基于SRCKF的帶有乘性相關噪聲的濾波方法研究*

沈念如

（南京理工大學 南京 210094）

1 引言

現階段，卡爾曼濾波器（Kalman Filter，KF）［1～2］是在目標實時跟蹤系統中應用最為廣泛的一種方法，傳統卡爾曼濾波只適用于線性系統，而對于非線性目標跟蹤領域［3］，擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）［4］是對非線性函數進行一階泰勒級數展開并忽略高階項，在非線性特性較強的時候，不可避免會引入較大地線性化誤差以至于會造成濾波發散。無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）［5～6］利 用 無 跡 變 換（Unscented Transform，UT）在估計點附近確定采樣點，對非線性分布的統計量具有較高的計算精度，然而UT變換需要對矩陣進行喬利斯基分解容易導致算法停滯。平方根容積卡爾曼濾波（Square Root Cubature Kalman Filter，SRCKF）［7～9］采用協方差矩陣的三角分解因子代替協方差矩陣進行遞推更新，成功避免了非正定矩陣喬利斯基分解的問題。然而隨著非線性系統規模和復雜性的擴大，由于各種難以測量的干擾，不確定的傳輸時延和損失廣泛的存在，其中之一便是隨機乘性噪聲，廣泛存在于系統的工程應用當中。針對具有此類乘性相關噪聲［10，13］的非線性系統結合SRCKF濾波框架，可以有效地提高濾波地精度。

2 非線性濾波方法

2.1 擴展卡爾曼濾波

EKF算法是建立在線性卡爾曼濾波基礎上，其主要思想是對非線性系統模型圍繞濾波值做Taylor級數展開并略去二階及以上的高階項，得到一個近似的線性化的系統模型，然后對該模型做線性化求解。系統的離散非線性狀態及觀測模型如下：

其中wk∈Rn，vk∈Rm分別表示為過程噪聲和觀測噪聲，且它們為互不相關的均值為零，協方差分別為Qk和Rk的高斯白噪聲序列，Xk∈Rn，Yk∈Rm分別為k時刻狀態向量和觀測向量，f(·)和h(·)分別為非線性狀態運動方程和非線性觀測方程。應用線性Kalman濾波原理其遞推步驟如下所示：

1）先驗狀態一步預測：

2）先驗狀態一步預測誤差協方差：

3）觀測一步預測：

4）卡爾曼濾波增益：

5）后驗狀態更新：

6）后驗狀態誤差協方差：

不難看出，EKF遞推算法公式與線性Kalman濾波公式近乎一致，只不過EKF的非線性運動方程和觀測方程因為一階線性化，導致系統模型使用Jacobian矩陣代替狀態轉移矩陣和觀測矩陣；此外EKF算法是對非線性函數進行一階Taylor級數展開并忽略高階項，在非線性特性較強的時候，不可避免會引入較大地線性化誤差以至于會造成濾波發散。

2.2 改進SRCKF濾波

基于乘性相關噪聲的平方根濾波方法，首先要建立帶有乘性相關噪聲的離散非線性系統模型［11～12］，如式（8）所示。

其中f(·)和h(·)分別為非線性狀態方程和觀測方程，xk∈Rn，yk∈Rm分別為系統的k時刻狀態向量和觀測向量，wk∈Rn，vk∈Rm為互不相關的過程噪聲和觀測噪聲離散序列，分別服從零均值方差為Qk和Rk的高斯分布，ξk∈R1為k時刻乘性噪聲，服從零均值方差為Uk的高斯分布，且ξk和vk互相關，互相關協方差矩陣為Gk，Γ為已知常數。

若X和Y滿足聯合高斯分布，根據相關理論知識，則其條件概率也滿足高斯分布，其均值和協方差如式（9）所示，由于狀態模型和觀測模型中乘性噪聲與觀測噪聲互相關，由此考慮乘性噪聲和觀測序列在聯合高斯分布情況下，其條件概率的分布也滿足高斯分布，其均值M和方差J如式（10）所示。

由式（10）可知M∈R1，J∈R1，因此在已知k時刻后驗觀測條件下的狀態濾波值x?k|k以及誤差協方差值Pk|k，來預測k+1時刻的估計值，如式（11）所示：

其中協方差估計值Pk+1|k的系數 (1+2ΓMk+Γ2Jk)∈R1，則對于離散非線性系統改進的SRCKF算法，具體步驟如下：

1）初始化

其中chol(·)表示對矩陣進行喬利斯基分解。

2）時間更新

若k時刻系統后驗狀態估計量為，狀態估計誤差協方差平方根因子為Sk|k，過程噪聲誤差協方差矩陣Qk，觀測噪聲誤差協方差矩陣Rk，觀測向量yk，乘性噪聲和觀測噪聲互協方差Gk，乘性噪聲方差Uk，則一步狀態預測值和協方差平方根因子為

對于n維狀態變量，其容積點集，權重W(i)以及[1]i定義如下：

其中m=2n為容積點個數，表示對于三階球面徑向容積規則，采樣容積點數為狀態向量維度的兩倍，[1]i表示第i個容積點向量，m在此又可表示為列向量的個數，每個容積點的向量維度與狀態變量維度相同，κ(i)表示選取的m個容積采樣點和分別表示先驗狀態向量估計值和先驗誤差協方差平方根估計矩陣，sqrt(·)為求平方根函數，qr(·)表示對矩陣進行QR分解，如式（15）所示Mk和Jk表示k時刻乘性噪聲在觀測序列條件下的乘性噪聲均值和協方差。

3）觀測更新

其中ε(i)表示根據先驗狀態向量估計值和先驗狀態誤差協方差平方根估計值產生觀測方程的m個容積采樣點（m=2n），δk+1|k(i)觀測方程的非線性傳播，和?分別表示觀測向量估計值和觀測誤差協方差平方根因子估計值表示狀態向量和觀測向量估計的誤差互協方差值。

其中Kk+1為卡爾曼增益，和分別為后驗狀態向量估計值和后驗誤差協方差平方根因子估計值。

3 仿真分析

為了驗證改進SRCKF濾波方法在乘性噪聲條件下的性能，本仿真實驗對比了EKF、SRCKF、SRUKF濾波方法，以均方根誤差作為衡量標準，仿真實驗添加了均方根值為1.8m的距離誤差，1.8°的角度誤差，0.9m/s的速度誤差，且運動模型添加了均方根值為0.012的乘性噪聲誤差，且與觀測噪聲的互協方差為（0.025，0.0166，0.0125），實驗過程中采用勻加速運動模型和雷達系統觀測模型［14］，雷達觀測到的目標初始徑向距離為20m，方位角為30°，速度為10m/s，運動模型分別在x和y方向上添加初始加速度為（2m/s，3.5m/s），目標運動方程f(·)和觀測方程h(·)參照式（18）所示。

其中采樣周期dt本例設置為0.02，如圖1（a）和（b）所示采樣點數為350個x，y方向上距離，速度，加速度的均方根誤差曲線，圖2（a）和（b）所示為x，y方向上距離維上15000次蒙特卡洛濾波實驗均方根誤差，可以看出改進SRCKF濾波算法均方根誤差較其它濾波算法有更好的實驗精度，統計結果如表1所示，基于乘性相關噪聲的改進SRCKF濾波算法，在對復雜背景下受乘性相關噪聲影響的系統，相較于傳統的SRCKF算法在x方向上距離、速度、加速度的濾波精度分別提高了77.5%，41.0%，12.3%，y方向上則分別提高了77.6%，20.7%，54.8%，具有較好的濾波精度。

表1 EKF、SRCKF、SRUKF和改進SRCKF濾波算法均方根誤差統計表

圖1 x，y方向上均方根誤差曲線圖

圖2 x，y方向上15000次蒙特卡洛均方根誤差實驗

4 結語

本文介紹了幾種典型的非線性濾波算法，簡單闡述其優缺點，并推導了在乘性相關噪聲條件下的改進SRCKF濾波方法實現，最后通過仿真實驗，對四種濾波算法的性能進行了對比分析，結果表明在隨機的乘性相關噪聲條件下，改進的SRCKF濾波精度更高，可應用于復雜環境下的目標跟蹤。