具有B(L)=m-3的m維非交換3-李代數的結構

白瑞蒲，吳嬰麗

(1.河北大學數學與信息科學學院，河北 保定 071002；2.河北省機器學習與智能計算重點實驗室，河北 保定 071002)

1 預備知識

因為3-李代數[1-3]是具有完全交錯性的3-元代數結構，且在數學與物理的很多領域有著廣泛的應用[4-6]，所以關于3-李代數結構的研究越來越受到人們的關注.3-李代數是具有完全交錯性的3-元代數系統，是李代數在運算元上的推廣.因其3-元運算結構，它的結構特征與李代數存在很大差異，結構的研究要比李代數復雜得多.特別是結構的分類工作就更加困難[7-11].本文主要研究特征零域上滿足β(L)=m-3的m維非交換3-李代數的結構.首先對滿足β(L)=m-n的一般m維非交換n-李代數L的冪零性進行了刻畫，然后分別對導代數維數是1和2且導代數包含中心的m維非交換3-李代數L的結構進行研究.研究結果將會對滿足β(L)=m-n的一般m維非交換n-李代數L的結構分類具有重要作用.首先介紹本文要用到的幾個基本概念.

n-李代數L[1]是域F上具有線性運算[，…，]：L∧n→L的線性空間，且對任意x1，…，xn，y2，…，yn∈L，滿足下列恒等式：

(1)

當n=3時稱為3-李代數.由定義可知，n-李代數是李代數在運算元上的推廣.

設L是n-李代數，A是L的子空間.若A滿足[A，…，A]?A([A，L，…，L]?A)，則稱A為L的子代數(理想)[2].若[A，…，A]=0([A，A，L，…，L]=0)，那么稱A為L的交換子代數(Abel理想).特別地，由[x1，…，xn]生成的子代數稱為L的導代數，記為L1，其中x1，…，xn為L中的任意元素.若L1≠0，則稱L為非交換n-李代數.

Z(L)={x∈L|[x，y1，…，yn-1]=0，?y1，…，yn-1∈L}

稱為L的中心.

顯然，Z(L)是L的Abel理想，且Z(L)被任意一個極大的Abel理想所包含.

如果存在s>0，使得Ls=0，則稱L是冪零n-李代數[2]，其中L0=L，Ls=[Ls-1，L，…，L]，s≥1.

在本文中，規定F是特征為零的域，L為域F上非交換的n-李代數(3-李代數)，β(L)為L的Abel理想的最大維數，I是L的具有dimI=β(L)的Abel理想，對S?L，記〈S〉為S張成的子空間.

2 主要結論

2.1 β(L)=m-n時n-李代數L的冪零性

定理1 設L為m-維非交換n-李代數(n≥3)，且β(L)=m-n，則L為冪零n-李代數，當且僅當存在冪零子代數A使得A1=L1.

證明如果L為冪零n-李代數，可取A=L.

反之，假設A是冪零子代數，且滿足L1=A1.如果A=L結論顯然成立.

如果A≠L.設L為Abel理想，且dimI=β(L)=m-n，則A∩I≠0，且存在自然數t，使得At=0.

事實上，如果A∩I=0，則A含在I的補空間中.由dimI=β(L)=m-n，則dimA≤n.再由A1≠0及文獻[1]和[8]可知dimA=n，且存在A的一組基{x1，…，xn}滿足[x1，…，xn]=x1.與A是冪零n-李代數矛盾.所以，A∩I≠0.

設{y1，…，yl，x1，…，xr}為A的一組基，其中{y1，…，yl}是A∩I的一組基，則1≤l≤m-n.由[I，I，L，…，L]=0，A1≠0，可知r≥n-1.由At=0，所以

ad(xi1，…，xin-1)tA=0，ad(yj，xi1，…，xin-2)tA=0，1≤i1，…，in-1≤r，1≤j≤l.

(2)

如果r=n-1，由A的冪零性可知Z(A)≠0，所以l≥2，且

A1=[〈y1，…，yl〉，x1，…，xn-1]?I.

(3)

設{y1，…，yl，…，ym-n，x1，…，xn-1，z}是L的一組基，其中{y1，…，yl，…，ym-n}是I的一組基，z∈L-〈A+I〉.由等式(1)—(3)可知，對任意1≤j1，…，jn-2≤n-1，

ad(z，xj1，…，xjn-2)t+2L=ad(z，xj1，…，xjn-2)t+2A1=ad(x1，…，xn-1)tA=0.

所以L是冪零n-李代數.

如果r≠n-1，則r>n-1，且A≠〈x1，…，xn-1〉+A∩I.將{y1，…，yl，x1，…，xn-1}擴充成L的一組基{y1，…，yl，…，ym-n，x1，…，xn-1，z}，其中{y1，…，yl，…，ym-n}是I的一組基.由At=0，可知對任意1≤j≤m-n，1≤i1，…，in-2≤n-1，

ad(x1，…，xn-1)t+1L=ad(x1，…，xn-1)tA1=0，ad(yj，xi1，…，xin-2)2L=0.

(4)

對任意y∈A≠0，且y?〈x1，…，xn-1〉+A∩I，有

其中λi，μj，λ∈F，1≤i≤n-1，1≤j≤m-n.則有λ≠0.事實上，如果λ=0，有

則

得到y∈〈x1，…，xn-1〉+A∩I，矛盾.因此λ≠0，且

從而x1，…，xn-1，z′線性無關，且I′=〈x1，…，xn-1，z′〉?A.因此，{y1，…，yl，…，ym-n，x1，…，xn-1，z′}是L的一組基.再由等式(2)和(4)可知，任取u1，…，un-1∈{y1，…，yl，…，ym-n，x1，…，xn-1，z′}，ad(u1，…，un-1)t+1L=0.所以L是冪零的.證畢.

定理2 設L為m維非交換n-李代數，β(L)=m-n.則存在I的補空間I′使得[I′，…，I′]≠0.

證明設{x1，…，xm}是L的一組基，其中I==〈x1，…，xm-n〉.

2.2 β(L)=m-3，dimL1=1時3-李代數L的結構

引理1 設L為m維非交換3-李代數，且β(L)=m-3，Z(L)?L1.如果dimL1=1，則m>4，且L1?I.

證明如果dimL≤4，由文獻[8]引理3.1可知，當dimL1=1時，L同構于下列2種情形之一：

(a) [x2，x3，x4]=x1，m=4；

(b) [x1，x2，x3]=x1，m=3.

在情形(a)時，I=〈x1，x2〉，β(L)=2≠m-n=4-3=1.在情形(b)時，I=〈x1〉，β(L)=1≠m-n=3-3=0.所以情形(a)和(b)都不滿足β(L)=m-3.因此dimL>4.

下面證明L1?I.如果Z(L)=0，則[I，L，L]≠0.因為dimL1=1，所以[I，L，L]=L1?I.如果Z(L)≠0，因為Z(L)?L1，dimL1=1，所以Z(L)=L1.再由Z(L)?I可知，L1?I.結論得證.

引理2 設L為m維非交換3-李代數，β(L)=m-3，Z(L)?L1，dimL1=1.則存在I的補空間I′，使得[I′，I′，I′]=0.

證明由引理1，m≥5，所以dimI≥2，且存在L的一組基{x1，…，xm}滿足I=〈x1，…，xm-3〉，L1=〈x1〉，[x2，xm-1，xm]=x1.

定理3 設L為m維非交換3-李代數，且β(L)=m-3，Z(L)?L1，dimL1=1.則L為冪零3-李代數.

證明如果L非冪零，則由引理1和引理2，存在L的一組基{x1，…，xm}滿足I=〈x1，…，xm-3〉，且在這組基下L的乘法為

[x1，xm-2，xm-1]=x1，[xi，xm，xm-1]=μix1，[xi，xm-2，xm]=γix1.

其中：1≤i≤m-3；μi，γi∈F.

做x1，…，xm的基變換，將xm置換成xm-μ1xm-2-γ1xm-1，xi置換成xi-λix1，i≥2，得到L在新的基下的乘法為

[x1，xm-2，xm-1]=x1，[xi，xm，xm-1]=μix1，[xi，xm-2，xm]=γix1.

其中：2≤i≤m-3；μi，γi∈F.

利用等式(1)及[I，I，L]=0，對任意i≥2，

μix1=[ [xi，xm，xm-1]，xm-2，xm-1]=[[xi，xm-2，xm-1]，xm，xm-1]=0，

γix1=[ [xi，xm-2，xm]，xm-2，xm-1]=[[xi，xm-2，xm-1]，xm-2，xm]=0.

從而μi=γi=0，2≤i≤m-3.故[xm，L，L]=0，xm∈Z(L)?I.矛盾.因此L為冪零3-李代數.證畢.

2.3 β(L)=m-3，dimL1=2時3-李代數L的結構

在本節中，研究導代數的維數是2，且滿足β(L)=m-3，Z(L)?L1的m維非交換3-李代數L的結構.

引理3 設L為m維非交換3-李代數，且

β(L)=m-3，Z(L)?L1，dimL1=2.

如果Z(L)≠0，則L1?I.

證明如果Z(L)=L1，因為Z(L)?I，所以，L1?I.

如果Z(L)≠L1，因為Z(L)≠0，dimL1=2，有Z(L)=I∩L1且dimZ(L)=1.所以存在L的一組基{x1，…，xm}滿足I=〈x1，…，xm-3〉，x1∈Z(L)=I∩L1，且[xm-2，xm-1，xm]=xm.所以[x1，L，L]=0，且對任意xk∈I，k>1.

[xk，xm-1，xm]=λkx1，[xk，xm-2，xm]=μkx1，[xk，xm-2，xm-1]=γkx1，λk，μk，γk∈F.

由等式(1)，對任意

2≤k≤m-3，λkx1=[xk，xm-1，[xm-2，xm-1，xm]]=0，

得到λk=0.同理，

μk=0，2≤k≤m-3.

所以

[xk，xm-1，xm]=[xk，xm-2，xm]=0，k≥2.

再由dimL1=2，則做適當基變換，可得L在基{x1，…，xm}下的乘法為

[xm-2，xm-1，xm]=xm，[x2，xm-2，xm-1]=x1.

所以m=5，J=〈x1，x2，x5〉是L的Abel理想，且dimJ=3.與β(L)=m-3=2矛盾，所以L1?I.證畢.

定理4 設L為m維非交換3-李代數，且β(L)=m-3，dimL1=2，Z(L)=L1，則m>6.

證明因為Z(L)=L1，且dimL1=2，所以dimI=β(L)=m-3≥2，從而m≥5.由文獻[8]定理3.2可知，m>5.

如果m=6，根據引理3存在L的一組基{x1，…，x6}滿足I=〈x1，x2，x3〉，且Z(L)=L1=〈x1，x2〉，及λ，λ′，μ，μ′∈F使得

令

定理5 設L為m維非交換3-李代數，且

β(L)=m-3，Z(L)?L1，dimL1=2.

如果[I，L，L]=L1，則存在I的補空間I′使得[I′，I′，I′]=0.如果Z(L)=L1，則存在線性無關的向量x1，x2，x3∈I，xm-2，xm-1，xm∈I′，使得

[x3，xm-1，xm]=x1，[x3，xm-2，xm]=x2.

I=〈x1，…，xm-3〉，L1=〈x1，x2〉，

且存在xk，xt∈I，a，b∈F，使得

因此，

令

則{x1，…，xm-3，xm-2，xm-1，xm}是L的一組基，I′=〈xm-2xm-1，xm〉是I的補空間，且[I′，I′，I′]=0.

進一步，如果Z(L)=L1，不妨設L在基{x1，…，xm-3，xm-2，xm-1，xm}下的乘法為

[x3，xm-1，xm]=x1，[x3，xm-2，xm]=ax2，[x3，xm-2，xm-1]=bx2，

同理，b≠0時結論成立.

[x3，xm-1，xm]=x1，[x4，xm-1，xm]=x2，

[xk，xm-2，xm]=akx1，[xk，xm-2，xm-1]=bkx1，

其中：4≤k≤m-3；ak≠0；a，bk∈F.

如果a4≠0，可不妨設a4=1.將x3置換成x4，x4置換成x3，得到結論.

如果a4=0，不妨設a5=1.將x3置換成x4+x5，再將x4置換成x3，得到結論.證畢.