具有標準發生率的隨機SIRS傳染病模型的趨勢分析

夏 蘭， 趙亞男

(1.吉林交通職業技術學院基礎部，吉林 長春 130012；2.長春大學理學院，吉林 長春 130022)

1 預備知識

2020年初，新型冠狀病毒性肺炎疫情在全球爆發，給全世界人民的健康帶來了巨大的威脅，也嚴重影響了我們的經濟活動和日常生活.利用數學建模分析傳染病的發展、傳播和控制越來越受到人們的關注，為如何制定合適的防控措施和科學決策提供定量依據.

眾所周知，自然科學、工程與應用科學中的復雜系統的運動變化規律通常用微分方程來描述.然而，在實際應用中，復雜的系統會受到隨機擾動、隨機環境、隨機邊界條件、隨機輸入和隨機初始條件等因素的影響，這些可以通過隨機過程來描述或近似.在隨機因素的影響下，隨機動力學系統是更適合這些復雜系統的數學模型，這可能會對系統的演化產生微妙的影響.在今年疫情的大環境下，隨機傳染病系統的動力學行為也越來越受到學者們的關注[1-4].

在傳染病建模中，疾病發生率函數可以合理地描述流行病的傳播.[5-7]在許多流行病學模型中，相對于易感和感染個體的數量，相應的發病率一般是雙線性的[6，8]，但當人口數量很大時，與人口成正比的接觸率顯然是不符合實際的，通常對人類和某些群居的動物來說，與雙線性發生率相比，標準發生率更符合實際情況.Busenberg等[9]討論了一個經典的SIRS傳染病模型：

(1)

其中：S(t)，I(t)和R(t)分別表示t時刻易感者、感染者和康復者的數量；總人口N(t)=S(t)+I(t)+R(t)，滿足N′=(b-μ)N-αl；b表示出生率；μ是自然死亡率；β表示接觸率；δ表示康復者的免疫喪失率；α表示感染者的因病死亡率；γ表示感染者的恢復率.所有參數均假定為非負且b，γ>0，模型分析得到的閾值

(2)

決定了該流行病將滅絕，或者持續的趨勢.根據Busenberg等[9]的理論研究，有：

(a) 無病平衡點(1，0，0)始終存在.當R0≤1時，在可行區Γ中全局漸近穩定；當R0>1時，它是不穩定的，這里Γ={x≥0，y≥0，z≥0|x+y+z=1}.

(b) 當R0>1時，存在唯一的地方病平衡點，在Γ0中全局漸進穩定，這里Γ0=Γ-{(1，0，0)}.

記

介紹采用種群類別比例的方法，即作比例函數

x=S/N，y=I/N，z=R/N.

(3)

相對于較為嚴格的方法要求感染總數I(t)→0，這里只需考慮較弱的要求比例y(t)→0.

實際上，流行病不可避免地受到環境白噪聲的影響，環境白噪聲是現實中的重要組成部分.本文考慮將SIRS流行病模型的結果推廣到隨機環境，研究隨機環境中疾病發展趨勢與基本再生數(閾值)的關系，且進行了嚴格的理論推導.將隨機性引入模型(1)[10-11]，得到：

(4)

其中：B1(t)，B2(t)，B3(t)是獨立的布朗運動；σ1，σ2，σ3是其強度；總人口N(t)滿足

dN(t)=[(b-μ)N(t)-αI(t)]dt+σ1S(t)dB1(t)+σ2I(t)dB2(t)+σ3R(t)dB3(t).

(5)

應用x=1-y-z，容易驗證y和z滿足微分方程

(6)

隨機微分方程的一些基本理論參見文獻[12].在本文中，(Ω，{Ft}t≥0，P)是一個完備的概率空間，具有流{Ft}t≥0，滿足通常條件(即右連續和{F0}包含所有零測集).B(t)是概率空間上定義的一個標量布朗運動.

2 正解的存在唯一性

在研究動力學行為之前，要考慮隨機系統解是否全局存在.由于系統(6)的系數不滿足線性增長條件，因此可能會在有限的時間內爆破[12].在本節中，使用Lyapunov分析方法[2]，證明系統(6)的解是全局正解.令不變集

(7)

定理2.1 對于任意給定初值(y(0)，z(0))∈D，隨機系統(6)存在唯一的解(y(t)，z(t))∈D，t>0，并且解將以概率1保留在D中，即對所有的t>0，有(y(t)，z(t))∈D，a.s..

證明定義C2-函數V：D→[0，R+)，

V(y，z)=(y-1-logy)+(z-1-logz)+[(1-y-z)-1-log(1-y-z)]，

利用伊藤公式，得

其余部分參見Gray等[2]解的存在唯一性的標準證明過程.

3 滅絕性

定理3.1 對于任意初值(y(0)，z(0))∈D，令(y(t)，z(t))為隨機系統(6)的解，則

(8)

其中

(9)

(10)

證明應用伊藤公式于系統(6)，有

(11)

兩端同時積分并除以t，得到

(12)

兩端取上極限，得

(13)

如果0<λ<(b+γ)，通過(12)式得

下面證明結論(10).根據系統(6)的最后一個方程，有

其中：

(14)

從而

其解為

(15)

其中

通過(9)式和M2(t)軌跡是連續的，表明存在一些零測集N，使得P(N)=0，并且對于任何ω?N，M2(·，ω)是連續的，得

這里Δ被定義為(9)式.因此，對于任何ε>0，存在T=T(ω)，使得

y(t，ω)≤exp((Δ+ε)t)，?t≥T.

故對于所有ω∈Ω，如果t>T(ω)，通過(15)式，有

定理3.1揭示了當滿足一定條件時，感染者比例函數長時間行為趨于0，表示疾病趨于滅絕.

4 持續性

證明根據系統(6)，有

(16)

這里

若滿足定理4.1的條件，有

計算得

(17)

因為0

(18)

根據(11)式的第2個等式，有

將其從0到t積分并兩邊除以t，得到

因此得到

根據(6)式最后的等式得

其中bk(t)由(14)式定義，則

5 遍歷性

這里根據Khasminskii[14]的理論證明存在平穩分布且是遍歷的，是一種弱穩定性，表明該疾病也將流行.

(19)

不難知道f(y，z)在(rθ，1-(r+1)θ)處達到最大值，這里

f(y，z)

LV=LV1+LV2+LV3+LV4，

其中

則

定義一個封閉的集合

Uε，k={(x，y)∈D|ε≤x≤1-ε，ε≤y≤1-ε，x+y≤1-k}，

這里ε，k>0和ε2=k，使它們盡可能的小，滿足：

rεβ(1+(α+γ)/(b+δ))<1，

(20)

(21)

(22)

令：

那么

由(21)式，得到LV(x)<-1.

使得

從而Hasminskii[14]提出的條件(B.1)滿足.因此，隨機系統(6)具有平穩分布μ(·)，且是遍歷的.

6 結 論

本文分析了具有標準發病率的隨機SIRS傳染病模型，分析結果表明隨機系統(6)存在唯一的正解.在滿足條件(9)的情況下，流行病將趨于滅絕.當滿足定理4.1條件時，流行病將長時間持續發生.定理5.1給出流行病系統在持久情況下的遍歷行為，存在平穩分布.本文結果對流行病防治提供參考性建議.