具有外部擾動分數階不確定性單擺混沌系統的自適應滑模同步

毛北行，王東曉

(鄭州航空工業管理學院數學學院，河南 鄭州 450015)

混沌同步自提出以來就備受重視[1-9].分數階系統在現實世界中大量存在，且用分數階微分方程建模更符合模型本身的特點，因而隨著分數階微分學與積分學的發展，分數階混沌系統的同步控制引起了工程科學界的濃厚興趣.例如：文獻[10] 研究了一類分數階不確定同步發電機系統的自適應滑?？刂婆c參數辨識；文獻[11]根據自適應滑模方法研究了一類分數階不確定系統同步問題；文獻[12]研究了一類分數階不確定混沌系統的自適應滑模同步，獲得主從系統達到滑模同步的充分條件；文獻[13]研究了不確定分數階混沌系統的主動滑模同步；文獻[14]研究了分數階不確定系統的有限時間滑模同步技巧；文獻[15]研究了不確定分數階Victor-Carmen系統的滑模同步.另一方面，單擺混沌系統引起了眾多學者的高度關注.例如：文獻[16]研究了大角度單擺周期的估計；文獻[17]研究了重力常數的測定；文獻[18]研究了有界擾動下單擺的分岔混沌分析；文獻[19]研究了從周期到有界混沌；文獻[20]研究了從單擺到混沌的動力學分析與控制；文獻[21]研究了單擺混沌現象問題；文獻[22]對單擺系統多參數混沌邊緣進行了研究，得到了單擺系統產生混沌的條件；文獻[23]研究了單擺到混沌的條件；文獻[24]研究了一類整數階分數階單擺的混沌同步；文獻[25]研究了一類分數階單擺混沌系統的終端滑模同步.雖然來自模型及系統本身的不確定性和外部擾動在工程實際中大量存在，且是系統不穩定和產生擾動的根源，但有關分數階單擺不確定系統的自適應滑模同步方面的研究還鮮有報道.在上述研究基礎上，本文研究了分數階具有外部擾動和不確定性單擺混沌系統的自適應滑模同步，分別設計了滑模面并證明了滑模面的穩定性與可達性，獲得不確定分數階單擺系統取得自適應滑模同步的兩個充分條件.

1 預備知識

無阻尼單擺系統可描述為

(1)

其中：θ為擺線的夾角，L為擺長，g為重力加速度.如圖1所示.

圖1 單擺圖

考慮阻力，設阻尼系數為γ，則單擺系統可描述為

(2)

其等價系統如下：

主系統設計為

(3)

考慮外部擾動和不確定性，從系統設計為

(4)

這里y(t)=(y1，y2)T，Δfi(y，t)和di(t)分別為有界不確定項和外部擾動，ui(t)為控制器.

定義ei=yi-xi(i=1，2)，則

(5)

定義1[26]Caputo分數階導數定義為

分數階單擺混沌可描述為

(6)

當g=10，L=1，γ=0.46，q=0.86時，系統呈現混沌態，系統的相圖如圖2所示.

圖2 單擺系統相圖

(7)

假設1 不確定項Δfi(y，t)和外部擾動di(t)均有界，即存在未知常值參數mi，ni>0，滿足

|Δfi(y，t)|

定義ei=yi-xi，i=1，2，則

(8)

2 主要結果

用引理2，得到si→0?ei(t)→0.

定理2 假設1滿足.構造滑模面si(t)=ei(t).控制律為

不在滑模面上時，設計函數

由引理1得

由引理2，從而得到si→0?ei(t)→0.

3 數值仿真

以分數階單擺混沌系統為例，使用Matlab工具箱中的軟件程序進行數值仿真.令g=10，L=1，γ=0.46，q=0.86，Δf1(y，t)=cos(2πy2)，Δf2(y，t)=0.5cos(2πy1).d1(t)=0.2cos(t)，d2(t)=0.6sin(t).

定理2中設計滑模面si(t)=ei(t).控制律為

定理1與2自適應律設計為(i=1，2)

定理1誤差如圖3—4所示，定理2誤差如圖5—6所示.由圖3—4中可看到，誤差初始時刻相差較大，距原點較遠，隨時間推移，誤差逐漸趨近于一致并向坐標原點趨近，表明系統取得同步.定理1與定理2的區別在于選取不同的滑模函數控制效果不同，定理1中設計的滑模函數和控制器都比定理2復雜一些，定理2中的滑模面簡單實用，控制形式簡單且控制效果良好.從圖5—6上可看出定理1中誤差擺幅較大，比較難于趨向穩定；定理2的誤差擺幅則較定理1小一些，很容易趨近于原點，并趨于同步.文章設計了兩種截然不同的滑模函數，當q=1時，分數階系統退化為整數階系統，該方法對整數階系統仍然適用和成立.

圖3 定理1第一誤差

圖4 定理1第二誤差

圖6 定理2第二誤差