隨機3變量自催化模型的長時行為

李慧慧，楊 穎，李 芳

(長春師范大學數學學院，吉林 長春 130032)

目前，在熱力學封閉系統中，用于等溫反應的雙變量自動加速器模型已經成功地應用于再現化學振蕩的許多典型特征[1-3].該方案考慮通過兩個反應中間體A和B將化學前體P轉化為最終產物C，通過下列反應步驟實現：(o)P→A，rate=k0p；(U)A→B，rate=kua；(1)A+2B→3B，rate=k1ab2；(2)B→C，rate=k2b.

最近，文獻[4-5]研究了熱反饋對該方案的影響，通過允許反應(2)放熱，并且前體P的速率衰減步驟(o)具有Arrhenius溫度依賴，然后由于反應引起的自加熱在內部耦合到動力學機制，提供了一個3變量系統.這里該模型擴展為一個3變量等溫方案，能夠支持復雜的周期性和非周期性響應，通過3種中間物質A，B和C將相對穩定的前體反應物P轉化為最終產物D.這樣上述模型就變成了如下反應進程：(o)P→A，rate=k0p；(C)P+C→A+C，rate=kcpc；(U)A→B，rate=kua；(1)A+2B→3B，rate=k1ab2；(2)B→C，rate=k2b；(3)C→D，rate=k3c.

這個方案里面有兩個反饋或自動催化過程.中間體B參與步驟(1)中的直接立方自催化，而C通過步驟(C)參與“簡并自催化”.將質量作用原理應用于該方案，控制反應速率方程可簡單地寫成如下微分方程組：

(1)

為了方便，將(1)式做無量綱化處理成為

(2)

文獻[5]在系統(2)的第1個方程中設ρ=0，得到了模型(2)的池化學形式.此時，前體P的濃度μ=μ0為常數，即在所有時刻τ，p=p0.中間物種A，B，C的3個方程的穩態解為

并指出只有μ<1的時候才存在穩態，當μ→1時支鏈失控.

當前體濃度P被認為是恒定時，振蕩的條件可以通過分析獲得.如果考慮前體的緩慢指數衰減，還可以準確地估計預振蕩(誘導)周期的長度和振蕩周期，以及振蕩次數.引入以下反應模型，即在方程(1)中令p=p0得：

(3)

當濃度p是常數p0時，即μ=kcp0/k3=μ0，文獻[5]得到了局部穩定性分析結果：系統(2)的平穩狀態解并不總是穩定的，擾動可能會及時增長，從而導致偏離穩態，可能會出現振蕩狀態.在池化學模型中，局部穩定性的喪失發生在Hopf分支處，當前體P的濃度值在一定范圍內時，穩態是局部不穩定的.這些都是“超臨界”Hopf點，并且在每個穩定的極限環出現，且以包圍不穩定的穩態增長，系統在該極限環上的運動給出了所有3種中間體濃度的時間振蕩.

然而，化學反應可能會遇到突然的擾動，如催化劑的突然加入、熱沖擊、壓力沖擊等.因此化學反應模型不可避免地會受到環境白噪聲的影響.本文將白噪聲的隨機系統擾動引入到確定性系統(3)中，得到了相應的隨機自催化劑模型：

(4)

(H0)μ0=kcp0/k3<1，即k3>kcp0.

文獻[6-8]討論了幾類隨機化學反應模型的動力學行為，但目前還沒有人研究過隨機自催化模型的行為，本文工作將填補這一空白.

1 預備知識

考慮d維隨機微分方程

dx(t)=f(x(t)，t)dt+g(x(t)，t)dB(t)，t≥to，

(5)

(6)

dV(x(t)，t)=LV(x(t)，t)dt+Vx(x(t)，t)g(x(t)，t)dB(t).

2 全局正解的存在和唯一性

定理1 如果σ1，σ2，σ3滿足：

(7)

其中l1，l2是兩個正常數，且滿足

l1>k1/k2，l2>kcp0(k1+k2)/[k2(k3-kcp0)]，

(8)

(9)

其中l1，l2是兩個正常數且滿足(9)式.這個函數的非負性由u-1-logu≥0，?u>0可得.令m≥m0和T≥0是任意的，則利用伊藤公式，可以得到

dV(a，b，c)=LVdt+σ1a2dB1(t)+l1(a+b)[σ1adB1(t)+σ2bdB2(t)]+l2(a+b+c)[σ1adB1(t)+σ2bdB2(t)+σ3cdB3(t)]-[σ1dB1(t)+σ2dB2(t)+σ3dB3(t)]，

(10)

其中L是系統(4)的生成算子，因此得到：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

從函數V的定義和(11)—(16)式，有

由于l1，l2滿足(8)式，這意味著

k2l1-k1>0，l2(k3-kcp0)-(1+l1)kcp0>0，l2(k3-kcp0)-l1kcp0>0，

從而

結合(8)式，有以下3個不等式：

由此可以得出LV≤C(其中C是常數).余下證明和文獻[10]定理2.1相似，此處省略.

3 遍歷性

設X(t)是由隨機方程描述的El(El表示歐幾里得l-空間)中的齊次馬爾可夫過程

(17)

引理1[11-12]假設存在具有如下性質的帶正則邊界Γ的有界域U?El，滿足：

(B1) 在U及其鄰域上，擴散矩陣的最小特征值λ(x)非0；

則馬爾可夫過程X(t)具有平穩分布μ(·)，對測度μ可積的函數f(·)，有

(18)

引理2 令El中的X(t)是一個規則的暫態齊次馬爾可夫過程.如果X(t)相對于某個有界域U是常返的，那么它相對于El中的任何非空域也是常返的.

證明為了證明這個結論，只要證明條件(B1)和(B2)成立即可.方程(4)的擴散矩陣為

從而條件(B1)滿足.

(19)

由定理1中的條件(8)，項ac和bc的系數也為負.再由條件(7)得到a2，b2，c2的系數都是負的.令

則(18)式簡化為

ε1=ε，ε2=ε2，ε3=ε3.

(20)

并且ε是充分小的數，使得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

記

情況1 在D1上，有

由(20)—(21)式可以得到LV≤-1.

情況2 在D2上，

由(20)和(22)式可以得到LV≤-1.

情況3 當(a，b，c)∈D3時，

由(20)和(23)式可以得到LV≤-1.

情況4 當(a，b，c)∈D4時，

由(20)和(24)式可以得到LV≤-1.

情況5 當(a，b，c)∈D5時，

由(20)和(25)式可以得到LV≤-1.

情況6 當(a，b，c)∈D6時，

由(20)和(26)式可以得到LV≤-1.

對上述6種情況的討論表明，條件(B2)滿足.這樣就完成了定理2的證明.