中性技術(shù)進(jìn)步條件下的經(jīng)濟(jì)控制模型的最優(yōu)控制分析

孔凡亮，付麗娜，徐加波

(1.新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830023；2.新疆工程學(xué)院信息工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830023)

0 引言

宏觀經(jīng)濟(jì)模型研究從美國(guó)學(xué)者穆爾進(jìn)行勞動(dòng)力市場(chǎng)分析開始到現(xiàn)在已經(jīng)有近一個(gè)世紀(jì)的歷史了.對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)模型的研究，引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[1]從系統(tǒng)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，把投資—生產(chǎn)—分配—消費(fèi)等社會(huì)生產(chǎn)過程作為一個(gè)系統(tǒng)來(lái)討論，并引入了Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，建立了宏觀經(jīng)濟(jì)中的投資—生產(chǎn)—再投資過程的發(fā)展模型，研究了該方程的解的存在唯一性及穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[2]以希克斯中性技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)為反饋要素建立了如下資產(chǎn)發(fā)展方程：

其中：Ω=(0，am)，Q=Ω×(0，T)，p(a，t)為t時(shí)刻資產(chǎn)存量按役齡a的分布密度函數(shù)，μ(a，t)為t時(shí)刻資產(chǎn)存量按役齡a的相對(duì)折舊率，p0(a)為初始時(shí)刻資產(chǎn)按役齡a的分布密度函數(shù)，γ(t)為t時(shí)刻生產(chǎn)性積累率，A(t)為t時(shí)刻綜合要素生產(chǎn)率，L(t)為t時(shí)刻勞動(dòng)力函數(shù).文獻(xiàn)[3]研究了一類帶有時(shí)滯的固定資產(chǎn)投資系統(tǒng)的積累率的最優(yōu)控制問題.文獻(xiàn)[4]利用Banach空間理論和Banach-Saks-Mazur定理討論了一類非定常經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)資產(chǎn)相對(duì)折舊率的最優(yōu)控制問題.文獻(xiàn)[5-7]對(duì)資產(chǎn)投資系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題進(jìn)行了研究，但此類研究還比較少.

許多學(xué)者致力于關(guān)于具有年齡結(jié)構(gòu)的種群動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題的研究[8-18]，對(duì)非線性系統(tǒng)的控制問題的研究所引進(jìn)的方法很有參考價(jià)值.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究投資系統(tǒng)關(guān)于資產(chǎn)外資的控制問題，并利用中性技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì)，研究如下一類非線性經(jīng)濟(jì)控制模型的最優(yōu)控制問題：

(OH)

其中：p0(a，t)為某一給定的理想資產(chǎn)分布密度函數(shù)；控制變量u∈U={u∈L∞(QT)|0≤u(a，t)≤L，a.e.(a，t)∈QT}，QT=(0，am)×(0，T)，am，T∈(0，+∞)；pu(a，t)滿足

(1)

1 系統(tǒng)(1)解的性質(zhì)

為方便討論，本文作如下假設(shè)：

(H2)γ(t)，A(t)∈L∞(0，T)，0≤γ(t)≤γ，0≤A(t)≤A，a.e.t∈(0，T)；

(H3)p0(a)∈L∞(0，am)，p0(a)≥0，a.e.a∈(0，am)；

(H5)u∈U={u∈L∞(QT)|0≤u(a，t)≤L，a.e.(a，t)∈QT}；

(H6)p0(a，t)∈L∞(QT)為給定理想資產(chǎn)分布密度函數(shù).

定義1.1 所謂系統(tǒng)(1)的解是指存在函數(shù)p(a，t)∈L∞(QT)在每一條特征線a-t=k(常數(shù))上絕對(duì)連續(xù)，且滿足

應(yīng)用特征線法[9]可將系統(tǒng)(1)的解表示為

(2)

其中：

為了得到系統(tǒng)(1)的解，首先給出以下引理：

引理1.1 假設(shè)(H1)—(H5)成立，設(shè)任意給定T>0，p(a，t)∈L∞(QT)，則p(a，t)是系統(tǒng)(1)的解，當(dāng)且僅當(dāng)它是問題(2)的解.

引理1.2 假設(shè)(H1)—(H5)成立，如果對(duì)任意給定T>0，p(a，t)∈L∞(QT)是問題(2)的解，那么：

(2)φ(t)≤γAH(amt‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0，am))eγAHt，a.e.t∈(0，T).

證明

由Gronwall不等式可得

從而

φ(t)≤γAH(amT‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0，am))eγAHt.

不失一般性，本文假定T>am.記V=L∞(QT)，對(duì)任意給定的p∈V，定義算子K(p)(a，t)如(2)式的右端，即

(3)

其中：

令：

M1t=(amT‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0，am))eγAHt，

M2t=max{γAH(amT‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0，am))eγAH(t-a)，‖p0‖L∞(0，am)}+T‖u‖L∞(QT)，

W={p∈L∞(0，T|L1(0，am))；p(a，0)=p0(a)，‖p(·，t)‖L1(0，am)≤M1t，0≤p(a，t)≤M2t，a.e.(a，t)∈QT}.

易知W是V的閉子集.

(4)

證明首先對(duì)任意p∈W，t∈[0，T]，由引理1.2可得K(q)∈W.

其次對(duì)任意p1，p2∈W，t∈[0，T]，由(3)式可得

由Gronwall不等式得

定理1.1 假設(shè)(H1)—(H5)成立，則對(duì)任一給定的u∈U，系統(tǒng)(1)存在唯一的非負(fù)解pu∈L∞(QT)，它關(guān)于u一致有界且滿足pu(a，t)≤M2T.

對(duì)任意p1，p2∈W，由引理1.3知

所以算子K是完備子空間W上的嚴(yán)格壓縮映射，由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可知算子K在W上有唯一不動(dòng)點(diǎn)，從而問題(2)有唯一非負(fù)解.再由引理1.1可知系統(tǒng)(1)有唯一非負(fù)解pu∈L∞(QT)，且由引理1.2可得其關(guān)于u一致有界并滿足pu(a，t)≤M2T.

2 最優(yōu)解的存在性

考慮下面控制問題解的存在性：

(OH)

其中pu(r，t)是系統(tǒng)(1)的解.

為了求解問題(OH)，借鑒文獻(xiàn)[3]的方法，先考察其等價(jià)形式.令

U1={p(a，t)|存在u(r，t)∈U，使得p(a，t)是系統(tǒng)(1)的解}.

引入新的性能指標(biāo)泛函

于是問題(OH)就等價(jià)于尋找p*(a，t)∈U1，使得

(OH)′

引理2.1 函數(shù)集{Nu|u∈U}在L2(0，T)中是相對(duì)緊的.

證明由于pu為系統(tǒng)(1)的解，故對(duì)充分小的ε>0，設(shè)

則當(dāng)t∈(0，T)時(shí)，Nu，ε(t)是下列微分方程的解：

下面利用L2(0，T)空間相對(duì)緊定理[8]，證明集合{Nu，ε|u∈U}在L2(0，T)中是相對(duì)緊的.由于Nu，ε關(guān)于u∈U一致有界，只需驗(yàn)證以下兩個(gè)條件：

從而引理結(jié)論成立.

pn在L2(QT)中弱收斂于p*.

(5)

由引理2.1和集合U1的構(gòu)造，相應(yīng)地存在Nun的子序列(仍記為Nun)，使得下列關(guān)系式成立：

在L2(0，T)中Nun→N*；對(duì)[0，T]中幾乎處處t，Nun(t)→N*(t).

(6)

(7)

(8)

由(6)和(7)式可得

由u(a，t)與p(a，t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得以下定理：