一類半離散可積方程族的無窮守恒律

張艷妮，邢 維，李 雯

(1.吉林建筑科技學院基礎科學部，吉林 長春 130114；2.海軍大連艦艇學院基礎部，遼寧 大連 116013；3.吉林大學數學學院，吉林 長春 130012)

0 引言

可積方程是一類特殊的非線性系統，在物理學、生物學、光學等領域中有著重要的應用.按照變量的不同，可積方程可以分為連續的、半離散的和全離散的.對于可積性，目前還沒有嚴格的統一定義，但普遍認為，可積方程應該具有一對線性譜問題(Lax對)，或有非常豐富的數學結構，例如無窮守恒律、無窮多對稱、雙Hamiltonian結構等.此外，人們發現可積方程普遍存在孤立子解，對可積方程的研究已有很多重要成果[1-4].無窮守恒律是可積方程的一個重要性質，自1968年Miura[1]發現KdV方程的無窮守恒律以來，很多學者嘗試給出構造方程的無窮守恒律的方法[5-7].2002年，Zhang等[3]基于Lax對，通過研究Ricatti方程給出了一種行之有效的構造方程無窮守恒律方法.近年來，Fan等[8-9]成功地利用該方法構造了一些方程的無窮守恒律.

迄今為止人們已經發展了多種構造可積方程的方法，如屠格式[10]、AKNS方法[11]等.屠格式不僅可以構造Lax可積的方程族，還可以通過變分、跡恒等式等方法給出Hamiltonian結構和Liouville可積的計算方法.AKNS方法一般從線性散射問題的空間部分出發，展開求解線性散射問題的時間部分，從而得到可積系統.這些構造可積系統的方法為孤子理論和非線性科學提供了豐富的研究對象和內容.

2004年，Xu等[12]考慮了如下離散譜問題：

(1)

其中：φn=(φ1，n，φ2，n)T是特征函數；rn，sn是勢函數；λ是譜參數，λt=0.從譜問題(1)出發，利用屠格式構造了一類方程族，并研究了方程族的可積性，建立了相應的辛映射.

2006年，Sun等[13]提出如下譜問題：

(2)

從譜問題(2)出發，利用屠格式構造了正向和負向的可積方程族，建立了對應的耦合可積方程.

基于譜問題(1)和(2)，本文將考慮如下廣義的離散譜問題：

(3)

從譜問題(3)出發，利用屠格式構造新的半離散可積方程族，并借助Ricatti方程構造法建立無窮守恒律，研究方程的可積性質.

1 預備知識

設fn=f(n，t)是格函數，移位算子E、逆算子E-1和差分算子Δ定義如下：

Ef(n，t)=f(n+1，t)=fn+1；

E-1f(n，t)=f(n-1，t)=fn-1；

Δf(n，t)=(E-1)f(n，t)=fn+1-fn.

考慮半離散方程

un，t=f(un-N，un-N+1，…，un，…，un+M-1，un+M)，

(4)

Eφn=Unφn，φn，t=Vnφn

(5)

的相容條件，即Un，t=(EVn)Un-UnVn，則稱方程(4)是Lax意義下可積的，稱譜問題(2)為方程的Lax對.這里：φn是m維向量函數，被稱為特征函數；Un，Vn是m階矩陣，其元素中包含譜參數λ，un以及un的移位，un被稱作勢函數.

如果存在標量函數

ρn=ρn(un-m1，un-m1+1，…，un+m2)，Jn=Jn(un-r1，un-r+1，…，un+r2)，

使得

Dtρn=ΔJn，

(6)

則稱(6)式是方程(4)的局部守恒律，ρn和Jn分別稱為相應的守恒密度和流.

2 一類新的半離散可積方程族

從廣義譜問題(3)出發，通過屠格式構造新的半離散可積方程族.求解如下駐定的離散零曲率方程：

即

(7)

將

(8)

令

其中“+”表示選取λ的正次冪.利用遞推關系(8)式，直接計算得

(9)

不難看出，此時(9)式和Un，tm是相容的.因此，當

(10)

(11)

由(11)式可得到如下新的半離散方程族：

(12)

其中譜問題(3)和(10)構成了方程族(12)的Lax對，即方程族(12)是Lax意義下可積的.

當m=1時，由(12)式可得如下Lax可積的半離散方程：

(13)

Lax對為

(14)

且

(15)

3 無窮守恒律

利用Ricatti方程構造法給出方程(13)的無窮守恒律.根據(14)式得

φ1，n+1=λrnφ2，n，

(16)

φ2，n+1=λsnφ1，n+(λ2+qn)φ2，n.

(17)

由(15)式得

(18)

令Γn=φ2，n/φ1，n由(16)和(17)式知

λrnΓnΓn+1=λsn+(λ2+qn)Γn.

(19)

進一步將(19)式表示為

(20)

假設

(21)

根據(16)和(18)式得

(22)

將(22)式帶入恒等式

中，可得

(23)

其中

這里

將Φn和Ψn帶入(23)式，對比等式兩端λ的同次冪系數，得到方程(13)的無窮守恒律

(24)

其中：