權為1的多項式Rota-Baxter代數的模

吳釔嫻，唐孝敏

(黑龍江大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

1 預備知識

Rota-Baxter代數最早出現在20世紀60年代，源于Baxter在概率論中對波動理論的積分方程的代數研究[1].其在代數學中的重要作用，引起了Rota，Atkinson和Cartier等數學家的興趣，并對其做了深入研究[2-5].近年來，出現了許多有關Rota-Baxter代數的研究結果.[6-12]Baxter[1]在研究漲落理論中的Spitzer等式時引入了一類滿足特殊關系式的k-線性算子，稱為(權為λ的)Rota-Baxter算子.確切地說，設k是一個含1的交換環，則有如下定義：

定義1.1 設R是一個交換的k-代數，λ是R中的數.若k-線性映射P：R→R滿足如下的Rota-Baxter等式：

P(r)P(s)=P(P(r)s)+P(rP(s))+λP(rs)，?r，s∈R，

(1)

則稱P是R上的一個權為λ的Rota-Baxter算子.若一個k-代數R帶有一個權為λ的Rota-Baxter算子，則稱(R，P)是一個權為λ的Rota-Baxter代數.

定義1.2 令(R，P)是權為λ的Rota-Baxterk-代數，設M是一個左R-模，p：M→M是M上的一個k-線性算子，且滿足：

P(r)p(m)=p(P(r)m)+p(rp(m))+λp(rm)，?r∈R，m∈M，

則稱(M，p)是一個權為λ的Rota-Baxter左(R，P)-模.

Rota-Baxter代數的模是結合代數的模的推廣，近年來才引起學者的關注[9-11].本文將研究權為非零的多項式Rota-Baxter代數模的結構.

注1 若P是k-代數R上的一個權為λ的Rota-Baxter算子，且λ≠0，則易驗證λ-1P是一個權為1的Rota-Baxter算子.因此，不失一般性，當研究權為非零λ的Rota-Baxter算子(代數或模)時總假設λ=1.

假設k是特征為零的域.設k[x]是系數取自k且以x為變元的多項式代數.將給出一個權為1的Rota-Baxter代數(xk[x]，P)，其中P是由k[x]上一類權為1的Rota-Baxter算子限制得到的[12].

定義1.3 在xk[x]上定義線性算子P，其作用確定為

P：xk[x]→xk[x]，P(xm)=-xm，m∈N+，

其中N+為所有正整數構成的集合.則易知(xk[x]，P)是一個權為1的Rota-Baxter代數.本文以下所說的多項式Rota-Baxter代數均指此權為1的Rota-Baxter代數(xk[x]，P).

定義1.4 設k〈x，y〉是以x和y為變元的非交換多項式代數，I(x，y)是由多項式xy+yxy生成的k〈x，y〉的主理想.定義商代數如下：

2 多項式Rota-Baxter代數與代數 模

設(xk[x]，P)是本文給出的多項式Rota-Baxter代數，即對任意的m∈N+，都有P(xm)=-xm.注意到k〈x，y〉是以x和y為變元的非交換多項式代數，令IP是由集合

對于任意m∈N+，有P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm=-yxmy-xmy.由于P是k線性的，因此集合

yxm+1y+xm+1y=yxm+1y+yxmyxy-yxmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-yxmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-yxmyxy-xmyxy+xmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-(yxmy+xmy)xy+xm(yxy+xy).

由歸納假設可知yxm+1y+xm+1y∈I(x，y)，推出X1?I(x，y)，于是有IP?I(x，y).因此IP=I(x，y).

P(f)p(v)=p(P(f)v)+p(fp(v))+p(fv)，?f∈xk[x]，v∈M.

p(v)=yv，?v∈M，

(2)

則(M，p)是一個(xk[x]，P)-模.反之，若(M，p)是一個(xk[x]，P)-模，定義

yv=p(v)，?v∈M，

(3)

(P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm)v=P(xm)yv-yP(xm)v-yxmyv-yxmv=0.

將(2)式代入上式可得

P(xm)p(v)=p(P(xm)v)+p(xmp(v))+p(xmv).

因此(M，p)是一個(xk[x]，P)-模.

反之，假設M是一個k〈x，y〉-模，(M，p)是一個(xk[x]，P)-模.于是，對于任意v∈M，有

(P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm)v=P(xm)yv-yP(xm)v-yxmyv-yxmv.

利用等式(3)，上式等于P(xm)p(v)-p(P(xm)v)-p(xmp(v))-p(xmv)，即

IP?annM={F∈k〈x，y〉∣Fv=0，?v∈M}.

推論2.1 設M是一個xk[x]-模，p∈Endk(M)，則(M，p)是一個(xk[x]，P)-模，當且僅當

xp=-pxp.

xym=xyym-1=-yxyym-1=-yxym.

由此易知結論成立.

3 多項式Rota-Baxter代數的模的刻畫

x(e1，e2，…，en)=(xe1，xe2，…，xen)=(e1，e2，…，en)A，

y(e1，e2，…，en)=(ye1，ye2，…，yen)=(e1，e2，…，en)B.

命題3.1 設M是一個xk[x]-模，p∈Endk(M)并設x和p在M的某組基下的矩陣分別為A和B.則(M，p)是Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的一個模，當且僅當關于A和B的如下矩陣方程成立：

(In+B)AB=0.

(4)

由命題3.1，刻畫多項式Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的模只需解矩陣方程(4).下面給出幾個多項式Rota-Baxter代數的模：

(ⅰ)M∶=M0，θ∶xei=0，p(ei)任意，?i=1，…，n；

(ⅱ)M∶=Mθ，0∶xei任意，p(ei)=0，?i=1，…，n；

(ⅲ)M∶=Mθ，-I∶xei任意，p(ei)=-ei，?i=1，…，n.

證明設x和p在M的基{e1，…，en}下的矩陣分別為A和B.由命題3.1，(M，p)是多項式Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的一個模，當且僅當(4)式成立，即(In+B)AB=0.注意到M∶=M0，θ恰是A=0的情形，M∶=Mθ，0恰是B=0的情形，而M∶=Mθ，-I恰是B=-In的情形.定理得證.

命題3.3 取定s=(a1，a2，a3，a4，λ2)∈k5.記M為k上的2維線性空間，具有基底{e1，e2}.則M上的線性映射p和x在M上的以下5 種作用分別使得(M，p)是Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的5種模：

(ⅰ)x(k1e1+k2e2)=k1(a1e1+a3e2)，p(k1e1+k2e2)=λ2k2e2，?k1，k2∈k，其中λ2≠-1，0；

(ⅱ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1+k2a4e2，p(k1e1+k2e2)=-k1e1，?k1，k2∈k；

(ⅲ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1，p(k1e1+k2e2)=-k1e1+λ2k2e2，?k1，k2∈k，其λ2≠-1，0；

(ⅳ)x(k1e1+k2e2)=k2a2e1+k2a4e2，p(k1e1+k2e2)=k2e1，?k1，k2∈k；

(ⅴ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1，p(k1e1+k2e2)=(-k1+k2)e1-k2e2，?k1，k2∈k.

證明設x和p在M的基{e1，e2}下的矩陣分別為A和B.易見上述5種情形A，B分別如下：

直接驗證可知每種情形都有(I2+B)AB=0.由命題3.1可知結論成立.

下面給出Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的1維和2維模的刻畫.

定理3.1 設(M，p)是一個1維Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的模，則M必為命題3.2給出的3種模之一，即：M0，θ，Mθ，0，Mθ，-I.

證明設x和p在M的基{e1}下的矩陣分別為a和b.由命題3.1，(M，p)是Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的一個模，當且僅當

(b+1)ab=0.

注意到a，b∈k， 于是由上式可得a=0，或b=0，或b=-1.這導致3種情形：(ⅰ)a=0，b任意；(ⅱ)a任意，b=0；(ⅲ)a任意，b=-1.它們分別對應M0，θ，Mθ，0，Mθ，-I.證畢.

定理3.2 設(M，p)是一個2維Rota-Baxter代數(xk[x]，P)的模，則M必為命題3.2和命題3.3給出的8種模之一.

(5)

此時分λ1，λ2?{0，-1}，λ1∈{0，-1}和λ2∈{0，-1}的情形討論.注意到λ2∈{0，-1}可以通過調換基底元素的順序歸結為λ1∈{0，-1}的情形.因此，共分為以下6種情形：

(ⅰ1) 若λ1，λ2?{0，-1}，則由(5)式可得A=0；

(ⅰ3) 若λ1=0，λ2=0，即B=0，則由(5)式可知A任意；

(ⅰ4) 若λ1=-1，λ2=-1，即B=-I2，則由(5)式可知A任意；

對照可知，(ⅰ1)是命題3.2給出的模M0，θ的一種；(ⅰ2)，(ⅰ5)，(ⅰ7)分別是命題3.3中(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)給出的模；(ⅰ3)，(ⅰ4)分別是命題3.2給出的模Mθ，0，Mθ，-I.

(6)

此時分λ?{0，-1}和λ∈{0，-1}的情形討論.

(ⅱ1) 若λ?{0，-1}，則由(6)式可得a3=a4=a2=a1=0，即A=0；

對照可知，(ⅱ1)是命題3.2給出的模M0，θ的一種，(ⅱ2)，(ⅱ3)分別是命題3.3中(ⅳ)，(ⅴ)給出的模.即結論得證.