)模型改變，數(shù)據(jù)驅(qū)動控制則有潛力成為一種更實用的方法。