基于高斯牛頓算法的媒質寬帶電磁參數數值擬合

空軍預警學院 王駿哲 陳柯宇 張俊哲 張豐

高斯迭代法是非線性回歸模型中求回歸參數進行最小二乘的一種迭代算法。將測得的人的血液的介電特性的實驗數據用Hurt建立的二階Debye模型進行擬合,發揮最小二乘法良好的擬合特性和高斯牛頓迭代法較快的收斂速度,采用最小二乘法——高斯牛頓迭代法,求解模型中的未知參數并驗證擬合效果。本文證明了該算法的可行性。結果可以幫助人們預測1MHz～10GHz頻率范圍內重要生物組織的介電特性,有利于人們對介電常數和電導率進行分析和利用,為生物以及醫療行業做作出獻。

0 引言

介電特性是電介質固有的一種物理屬性,可表示電介質儲存電場的能力,電導率即為電阻的倒數,在生態學中,電導率表示溶液傳遞電流的能力,從而反映出組織溶液中存在電解質程度的多少。電導率與粒子的種類有關,故在不同的人體組織器官中,電導率也有較大差異。介電常數的虛部有關系,電導率越大則虛部的損耗也越大。目前現有的對于生物組織介電特性數學模型的研究較少,對人體的介電特性差異進行研究分析,有利于推導出整個人體組織的變化特性。本研究以人體血液組織介電特性實驗測量數據為基礎,使用二階Debye模型對人體血液、的介電譜進行曲線擬合,使其能描述低頻段已有實驗數據的介電特性,并能對高頻段介電特性進行預測。

1 相關工作

在生物電介質特性的理論研究中,已經有許多科學家對電介質光譜的數學特性進行了描述。其中最為經典的是Debye模型和Cole-Cole模型。Debye模型是由Debye建立的極性液體介電特性的馳豫理論通過理論分析所建立的模型,它給出了作為角頻率ω函數與復相對介電常數ε的表達式:

Hurt對肌肉的介電譜進行了建模,得出了五個德拜分散區域的總和,此外還有一個電導項。它的表達式為:

Debye模型雖能大致描繪出介電特性的變化特性,但是其也有不足之處。生物材料的結構和組成的復雜性使得每一個色散區域都可能因對其的多重影響而擴大。相當一部分的實驗表明,Debye模型并不能完全準確的描述出復介電常數與頻率之間的關系。通過引入分布參數,KS cole與RH cole提出經驗公式,建立了Cole-Cole模型,從經驗上解釋了色散區域的擴大。它的表達式為:

加布里埃爾在10～100GHz的頻率范圍內建立了人體組織介電特性的一個四階的Cole-Cole模型,使得組織的光譜可以被更適當地描述多個Cole-Cole分散體。該Cole-Cole模型的表達式為:

通過選擇適合各個組織合適的參數,可以用來預測所需頻率范圍內的介電特性。

在太赫茲頻帶生物組織的介電特性的研究受實驗條件約束,高頻率帶的介電性能在許多生物組織中仍然是未知的[1]。生物組織的介電特性在低頻率范圍內的研究有大量的實驗數據,由于人體的體溫基本恒定37℃,而且體內成分趨于穩定。本文主要研究二階Debye原始模型。選取血液的實驗數據進行擬合。

2 算法設計

2.1 算法流程設計

首先選取初始值。列出所求模型表達式中的未知參數,提出假設初始值。并在課題中驗證合適的初始值取值范圍。接著建立雅各比矩陣。初始值為2m×n的標準0矩陣。矩陣值將在迭代中進行改變。建立兩個2m×1的初始化零矩陣作為殘差矩陣,一個在迭代中用來進行運算,另一個用來存儲數據,通過每一次迭代這兩個矩陣也會進行更新。最后開始迭代,設定迭代條件,列出殘差矩陣的迭代求和然后對之前建立的雅各比矩陣進行賦值,將矩陣中的參數直接帶入模型中,計算實驗實際值與模型計算值的差值,之后對殘差矩陣進行賦值,殘差矩陣前四行為實部的差值,后四行為虛部的差值。運用上文中所得出的結論進行計算,即可完成一次迭代,需要注意的是,在實際計算中,迭代的值常因過大而跑出收斂區域,故進行成倍數縮小是很有必要的,但是縮小倍數過大也有可能會造成迭代次數產生的效果不明顯等情況,在實際運算中應當根據結果來對縮放倍數進行調整。算法的流程框圖如圖1所示。

圖1 算法流程框圖Fig.1 Arithmetic flow chart

2.2 數據介紹

查閱資料[2]本文選取選取血液實驗測量數據如圖2所示。其中上方曲線為介電常數,下方曲線為電導率。使用高斯牛頓迭代法在Matlab環境下進行編程擬合,建立人體血液擬合參數。并對結果進行分析,將已知的介電常數

圖2 血液介電特性曲線Fig.2 Dielectric properties of blood

和電導率實驗數據帶入模型進行比對,從而驗證所得參數是否準確,并分析平均誤差。

3 實驗結果及分析

通過改變參數進行多次實驗數值擬合,整理數據并觀察擬合曲線效果[3]。得出以下結論。當初始值選取點數多,擬合次數多,縮放倍數合適,初始值選取在合理區間時,擬合效果較好。擬合曲線與初始值的誤差平均在10%左右。最終得到擬合結果如圖3所示。可以看出,擬合曲線與實際數值參數大體吻合。

圖3 血液介電特性擬合曲線Fig.3 Fit dielectric properties of blood

同時對人體大腦白質與大腦灰質的介電常數和電導率查閱資料并進行數值擬合[4]。得到的擬合曲線也可以反映出其變化規律,平均誤差在15%左右,證明了該算法的可行性。

4 結語

通過本文的研究,證明了最小二乘法——高斯牛頓迭代法在數值模擬計算中是比較適合的。它具有結果準確,且收斂速度快的特點。這種方法可以大致上做到擬合人體組織的介電特性曲線,通過一定數量的實驗數據以及科學家所做出的數學模型,即可求出模型中的未知參數,這對于建立媒質寬帶電磁參數數學模型有重要的意義。可以有利于人們對無法測量頻率的數據進行預測,更可以用來進行更加深層次的研究[5]。除了人體組織介電特性,此種方法也可以對其他研究內容起到一定的作用。

引用

[1] 彭艷,逯邁,陳小強,等.基于修正四階Cole-Cole模型的太赫茲波段生物組織介電特性估算方法探索[J].中國生物醫學工程學報,2015,34(2):243-247.

[2] 王力,馬青,陳林,等.人血液介電譜Cole-Cole數學模型的解析[J].中國生物醫學工程學報,2010,29(2):253-258.

[3] 李亞鵬.隨年齡變化的生物組織介電特性的數值模擬與研究[D].蘭州:蘭州交通大學,2016.

[4] Mai Lu,Shoogo Ueno.Comparison of Specific Absorption Rate Induced in Brain Tissues of a Child and an Adult Using Mobile Phone[J].Journal of Applied Physics,2012(57):2103-2116.

[5] 朱建波,史學濤,尤富生,等.生物組織活性與介電性關系的探索研究[J].醫療衛生裝備,2013,34(1):1-3.